Про те, що таке трикутник, квадрат, куб, розповідає нам наука геометрія. У сучасному світіїї вивчають у школах усі без винятку. Також наукою, яка вивчає те, що таке трикутник і які в нього властивості, є тригонометрія. Вона досліджує докладно всі явища, пов'язані з даними Про те, що таке трикутник, ми й поговоримо сьогодні у нашій статті. Нижче буде описано їх види, а також деякі теореми, пов'язані з ними.

Що таке трикутник? Визначення

Це плаский багатокутник. Кутів він має три, що зрозуміло з його назви. Також він має три сторони та три вершини, перші з них – це відрізки, другі – точки. Знаючи, чому рівні два кути, можна знайти третій, відібравши суму перших двох від числа 180.

Якими є трикутники?

Їх можна класифікувати за різними критеріями.

Насамперед вони діляться на гострокутні, тупокутні та прямокутні. Перші мають гострі кути, тобто такі, які рівні менш ніж 90 градусів. У тупокутних один із кутів — тупий, тобто такий, що дорівнює понад 90 градусів, решта двох — гострі. До гострокутних трикутників належать також і рівносторонні. У таких трикутників усі сторони та кути рівні. Всі вони дорівнюють 60 градусам, це можна легко обчислити, розділивши суму всіх кутів (180) на три.

Прямокутний трикутник

Неможливо не поговорити, що таке прямокутний трикутник.

У такої фігури один кут дорівнює 90 градусів (прямий), тобто дві його сторони розташовані перпендикулярно. Інші два кути є гострими. Вони можуть бути рівними, тоді він буде рівнобедреним. З прямокутним трикутником пов'язана теорема Піфагора. За її допомогою можна знайти третю сторону, знаючи дві перші. Згідно з цією теоремою, якщо додати квадрат одного катета до квадрата іншого, можна отримати квадрат гіпотенузи. Квадрат катета можна підрахувати, відібравши від квадрата гіпотенузи квадрат відомого катета. Говорячи про те, що таке трикутник, можна згадати і про рівнобедрене. Це такий, у якого дві зі сторін рівні, також рівні і два кути.

Що таке катет та гіпотенуза?

Катет - це одна зі сторін трикутника, які утворюють кут 90 градусів. Гіпотенуза - це сторона, що залишилася, яка розташована навпроти прямого кута. З нього на катет можна опустити перпендикуляр. Відношення прилеглого катета до гіпотенузи називається не інакше як косинус, а протилежного синус.

- у чому його особливості?

Він прямокутний. Його катети дорівнюють трьом і чотирьом, а гіпотенуза — п'яти. Якщо ви побачили, що катети цього трикутника дорівнюють трьом і чотирьом, можете не сумніватися, що гіпотенуза дорівнюватиме п'яти. Також за таким принципом можна легко визначити, що катет дорівнюватиме трьом, якщо другий дорівнює чотирьом, а гіпотенуза - п'яти. Щоб довести це твердження, можна застосувати теорему Піфагора. Якщо два катети дорівнюють 3 і 4, то 9 + 16 = 25, корінь з 25 - це 5, тобто гіпотенуза дорівнює 5. Також єгипетським трикутником називається прямокутний, сторони якого дорівнюють 6, 8 і 10; 9, 12 та 15 та іншим числам із співвідношенням 3:4:5.

Яким може бути трикутник?

Також трикутники можуть бути вписаними та описаними. Фігура, навколо якої описано коло, називається вписаною, всі її вершини є точками, що лежать на колі. Описаний трикутник - той, в який вписано коло. Усі його сторони стикаються з нею у певних точках.

Як знаходиться

Площа будь-якої фігури вимірюється у квадратних одиницях (кв. метрах, кв. міліметрах, кв. сантиметрах, кв. дециметрах і т. д.). Дану величину можна розрахувати різноманітними способами, залежно від виду трикутника. Площа будь-якої фігури з кутами можна знайти, якщо помножити її сторону на перпендикуляр, опущений на неї з протилежного кута, і розділивши цю цифру на два. Також можна знайти цю величину, якщо помножити дві сторони. Потім помножити це число на синус кута, розташованого між цими сторонами, і розділити це на два. Знаючи всі сторони трикутника, але не знаючи його кутів, можна знайти площу ще й іншим способом. Для цього необхідно знайти половину периметра. Потім по черзі відібрати від цього числа різні сторони і перемножити отримані чотири значення. Далі знайти з числа, що вийшло. Площу вписаного трикутника можна знайти, перемноживши всі сторони і розділивши отримане число яка описана навколо нього, помножений на чотири.

