Οι έννοιες της γεωμετρίας fractal και fractal, που εμφανίστηκαν στα τέλη της δεκαετίας του '70, έχουν γίνει μέρος της καθημερινής ζωής των μαθηματικών και των προγραμματιστών από τα μέσα της δεκαετίας του '80. Η λέξη fractal προέρχεται από το λατινικό fractus και σε μεταφραστικά μέσα που αποτελούνται από θραύσματα. Προτάθηκε από τον Benoit Mandelbrot το 1975 για να υποδηλώσει τις παράτυπες αλλά αυτο-παρόμοιες δομές στις οποίες δούλεψε. Η γέννηση της γεωμετρίας του φράκταλ συνδέεται συνήθως με τη δημοσίευση του βιβλίου του Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature το 1977. Τα έργα του χρησιμοποίησαν τα επιστημονικά αποτελέσματα άλλων επιστημόνων που εργάστηκαν την περίοδο 1875-1925 στον ίδιο τομέα (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) Αλλά μόνο στην εποχή μας ήταν δυνατό να συνδυάσουμε τη δουλειά τους σε ένα ενιαίο σύστημα.
Ο ρόλος των fractals στα γραφικά υπολογιστών σήμερα είναι αρκετά μεγάλος. Έρχονται στη διάσωση, για παράδειγμα, όταν απαιτείται, με τη βοήθεια διαφόρων συντελεστών, για τον καθορισμό γραμμών και επιφανειών πολύ σύνθετων σχημάτων. Από την άποψη των γραφικών υπολογιστών, η γεωμετρία του φράκταλ είναι απαραίτητη για τη δημιουργία τεχνητών σύννεφων, βουνών και επιφανειών της θάλασσας. Στην πραγματικότητα, έχει βρεθεί ένας τρόπος που να αντιπροσωπεύει εύκολα πολύπλοκα μη ευκλείδη αντικείμενα, οι εικόνες των οποίων είναι πολύ παρόμοιες με τις φυσικές.
Η ομοιότητα είναι μία από τις κύριες ιδιότητες των fractals. Στην απλούστερη περίπτωση, ένα μικρό μέρος του φράκταλ περιέχει πληροφορίες για ολόκληρο το φράκταλ. Ο ορισμός του φράκταλ, που δίδεται από τον Mandelbrot, ακούγεται ως εξής: "Ένα φράκταλ είναι μια δομή που αποτελείται από μέρη που έχουν μια έννοια παρόμοια με το σύνολο."

Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός μαθηματικών αντικειμένων που ονομάζονται φράκταλ (τρίγωνο Sierpinski, νιφάδα χιονιού Koch, καμπύλη Peano, σετ Mandelbrot και ελκυστήρες Lorentz). Τα Fractals περιγράφουν με μεγάλη ακρίβεια πολλά φυσικά φαινόμενα και σχηματισμούς του πραγματικού κόσμου: βουνά, σύννεφα, ταραχώδη (δίνη) ρεύματα, ρίζες, κλαδιά και φύλλα δέντρων, αιμοφόρα αγγεία, που απέχει πολύ από απλά γεωμετρικά σχήματα. Για πρώτη φορά, ο Benoit Mandelbrot μίλησε για τη φράκταλ φύση του κόσμου μας στο σπερματικό έργο του «Η Φράκταλ Γεωμετρία της Φύσης».
Ο όρος fractal εισήχθη από τον Benoit Mandelbrot το 1977 στο θεμελιώδες έργο του "Fractals, Form, Chaos and Dimension". Σύμφωνα με τον Mandelbrot, η λέξη fractal προέρχεται από τις λατινικές λέξεις fractus - κλασματική και frangere - για να σπάσει, η οποία αντικατοπτρίζει την ουσία ενός fractal ως ένα "σπασμένο", ακανόνιστο σύνολο.

Ταξινόμηση των φράκταλ.

Για να αντιπροσωπεύσετε όλη την ποικιλία των fractals, είναι βολικό να καταφύγετε στη γενικά αποδεκτή κατάταξή τους. Υπάρχουν τρεις κατηγορίες fractals.

1. Γεωμετρικά fractals.

Τα fractals αυτής της κατηγορίας είναι τα πιο ενδεικτικά. Στην δισδιάστατη θήκη, λαμβάνονται χρησιμοποιώντας μια πολυγραμμή (ή επιφάνεια στην τρισδιάστατη θήκη) που ονομάζεται γεννήτρια. Σε ένα βήμα του αλγορίθμου, κάθε ένα από τα τμήματα που απαρτίζουν την πολυγραμμή αντικαθίσταται από μια γεννήτρια πολυγραμμής στην αντίστοιχη κλίμακα. Ως αποτέλεσμα της ατελείωτης επανάληψης αυτής της διαδικασίας, λαμβάνεται ένα γεωμετρικό φράκταλ.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα ενός τέτοιου αντικειμένου φράκταλ - της καμπύλης τριάδας Koch.