Площа описаного трикутника знаходиться таким чином: половину периметра множимо на радіус кола, яке в нього вписано. Якщо його площа можна знайти таким чином: сторону зводимо в квадрат, множимо отриману цифру на корінь з трьох, далі ділимо це число на чотири. Подібним чином можна обчислити висоту трикутника, у якого всі сторони рівні, для цього одну з них потрібно помножити на корінь із трьох, а потім розділити це число на два.

Теореми, пов'язані з трикутником

Основними теоремами, пов'язані з цією фігурою, є теорема Піфагора, описана вище, і косінусів. Друга (синусів) полягає в тому, що якщо розділити будь-яку сторону на синус протилежного їй кута, то можна отримати радіус кола, яке описано навколо нього, помножений на два. Третя (косінусів) полягає в тому, що, якщо від суми квадратів двох сторін відібрати їх же твір, помножений на два і на косинус кута, розташованого між ними, то вийде квадрат третьої сторони.

Трикутник Далі - що це?

Багато хто, зіткнувшись з цим поняттям, спочатку думає, що це якесь визначення в геометрії, але це зовсім не так. Трикутник Далі - це загальна назва трьох місць, які тісно пов'язані із життям знаменитого художника. «Вершинами» його є будинок, де Сальвадор Далі жив, замок, який він подарував своїй дружині, а також музей сюрреалістичних картин. Під час екскурсії цими місцями можна дізнатися багато найцікавіших фактівпро цього своєрідного креативного художника, відомого у всьому світі.

На тему «Трикутник», мабуть, можна було написати цілу книжку. Але книжку повністю читати надто довго, правда? Тому ми тут розглянемо лише факти, які стосуються взагалі будь-якого трикутника, а всякі спеціальні теми, такі як , і т.д. виділені на окремі теми - читай книжку по шматочках. Ну ось, що стосується будь-якого трикутника.

1. Сума кутів трикутника. Зовнішній кут.

Запам'ятай твердо і не забувай. Доводити ми це не будемо (дивися такі рівні теорії).

Єдине, що тебе може бентежити у нашому формулюванні – це слово «внутрішніх».

Навіщо воно тут? А ось саме для того, щоб підкреслити, що йдеться про кути, які всередині трикутника. Хіба бувають ще якісь кути зовні? Ось уяви собі, бувають. У трикутника ще бувають зовнішні кути. І найголовніше наслідок того факту, що сума внутрішніх кутівтрикутника дорівнює, стосується якраз зовнішнього трикутника. Тож давай з'ясуємо, що таке цей зовнішній кут трикутника.

Дивись на картинку: беремо трикутник і одну сторону (скажімо) продовжуємо.

Звичайно, ми могли б залишити бік, а продовжити бік. Ось так:

А ось про кут такого сказати в жодному разі не можна!

Так що не кожен кут зовні трикутника має право називається зовнішнім кутом, а лише той, що утворений однією стороною та продовженням іншої сторони.

То що ми повинні знати про зовнішній кут?

Дивись на нашому малюнку це означає, що.

Як це пов'язано із сумою кутів трикутника?

Давай розберемося. Сума внутрішніх кутів дорівнює

але – тому, що й – суміжні.

От і виходить: .

Бачиш як просто? Але дуже важливо. Так що запам'ятай:

Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює, а зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних із ним.

2. Нерівність трикутника

Наступний факт стосується не кутів, а сторін трикутника.

Це означає, що

Ти вже здогадався, чому цей факт називається нерівністю трикутника?

Ну ось, а де ж ця нерівність трикутника може виявитися корисною?

А уяви, що в тебе є три друзі: Коля, Петя та Сергій. І ось, Коля каже: «Від мого дому до Петиного по прямій». А Петя: «Від мого дому до будинку Сергія метрів прямо». А Сергій: «Вам добре, а від мого дому до Коліного аж по прямій». Ну, тут уже ти мусиш сказати: «Стоп, стоп! Хтось із вас говорить неправду!»

Чому? Та тому що якщо від Колі до Петі м, а від Петі до Сергія м, то від Колі до Сергія точно має бути менше () метрів - інакше і порушується та сама нерівність трикутника. Ну і здоровий глузд точно, природно, порушується: адже кожному з дитинства невідомо, що шлях до прямої () повинен бути коротшим, ніж шлях із заходом у крапку. (). Тож нерівність трикутника просто відображає цей загальновідомий факт. Ну ось, ти тепер знаєш, як відповідати на таке, скажімо, питання:

Чи буває трикутник із сторонами?

Ти повинен перевірити, чи правда, що будь-які два числа з цих трьох у сумі більше третього. Перевіряємо: значить трикутника зі сторонами і не буває! А ось зі сторонами – буває, бо

3. Рівність трикутників

Ну от, а якщо не один, а два чи більше трикутників. Як перевіриш, чи вони рівні? Загалом за визначенням:

Але ... це жахливо незручне визначення! Як, скажіть на милість, накладати два трикутники хоча б навіть у зошити? Але на наше щастя є ознаки рівності трикутників, які дозволяють діяти розумом, не наражаючи на ризик зошита.

Та й до того ж, відкинувши легковажні жарти, відкрию тобі секрет: для математика слово «накласти трикутники» означає зовсім не вирізати їх і накласти, а сказати багато – багато – багато слів, які доводитимуть, що два трикутники збігатимуться при накладенні. Так що в жодному разі не можна в роботі писати «я перевірив – трикутники збігаються при накладенні» – тобі це не зарахують, і мають рацію, тому що ніхто не гарантує, що ти при накладенні не помилився, скажімо, на чверть міліметра.

Отже, якісь математики сказали купу слів, ми за ними ці слова повторювати не будемо (хіба що в останньому рівні теорії), а активно користуватимемося трьома ознаками рівності трикутників.

У побуті (математичному) прийнято такі укорочені формулювання - їх легше запам'ятати та застосовувати.

1. Перша ознака - з обох боків і кутку між ними;
2. Друга ознака - по двох кутах та прилеглій стороні;
3. Третя ознака – по трьох сторонах.

ТРИКУТНИК. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Трикутник - це геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій.

Основні поняття.

Основні властивості:

1. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює, тобто.
2. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних із нею, тобто.
   або
3. Сума довжин будь-яких двох сторін трикутника більша за довжину його третьої сторони, тобто.
4. У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона, проти більшої сторони лежить більший кут, тобто.
   якщо, то, і навпаки,
   якщо то.

Ознаки рівності трикутників.

1. Перша ознака- з обох боків та кутку між ними.

2. Друга ознака- по двох кутах та прилеглій стороні.

3. Третя ознака- по трьох сторонах.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Два трикутники називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням. На малюнку 1 зображені рівні трикутники ABC і А1В1С1. Кожен із цих трикутників можна накласти на інший так, що вони повністю суміщаться, тобто попарно поєднаються їхні вершини та сторони. Ясно, що при цьому попарно поєднаються і кути цих трикутників.

Таким чином, якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони та кути) одного трикутника відповідно дорівнюють елементам іншого трикутника. Відмітимо, що у рівних трикутниках проти відповідно рівних сторін(тобто поєднуються при накладенні) лежать рівні кути,і назад: проти відповідно рівних кутів лежать рівні боки.

Так, наприклад, у рівних трикутниках ABC і A 1 B 1 C 1 , зображених на малюнку 1, проти відповідно рівних сторін АВ і А 1 В 1 лежать рівні кути З і С 1 . Рівність трикутників ABC і А1В1С1 позначатимемо так: ΔABC = ΔА1В1С1. Виявляється, що рівність двох трикутників можна встановити, порівнюючи деякі їх елементи.

Теорема 1. Перша ознака рівності трикутників.Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис.2).

Доведення. Розглянемо трикутники ABC і A 1 B 1 C 1 , які мають АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 (див. рис.2). Доведемо, що ABC = A 1 B 1 C 1 .

Так як ∠ А = ∠ А 1 , то трикутник ABC можна накласти на трикутник А 1 В 1 С 1 так, що вершина А суміситься з вершиною А 1 , а сторони АВ та АС накладуться відповідно на промені А 1 В 1 та A 1 C 1 . Оскільки АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ поєднається зі стороною А 1 В 1 а сторона АС - зі стороною А 1 C 1 ; зокрема, суміщаться точки і В 1 , З і C 1 . Отже, суміщаються сторони ЗС і В1С1. Отже, трикутники ABC і А 1 В 1 З 1 повністю суміщаються, отже, вони рівні.

Аналогічно шляхом накладання доводиться теорема 2.

Теорема 2. Друга ознака рівності трикутників.Якщо сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 34).

Зауваження. На основі теореми 2 встановлюється теорема 3.

Теорема 3. Сума будь-яких двох внутрішніх кутів трикутника менша за 180°.

З останньої теореми випливає теорема 4.

Теорема 4. Зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним.

Теорема 5. Третя ознака рівності трикутників.Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні ().

приклад 1.У трикутниках ABC та DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Порівняти трикутники ABC та DEF. Який кут у трикутнику DEF дорівнює куту?

Рішення. Дані трикутники дорівнюють за першою ознакою. Кут F трикутника DEF дорівнює куту трикутника ABC, так як ці кути лежать проти відповідно рівних сторін DE і АС.