Κατασκευή τριάδας καμπύλης Koch.

Πάρτε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1. Ας το ονομάσουμε σπόρος... Χωρίστε τον σπόρο σε τρία ίσα μέρη μήκους 1/3, απορρίψτε το μεσαίο τμήμα και αντικαταστήστε το με μια σπασμένη γραμμή δύο συνδέσμων μήκους 1/3.

Θα λάβουμε μια πολυγραμμή που αποτελείται από 4 συνδέσμους με συνολικό μήκος 4/3, οπότε καλούμε πρώτη γενιά.

Για να περάσετε στην επόμενη γενιά της καμπύλης Koch, είναι απαραίτητο να απορρίψετε και να αντικαταστήσετε το μεσαίο τμήμα κάθε συνδέσμου. Κατά συνέπεια, το μήκος της δεύτερης γενιάς θα είναι 16/9, η τρίτη - 64/27. Εάν συνεχίσουμε αυτήν τη διαδικασία επ 'αόριστον, το αποτέλεσμα είναι μια καμπύλη τριάδας Koch.

Ας εξετάσουμε τώρα τα ιερά νησιά της καμπύλης τριάδας Koch και ανακαλύψουμε γιατί τα fractals ονομάστηκαν "τέρατα".

Πρώτον, αυτή η καμπύλη δεν έχει μήκος - όπως έχουμε δει, με τον αριθμό των γενεών το μήκος της τείνει στο άπειρο.

Δεύτερον, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη σε αυτήν την καμπύλη - καθένα από τα σημεία του είναι ένα σημείο καμπής στο οποίο δεν υπάρχει το παράγωγο - αυτή η καμπύλη δεν είναι ομαλή.

Το μήκος και η ομαλότητα είναι οι θεμελιώδεις ιδιότητες των καμπυλών, οι οποίες μελετώνται τόσο από την Ευκλείδεια γεωμετρία όσο και από τη γεωμετρία του Lobachevsky, Riemann. Οι παραδοσιακές μέθοδοι γεωμετρικής ανάλυσης αποδείχθηκαν ανεφάρμοστες στην καμπύλη τριάδας Koch, οπότε η καμπύλη Koch αποδείχθηκε τέρας - ένα «τέρας» μεταξύ των ομαλών κατοίκων των παραδοσιακών γεωμετριών.

Η οικοδόμηση του "δράκου" του Harter-Haytway.

Για να λάβετε ένα άλλο αντικείμενο φράκταλ, πρέπει να αλλάξετε τους κανόνες κατασκευής. Αφήστε το στοιχείο δημιουργίας να είναι δύο ίσα τμήματα συνδεδεμένα σε ορθή γωνία. Στην παραγωγή μηδέν, αντικαταστήστε το τμήμα γραμμής μονάδας με αυτό το στοιχείο δημιουργίας έτσι ώστε η γωνία να είναι στην κορυφή. Μπορούμε να πούμε ότι με μια τέτοια αντικατάσταση, η μέση του συνδέσμου αλλάζει. Κατά την κατασκευή των επόμενων γενεών, πληρούται ο κανόνας: ο πρώτος σύνδεσμος στα αριστερά αντικαθίσταται από ένα στοιχείο δημιουργίας έτσι ώστε το μέσο του συνδέσμου να μετατοπίζεται στα αριστερά της κατεύθυνσης κίνησης και κατά την αντικατάσταση των επόμενων συνδέσμων, οι κατευθύνσεις μετατόπισης των μεσαίων σημείων των τμημάτων πρέπει να εναλλάσσονται. Το σχήμα δείχνει τις πρώτες γενιές και την 11η γενιά της καμπύλης που χτίστηκε σύμφωνα με την παραπάνω αρχή. Η καμπύλη ως τ τείνει στο άπειρο ονομάζεται δράκος Harter-Heitway.
Στα γραφικά υπολογιστών, η χρήση γεωμετρικών fractals είναι απαραίτητη για τη λήψη εικόνων από δέντρα και θάμνους. Τα δισδιάστατα γεωμετρικά fractals χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία ογκομετρικών υφών (σχεδιάζοντας την επιφάνεια ενός αντικειμένου).