приклад 2.Відрізки АВ та CD (рис. 5) перетинаються у точці О, яка є серединою кожного з них. Чому дорівнює відрізок BD, якщо відрізок АС дорівнює 6 м?

Рішення. Трикутники АОС та BOD рівні (за першою ознакою): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальні), АВ = ОВ, СО = OD (за умовою).
З рівності цих трикутників випливає рівність їх сторін, тобто АС = BD. Але оскільки за умовою АС = 6 м, то BD = 6 м.

Виберіть рубрику Книги Математика Фізика Контроль та управління доступом Пожежна безпека Корисне Постачальники обладнання Засоби вимірювань (КВП) Вимір вологості - постачальники в РФ. Вимірювання тиску. Вимірювання витрат. Витратоміри. Вимірювання температури Вимірювання рівнів. Рівноміри. Каналізаційні системи. Постачальники насосів у РФ. Ремонт насосів Трубопровідна арматура. Затвори поворотні (затвори дискові). Зворотні клапани. Регулююча арматура. Фільтри сітчасті, грязьові, магніто-механічні фільтри. Кульові крани. Труби та елементи трубопроводів. Ущільнення різьблення, фланців і т.д. Електродвигуни, електроприводи… Посібник Алфавіти, номінали, одиниці, коди… Алфавіти, в т.ч. грецьку та латинську. Символи. Коди. Альфа, бета, гама, дельта, епсілон… Номінали електричних мереж. Переклад одиниць виміру Децибел. сон. Фон. Одиниці виміру чого? Одиниці вимірювання тиску та вакууму. Переклад одиниць вимірювання тиску та вакууму. Одиниці виміру довжини. Переклад одиниць виміру довжини (лінійного розміру, відстаней). Одиниці виміру обсягу. Переклад одиниць виміру обсягу. Одиниці виміру щільності. Переведення одиниць виміру щільності. Одиниці виміру площі. Переведення одиниць виміру площі. Одиниці виміру твердості. Переклад одиниць виміру твердості. Одиниці виміру температури. Переклад одиниць температур у шкалах Кельвіна (Kelvin) / Цельсія (Celsius) / Фаренгейта (Fahrenheit) / Ранкіна (Rankine) / Делісле (Delisle) / Ньютона (Newton) / Реамюрa Одиниці виміру кутів (" кутових розмірів"). Переклад одиниць вимірювання кутової швидкості та кутового прискорення. Стандартні помилки вимірювань Гази різні як робочі середовища. Азот N2 (холодоагент R728) Аміак (холодильний агент R717). Антифризи. Водень H^2 (холодоагент R702) Водяна пара. ) Газ природний - натуральний газ Біогаз - каналізаційний газ Зріджений газ ШФЛУ LNG Пропан-бутан Кисень O2 (холодоагент R732) Олії та мастила Метан CH4 (холодоагент R50) Властивості води Чадний газ CO. Монооксид вуглецю. CO2 (Холодильний агент R744) Хлор Cl2 Хлороводень HCl, він же — Cоляна кислота Холодильні агенти (холодоагенти) Хладагент (холодильний агент) R11 — Фтортрихлорметан (CFCI3) Хладагент (Холодильний агент) R12 агент) R125 - Пентафторетан (CF2HCF3). ). Холодоагент (Холодильний агент) R407С - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / Відсотки по масі. інші Матеріали – теплові властивості Абразиви – зернистість, дрібність, шліфувальне обладнання. Ґрунти, земля, пісок та інші породи. Показники розпушування, усадки та щільності ґрунтів та порід. Усадка та розпушування, навантаження. Кути укосу, відвалу. Висоти уступів, відвалів. Деревина. Пиломатеріали. Лісоматеріали. Колоди. Дрова... Кераміка. Клеї та клейові сполуки Лід та сніг (водяний лід) Метали Алюміній та сплави алюмінію Мідь, бронзи та латуні Бронза Латунь Мідь (і класифікація мідних сплавів) Нікель та сплави Відповідність марок сплавів Сталі та сплави Довідкові таблиці ваг металопрокату та труб. +/-5% Вага труби. Вага металу. Механічні властивості сталей. Чавун Мінерали. Азбест. Продукти харчування та харчова сировина. Властивості та ін. Посилання на інший розділ проекту. Гуми, пластики, еластомери, полімери. Докладний описЕластомерів PU, ТPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ, TFE/ P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE модифікований), Опір матеріалів. Супромат. Будівельні матеріали. Фізичні, механічні та теплотехнічні властивості. Бетон. Бетонний розчин. розчин. Будівельна арматура. Сталева та інша. Таблиці застосування матеріалів. Хімічна стійкість. Температурна застосовність. Корозійна стійкість. Ущільнювальні матеріали – герметики з'єднань. PTFE (фторопласт-4) та похідні матеріали. Стрічка ФУМ. Анаеробні клеї Герметики невисихаючі (не застигаючі). Герметики силіконові (кремнійорганічні). Графіт, азбест, пароніти та похідні матеріали Пароніт. Терморозширений графіт (ТРГ, ТМГ), композиції. Властивості. Застосування. Виробництво. Льон сантехнічний Ущільнювачі гумових еластомерів Утеплювачі та теплоізоляційні матеріали. (посилання на розділ проекту) Інженерні прийоми та поняття Вибухозахист. Захист від впливу довкілля. Корозія. Кліматичні виконання (Таблиці сумісності матеріалів) Класи тиску, температури, герметичності Падіння (втрата) тиску. - Інженерне поняття. Протипожежний захист. Пожежі. Теорія автоматичного керування(Регулювання). ТАУ Математичний довідник Арифметична, геометрична прогресії та суми деяких числових рядів. Геометричні фігури. Властивості формули: периметри, площі, об'єми, довжини. Трикутники, прямокутники і т.д. Градуси у радіани. Плоскі фігури. Властивості, сторони, кути, ознаки, периметри, рівність, подоба, хорди, сектори, площі і т.д. Площа неправильних фігур, об'єми неправильних тіл. Середня величина сигналу. Формули та способи розрахунку площі. графіки. Побудова графіків. Читання графіків. Інтегральне та диференціальне обчислення. Табличні похідні та інтеграли. Таблиця похідних. Таблиця інтегралів. Таблиця первісних. Знайти похідну. Знайти інтеграл. Дифури. Комплексні числа. Уявна одиниця. Лінійна алгебра. (Вектори, матриці) Математика для найменших. Дитячий садок - 7 клас. Математична логіка. Розв'язання рівнянь. Квадратні та біквадратні рівняння. Формули. Методи. Рішення диференціальних рівнянь Приклади розв'язків звичайних диференціальних рівнянь порядку вище за перший. Приклади рішень найпростіших = розв'язуваних аналітично звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Системи координат. Прямокутна декартова, полярна, циліндрична та сферична. Двовимірні та тривимірні. Системи числення. Числа та цифри (дійсні, комплексні, ….). Таблиці систем числення. Ступінні ряди Тейлора, Маклорена (= Макларена) і періодичний ряд Фур'є. Розкладання функцій до лав. Таблиці логарифмів та основні формули Таблиці чисельних значень Таблиці Брадіса. Теорія ймовірностей та статистика Тригонометричні функції, формули та графіки. sin, cos, tg, ctg….Значення тригонометричних функцій. Формули наведення тригонометричних функцій. Тригонометричні тотожності. Чисельні методи Обладнання – стандарти, розміри Побутова техніка, домашнє обладнання. Водостічні та водозливні системи. Місткості, баки, резервуари, танки. КВП Контрольно-вимірювальні прилади та автоматика. Вимірювання температури. Конвеєри, стрічкові транспортери. Контейнери (посилання) Кріплення. Лабораторне обладнання. Насоси та насосні станції Насоси для рідин та пульп. Інженерний жаргон. Словник. Просіювання. Фільтрування. Сепарація частинок через сітки та сита. Міцність приблизна мотузок, тросів, шнурів, канатів із різних пластиків. Гумотехнічні вироби. Зчленування та приєднання. Діаметри умовні, номінальні, Ду, DN, NPS та NB. Метричні та дюймові діаметри. SDR. Шпонки та шпонкові пази. Стандарти комунікації. Сигнали в системах автоматизації (КІПіА) Аналогові вхідні та вихідні сигнали приладів, датчиків, витратомірів та пристроїв автоматизації. Інтерфейс підключення. Протоколи зв'язку (комунікації) Телефонний зв'язок. Трубопровідна арматура. Крани, клапани, засувки. Будівельна довжина. Фланці та різьблення. Стандарти. Приєднувальні розміри. Різьблення. Позначення, розміри, використання, типи… (довідкове посилання) З'єднання ("гігієнічні", "асептичні") трубопроводів у харчовій, молочній та фармацевтичній промисловості. Труби, трубопроводи. Діаметри труб та інші характеристики. Вибір діаметра трубопроводу. Швидкість потоку. Витрати. Міцність. Таблиці вибору, Падіння тиску. Труби мідні. Діаметри труб та інші характеристики. Труби полівінілхлоридні (ПВХ). Діаметри труб та інші характеристики. Поліетиленові труби. Діаметри труб та інші характеристики. Труби поліетиленові ПНД. Діаметри труб та інші характеристики. Труби сталеві (в т.ч. нержавіючі). Діаметри труб та інші характеристики. Труби сталеві. Труба нержавіюча Труби із нержавіючої сталі. Діаметри труб та інші характеристики. Труба нержавіюча Труби із вуглецевої сталі. Діаметри труб та інші характеристики. Труби сталеві. фітинги. Фланці за ГОСТ, DIN (EN 1092-1) та ANSI (ASME). З'єднання фланців. Фланцеві з'єднання. Фланцеве з'єднання. Елементи трубопроводів. Електричні лампи Електричні роз'єми та проводи (кабелі) Електродвигуни. Електродвигуни. Електрокомутаційні пристрої. (Посилання на розділ) Стандарти особистого життя інженерів Географія для інженерів. Відстань, маршрути, карти….. Інженери у побуті. Сім'я, діти, відпочинок, одяг та житло. Дітям інженерів. Інженери в офісах. Інженери та інші люди. Соціалізація інженерів. Курйози. Відпочиваючі інженери. Це нас вразило. Інженери та їжа. Рецепти, корисність. Трюки для ресторанів. Міжнародна торгівля інженерам. Вчимося думати барижним чином. Транспорт та подорожі. Особисті автомобілі, велосипеди…. Фізика та хімія людини. Економіка