2. Αλγεβρικά fractals

Αυτή είναι η μεγαλύτερη ομάδα fractals. Λαμβάνονται με τη χρήση μη γραμμικών διαδικασιών σε διαστατικούς χώρους. Οι πιο μελετημένες είναι διδιάστατες διαδικασίες. Ερμηνεύοντας μια μη γραμμική επαναληπτική διαδικασία ως ένα διακριτό δυναμικό σύστημα, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την ορολογία της θεωρίας αυτών των συστημάτων: κατακόρυφη φάση, διαδικασία σταθερής κατάστασης, ελκυστήρας κ.λπ.
Είναι γνωστό ότι τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα έχουν αρκετές σταθερές καταστάσεις. Η κατάσταση στην οποία το δυναμικό σύστημα βρίσκεται μετά από έναν ορισμένο αριθμό επαναλήψεων εξαρτάται από την αρχική του κατάσταση. Επομένως, κάθε σταθερή κατάσταση (ή, όπως λένε, ένας ελκυστήρας) έχει ένα ορισμένο εύρος αρχικών καταστάσεων, από τις οποίες το σύστημα θα πέσει αναγκαστικά στις τελικές καταστάσεις υπό εξέταση. Έτσι, ο χώρος φάσης του συστήματος χωρίζεται σε περιοχές έλξης των ελκυστών. Εάν ένας δισδιάστατος χώρος είναι ένας χώρος φάσης, τότε χρωματίζοντας τις περιοχές έλξης με διαφορετικά χρώματα, μπορεί κανείς να αποκτήσει ένα πορτρέτο φάσης χρώματος αυτού του συστήματος (επαναληπτική διαδικασία). Αλλάζοντας τον αλγόριθμο επιλογής χρωμάτων, μπορείτε να πάρετε πολύπλοκους πίνακες fractal με περίεργα πολύχρωμα μοτίβα. Μια έκπληξη για τους μαθηματικούς ήταν η ικανότητα δημιουργίας πολύ σύνθετων μη ασήμαντων δομών χρησιμοποιώντας πρωτόγονους αλγόριθμους.

Σετ Mandelbrot.

Για παράδειγμα, σκεφτείτε το σετ Mandelbrot. Ο αλγόριθμος για την κατασκευή του είναι αρκετά απλός και βασίζεται σε μια απλή επαναληπτική έκφραση: Z \u003d Z [i] * Z [i] + Cόπου Ζι και ντο - σύνθετες μεταβλητές. Οι επαναλήψεις πραγματοποιούνται για κάθε σημείο εκκίνησης με μια ορθογώνια ή τετραγωνική περιοχή - ένα υποσύνολο του σύνθετου επιπέδου. Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται μέχρι Ζ [θ] δεν θα υπερβεί τον κύκλο της ακτίνας 2, το κέντρο του οποίου βρίσκεται στο σημείο (0,0), (αυτό σημαίνει ότι ο ελκυστήρας του δυναμικού συστήματος βρίσκεται στο άπειρο) ή μετά από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων (για παράδειγμα, 200-500) Ζ [θ] συγκλίνει σε κάποιο σημείο του κύκλου. Ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων κατά τη διάρκεια των οποίων Ζ [θ] παρέμεινε μέσα στον κύκλο, μπορείτε να ορίσετε το χρώμα του σημείου ντο (αν Ζ [θ] παραμένει μέσα στον κύκλο για έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, η επαναληπτική διαδικασία τερματίζεται και αυτό το σημείο ράστερ έχει χρώμα μαύρο).

3 στοχαστικά φράκταλ

Μια άλλη πολύ γνωστή κατηγορία fractals είναι τα στοχαστικά fractals, τα οποία λαμβάνονται εάν κάποια από τις παραμέτρους της αλλάξει τυχαία σε μια επαναληπτική διαδικασία. Ταυτόχρονα, λαμβάνονται αντικείμενα που μοιάζουν πολύ με τα φυσικά - ασύμμετρα δέντρα, εσοχές με παραλίες κ.λπ. Τα δισδιάστατα στοχαστικά fractals χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση του εδάφους και της επιφάνειας της θάλασσας.
Υπάρχουν άλλες ταξινομήσεις των fractals, για παράδειγμα, η διαίρεση των fractals σε ντετερμινιστική (αλγεβρική και γεωμετρική) και μη-ντετερμινιστική (στοχαστική).

Σχετικά με τη χρήση φράκταλ

Πρώτα απ 'όλα, τα fractals είναι ένας τομέας εκπληκτικής μαθηματικής τέχνης, όταν χρησιμοποιείτε τους απλούστερους τύπους και αλγόριθμους, λαμβάνονται εικόνες εξαιρετικής ομορφιάς και πολυπλοκότητας! Τα φύλλα, τα δέντρα και τα λουλούδια μαντεύονται συχνά στο περίγραμμα των κατασκευασμένων εικόνων.