інженерів. Бормотологія фінансистів – людською мовою. Технологічні поняття та креслення Папір письмовий, креслярський, офісний та конверти. Стандартні розміри фотографій. Вентиляція та кондиціювання. Водопостачання та каналізація Гаряче водопостачання (ГВП). Питне водопостачання Стічна вода. Холодне водопостачання Гальванічна промисловість Охолодження Парові лінії/системи. Конденсатні лінії/системи. Паропроводи. Конденсатопроводи. Харчова промисловість Постачання природного газу Зварювальні метали Символи та позначення обладнання на кресленнях та схемах. Умовні графічні зображення в проектах опалення, вентиляції, кондиціювання повітря та теплохолодопостачання згідно ANSI/ASHRAE Standard 134-2005. Стерилізація обладнання та матеріалів Теплопостачання Електронна промисловість Електропостачання Фізичний довідник Алфавіти. Прийняті позначення. Основні фізичні константи. Вологість абсолютна, відносна та питома. Вологість повітря. Психометричні таблиці. Діаграми Рамзіна. Час В'язкість, Число Рейнольдса (Re). Одиниці виміру в'язкості. Гази. Властивості газів. Індивідуальні постійні газові. Тиск та Вакуум Вакуум Довжина, відстань, лінійний розмір Звук. Ультразвук. Коефіцієнти звукопоглинання (посилання інший розділ) Клімат. Кліматичні дані Природні дані СНіП 23-01-99. Будівельна кліматологія (Статистика кліматичних даних) СНІП 23-01-99. Таблиця 3 - Середня місячна та річна температура повітря, °С. Колишній СРСР. СНІП 23-01-99 Таблиця 1. Кліматичні характеристики холодного періоду року. РФ. СНІП 23-01-99 Таблиця 2. Кліматичні характеристики теплого періоду року. Колишній СРСР. СНІП 23-01-99 Таблиця 2. Кліматичні характеристики теплого періоду року. РФ. СНІП 23-01-99 Таблиця 3. Середня місячна та річна температура повітря, °С. РФ. СНіП 23-01-99. Таблиця 5а * - Середній місячний і річний парціальний тиск водяної пари, гПа = 10^2 Па. РФ. СНіП 23-01-99. Таблиця 1. Кліматичні параметри холодної пори року. Колишній СРСР. Щільності. Вага. Питома вага. Насипна щільність. Поверхневий натяг. Розчинність. Розчинність газів та твердих речовин. Світло та колір. Коефіцієнти відображення, поглинання та заломлення Колірний алфавіт:) - Позначення (кодування) кольору (квітів). Властивості кріогенних матеріалів та середовищ. Таблиці. Коефіцієнти тертя різних матеріалів. Теплові величини, включаючи температури кипіння, плавлення, полум'я і т.д. додаткова інформаціядив: Коефіцієнти (показники) адіабати. Конвекційний та повний теплообмін. Коефіцієнти теплового лінійного розширення, об'ємного теплового розширення. Температури, кипіння, плавлення, інші… Переведення одиниць вимірювання температури. Займистість. Температура розм'якшення. Температури кипіння. Теплопровідність. Коефіцієнти теплопровідності. Термодинаміка. Питома теплота пароутворення (конденсації). Ентальпія пароутворення. Питома теплота згоряння (теплотворна здатність). Потреба у кисні. Електричні та магнітні величини Дипольні моменти електричні. Діелектрична проникність. Електрична стала. Довжини електромагнітних хвиль (довідник іншого розділу) Напруженість магнітного поля Поняття та формули для електрики та магнетизму. Електростатика. П'єзоелектричні модулі. Електрична міцність матеріалів Електричний струм Електричний опір та провідність. Електронні потенціали Хімічний довідник "Хімічний алфавіт (словник)" - назви, скорочення, приставки, позначення речовин та сполук. Водні розчини та суміші для обробки металів. Водні розчини для нанесення та видалення металевих покриттів Водні розчини для очищення від нагару (асфальтосмолистого нагару, нагару двигунів внутрішнього згоряння…) Водні розчини для пасивування. Водні розчини для травлення - видалення оксидів з поверхні Водні розчини для фосфатування Водні розчини та суміші для хімічного оксидування та фарбування металів. Водні розчини та суміші для хімічного полірування Обезжирюючі водні розчини та органічні розчинники Водневий показник pH. Таблиці показників pH. Горіння та вибухи. Окислення та відновлення. Класи, категорії, позначення небезпеки (токсичності) хімічних речовин Періодична система хімічних елементів Д.І.Менделєєва. Таблиця Менделєєва. Щільність органічних розчинників (г/см3) залежно від температури. 0-100 °С. Властивості розчинів. Константи дисоціації, кислотності, основності. Розчинність. Суміші. Термічні константи речовин. Ентальпії. Ентропія. Енергії Гіббса… (посилання на хімічний довідник проекту) Електротехніка Регулятори Системи гарантованого та безперебійного електропостачання. Системи диспетчеризації та управління Структуровані кабельні системи Центри обробки даних

Найпростіший багатокутник, який вивчається у школі – це трикутник. Він зрозуміліший для учнів і зустрічає менше труднощів. Незважаючи на те, що існують різні види трикутників, у яких є особливі властивості.

Яка постать називається трикутником?

Утворена трьома точками та відрізками. Перші називаються вершинами, другі - сторонами. Причому всі три відрізки мають бути з'єднані, щоб між ними утворювалися кути. Звідси і назва фігури "трикутник".

Відмінності в назвах за кутами

Оскільки вони можуть бути гострими, тупими та прямими, то й види трикутників визначаються за цими назвами. Відповідно, груп таких постатей три.

• Перший. Якщо всі кути трикутника гострі, то він матиме назву гострокутного. Все логічно.

• Друга. Один із кутів тупий, отже трикутник тупокутний. Простіше нікуди.

• Третій. Є кут, що дорівнює 90 градусам, який називається прямим. Трикутник стає прямокутним.

Відмінності в назвах на всі боки

Залежно від особливостей сторін виділяють такі види трикутників:

загальний випадок - різнобічний, у якому всі сторони мають довільну довжину;

рівнобедрений, у двох сторін якого є однакові числові значення;

рівносторонній, довжини всіх сторін однакові.

Якщо задачі не вказано конкретний вид трикутника, потрібно креслити довільний. У якого всі кути гострі, а сторони мають різну довжину.

Властивості, загальні всім трикутників

1. Якщо скласти всі кути трикутника, то вийде число 180º. І неважливо, якого він вигляду. Це правило діє завжди.
2. Числове значення будь-якої сторони трикутника менше, ніж складені разом дві інші. При цьому вона ж більша, ніж їхня різниця.
3. Кожен зовнішній кут має значення, яке виходить при складанні двох внутрішніх, не суміжних із ним. Причому він завжди більший, ніж суміжний із ним внутрішній.
4. Навпроти меншої сторони трикутника завжди лежить найменший кут. І навпаки, якщо сторона велика, то й кут буде найбільшим.

Ці властивості справедливі завжди, які види трикутників не розглядалися в задачах. Всі інші випливають із конкретних особливостей.

Властивості рівнобедреного трикутника

• Кути, які прилягають до основи, рівні.
• Висота, яка проведена до основи, є також медіаною та бісектрисою.
• Висоти, медіани та бісектриси, які побудовані до бокових сторін трикутника, відповідно дорівнюють один одному.

Властивості рівностороннього трикутника

Якщо є така фігура, то будуть вірні всі властивості, описані трохи вище. Тому що рівносторонній завжди буде рівнобедреним. Але не навпаки, рівнобедрений трикутник не обов'язково буде рівностороннім.

• Усі його кути дорівнюють один одному і мають значення 60º.
• Будь-яка медіана рівностороннього трикутника є його висотою та бісектрисою. Причому всі вони рівні один одному. Для визначення їх значень існує формула, що складається з добутку на квадратний корінь із 3, поділеного на 2.