Μερικές από τις πιο ισχυρές εφαρμογές fractals βρίσκονται στα γραφικά υπολογιστών. Πρώτον, πρόκειται για συμπίεση εικόνας φράκταλ, και δεύτερον, για την κατασκευή τοπίων, δέντρων, φυτών και τη δημιουργία φράκταλ υφής. Η σύγχρονη φυσική και η μηχανική μόλις αρχίζουν να μελετούν τη συμπεριφορά των φράκταλ αντικειμένων. Και, φυσικά, τα φράκταλ χρησιμοποιούνται απευθείας στα ίδια τα μαθηματικά.
Τα πλεονεκτήματα των αλγορίθμων για τη συμπίεση εικόνας fractal είναι πολύ μικρό μέγεθος αρχείου και σύντομος χρόνος ανάκτησης εικόνας. Οι κλασματικά συσκευασμένες εικόνες μπορούν να κλιμακωθούν χωρίς pixelation. Αλλά η διαδικασία συμπίεσης διαρκεί πολύ και μερικές φορές διαρκεί ώρες. Ο αλγόριθμος απώλειας fractal συσκευασίας σάς επιτρέπει να ορίσετε την αναλογία συμπίεσης, παρόμοια με τη μορφή jpeg. Ο αλγόριθμος βασίζεται στην αναζήτηση μεγάλων κομματιών μιας εικόνας παρόμοιας με κάποια μικρά κομμάτια. Και στο αρχείο εξόδου μόνο ποιο κομμάτι είναι παρόμοιο με αυτό που είναι γραμμένο. Κατά τη συμπίεση, συνήθως χρησιμοποιούν ένα τετράγωνο πλέγμα (τεμάχια - τετράγωνα), το οποίο οδηγεί σε μια ελαφριά γωνιά κατά την επαναφορά της εικόνας, το εξαγωνικό πλέγμα στερείται αυτού του μειονεκτήματος.
Η Iterated έχει αναπτύξει μια νέα μορφή εικόνας "Sting" που συνδυάζει fractal και κυματομορφή (όπως jpeg) χωρίς απώλεια συμπίεσης. Η νέα μορφή σάς επιτρέπει να δημιουργείτε εικόνες με τη δυνατότητα μεταγενέστερης κλιμάκωσης υψηλής ποιότητας και ο όγκος των αρχείων γραφικών είναι 15-20% του όγκου των μη συμπιεσμένων εικόνων.
Η τάση των fractal να μοιάζουν με βουνά, λουλούδια και δέντρα εκμεταλλεύεται ορισμένους γραφικούς συντάκτες, για παράδειγμα, fractal cloud από το 3D studio MAX, fractal mountain in World Builder. Τα δέντρα φράκταλ, τα βουνά και ολόκληρα τοπία ορίζονται από απλούς τύπους, είναι εύκολο να προγραμματιστούν και δεν χωρίζονται σε ξεχωριστά τρίγωνα και κύβους όταν προσεγγίζονται.
Είναι αδύνατο να αγνοήσουμε τη χρήση των φράκταλ στα ίδια τα μαθηματικά. Στη θεωρία του συνόλου, το σετ Cantor αποδεικνύει την ύπαρξη τέλειων πουθενά πυκνών συνόλων · στη θεωρία του μέτρου, η αυτοσυνδεόμενη λειτουργία "Cantor ladder" είναι ένα καλό παράδειγμα της λειτουργίας διανομής ενός μοναδικού μέτρου.
Στη μηχανική και τη φυσική, τα φράκταλ χρησιμοποιούνται λόγω της μοναδικής τους ιδιότητας για την επανάληψη των περιγραμμάτων πολλών φυσικών αντικειμένων. Τα Fractals σάς επιτρέπουν να προσεγγίσετε δέντρα, επιφάνειες πετρώματος και ρωγμές με μεγαλύτερη ακρίβεια από τις προσεγγίσεις με ένα σύνολο γραμμών ή πολυγώνων (για την ίδια ποσότητα αποθηκευμένων δεδομένων). Τα μοντέλα φράκταλ, όπως τα φυσικά αντικείμενα, έχουν "τραχύτητα" και αυτή η ιδιότητα διατηρείται σε μια αυθαίρετα μεγάλη μεγέθυνση του μοντέλου. Η παρουσία ενός ομοιόμορφου μέτρου στα fractals καθιστά δυνατή την εφαρμογή της ολοκλήρωσης, της πιθανής θεωρίας, τη χρήση τους αντί των τυπικών αντικειμένων στις εξισώσεις που έχουν ήδη μελετηθεί.
Με μια προσέγγιση fractal, το χάος παύει να είναι το μπλε της αναταραχής και παίρνει μια λεπτή δομή. Η επιστήμη του φράκταλ είναι ακόμη πολύ νέα και έχει ένα μεγάλο μέλλον μπροστά της. Η ομορφιά των fractals απέχει πολύ από το να εξαντληθεί και θα μας δώσει ακόμα πολλά αριστουργήματα - αυτά που ευχαριστούν το μάτι και αυτά που φέρνουν πραγματική απόλαυση στο μυαλό.