Властивості прямокутного трикутника

• Два гострі кути дають у сумі значення 90º.
• Довжина гіпотенузи завжди більша, ніж у будь-якого з катетів.
• Числове значення медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює її половині.
• Цьому ж значення дорівнює катет, якщо він лежить навпроти кута в 30º.
• Висота, проведена з вершини зі значенням 90º, має певну математичну залежність від катетів: 1/н ​​2 = 1/а 2 + 1/в 2 . Тут: а, в – катети, н – висота.

Завдання з різними видами трикутників

№1. Дано рівнобедрений трикутник. Його периметр відомий і дорівнює 90 см. Потрібно впізнати його сторони. Як додаткова умова: бічна сторона менша за основу в 1,2 рази.

Значення периметра безпосередньо залежить від величин, які потрібно знайти. Сума всіх трьох сторін і дасть 90 см. Тепер слід згадати ознаку трикутника, за яким він є рівнобедреним. Тобто дві сторони рівні. Можна скласти рівняння з двома невідомими: 2а + в = 90. Тут а – бічна сторона, в – основа.

Настала черга додаткової умови. Наслідуючи його, виходить друге рівняння: в = 1,2а. Можна виконати підстановку цього виразу перше. Вийде: 2а + 1,2а = 90. Після перетворень: 3,2а = 90. Звідси а = 28,125 (см). Тепер неважко дізнатися про основу. Найкраще це зробити з другої умови: = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).

Для перевірки можна скласти три значення: 28,125*2+33,75=90 (см). Все вірно.

Відповідь: сторони трикутника дорівнюють 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.

№2. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Потрібно обчислити його висоту.

Рішення. Для пошуку відповіді достатньо повернутися на той момент, де були описані властивості трикутника. Так зазначено формулу для знаходження висоти, медіани та бісектриси рівностороннього трикутника.

н = а * √3/2, де н – висота, а – сторона.

Підстановка та обчислення дають такий результат: н = 6 √3 (см).

Цю формулу необов'язково запам'ятовувати. Досить, що висота ділить трикутник на два прямокутних. Причому вона виявляється катетом, а гіпотенуза в ньому це сторона вихідного, другий катет - половина відомої сторони. Тепер потрібно записати теорему Піфагора та вивести формулу для висоти.

Відповідь: висота дорівнює 6 √3 см.

№3. Дан МКР - трикутник, 90 градусів у якому становить кут К. Відомі сторони МР і КР, вони рівні відповідно 30 і 15 см. Потрібно дізнатися значення кута Р.

Рішення. Якщо зробити креслення, стає ясно, що МР — гіпотенуза. Причому вона вдвічі більша за катет КР. Знову слід звернутися до властивостей. Одне з них пов'язане з кутами. З нього зрозуміло, що кут КМР дорівнює 30 º. Значить шуканий кут Р дорівнюватиме 60º. Це випливає з іншої властивості, яка стверджує, що сума двох гострих кутів має дорівнювати 90 º.

Відповідь: кут Р дорівнює 60 º.

№4. Потрібно знайти всі кути рівнобедреного трикутника. Про нього відомо, що зовнішній кут від кута на підставі дорівнює 110º.

Рішення. Оскільки даний лише зовнішній кут, то цим і потрібно скористатися. Він утворює з внутрішнім кутом розгорнутий. Значить у сумі вони дадуть 180 º. Тобто кут при основі трикутника дорівнюватиме 70º. Так як він рівнобедрений, то другий кут має таке саме значення. Залишилося вирахувати третій кут. За якістю, загальною всім трикутників, сума кутів дорівнює 180º. Отже, третій визначиться як 180 º - 70 º - 70 º = 40 º.

Відповідь: кути дорівнюють 70º, 70º, 40º.

№5. Відомо, що в рівнобедреному трикутнику кут, що лежить навпроти основи, дорівнює 90º. На підставі зазначено крапку. Відрізок, що з'єднує її з прямим кутом, ділить його щодо 1 до 4. Потрібно дізнатися про всі кути меншого трикутника.

Рішення. Один із кутів можна визначити відразу. Оскільки трикутник прямокутний та рівнобедрений, то ті, що лежать біля його основи, будуть по 45º, тобто по 90º/2.

Другий із них допоможе знайти відоме в умові ставлення. Оскільки воно дорівнює 1 до 4, то частин, на які він ділиться, виходить всього 5. Значить, щоб дізнатися менший кут трикутника потрібно 90º/5 = 18º. Залишилось дізнатися третій. Для цього від 180º (суми всіх кутів трикутника) потрібно відняти 45º та 18º. Обчислення нескладні і вийде: 117º.