Σχετικά με την κατασκευή fractals

Διαδοχική μέθοδος προσέγγισης

Κοιτάζοντας αυτήν την εικόνα, δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε πώς μπορεί να κατασκευαστεί ένα παρόμοιο φράκταλ (σε αυτήν την περίπτωση, η πυραμίδα Sierpinski). Πρέπει να πάρετε μια συνηθισμένη πυραμίδα (τετραέδρα) και στη συνέχεια να κόψετε τη μέση της (οκταεδρόνη), με αποτέλεσμα να έχουμε τέσσερις μικρές πυραμίδες. Εκτελούμε την ίδια λειτουργία με καθένα από αυτά κ.λπ. Αυτή είναι μια κάπως αφελής αλλά οπτική εξήγηση.

Ας εξετάσουμε πιο αυστηρά την ουσία της μεθόδου. Ας υπάρξει κάποιο σύστημα IFS, δηλαδή σύστημα χαρτογράφησης συστολής μικρό\u003d (S 1, ..., S m) S i: R n -\u003e R n (για παράδειγμα, για την πυραμίδα μας οι αντιστοιχίσεις έχουν τη μορφή S i (x) \u003d 1/2 * x + oi, όπου oi είναι οι κορυφές του τετράεδρο, i \u003d 1, .., 4). Στη συνέχεια επιλέγουμε ένα συμπαγές σετ Α 1 στο R n (στην περίπτωσή μας επιλέγουμε ένα τετράεδρο). Και καθορίζουμε με επαγωγή την ακολουθία των συνόλων A k: A k + 1 \u003d S 1 (A k) U ... U S m (A k). Είναι γνωστό ότι τα σύνολα A k με την αύξηση k προσεγγίζουν τον επιδιωκόμενο ελκυστήρα του συστήματος μικρό.

Σημειώστε ότι κάθε μία από αυτές τις επαναλήψεις είναι ένας ελκυστήρας επαναλαμβανόμενο σύστημα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων (Αγγλικός όρος Digraph IFS, RIFS και επίσης IFS που κατευθύνεται από γράφημα) και επομένως είναι εύκολο να δημιουργηθούν με το πρόγραμμά μας.

Σχεδιασμός με σημεία ή πιθανοτική μέθοδο

Αυτή είναι η ευκολότερη μέθοδος για εφαρμογή σε υπολογιστή. Για απλότητα, σκεφτείτε την περίπτωση ενός επίπεδου αυτοεμφανιζόμενου σετ. Λοιπόν ας

) είναι κάποιο σύστημα συγγενών συγγενών. Αντιστοιχίσεις S

αντιπροσωπεύονται ως: S

Διορθώθηκε το μέγεθος μήτρας 2x2 και o

Διδιάστατη διανυσματική στήλη.

• Πάρτε το σταθερό σημείο του πρώτου χάρτη S 1 ως σημείο εκκίνησης:
  x: \u003d o1;
  Εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι όλα τα σταθερά σημεία των συστολών S 1, .., S m ανήκουν στο φράκταλ. Ως σημείο εκκίνησης, μπορείτε να επιλέξετε ένα αυθαίρετο σημείο και η ακολουθία των σημείων που δημιουργούνται θα συρρικνωθεί με το φράκταλ, αλλά στη συνέχεια θα εμφανιστούν πολλά επιπλέον σημεία στην οθόνη.
• Ας σημειώσουμε το τρέχον σημείο x \u003d (x 1, x 2) στην οθόνη:
  putpixel (x 1, x 2, 15);
• Ας επιλέξουμε τυχαία έναν αριθμό j από το 1 έως το m και υπολογίζουμε εκ νέου τις συντεταγμένες του σημείου x:
  j: \u003d Τυχαίο (m) +1;
  x: \u003d S j (x);
• Πηγαίνουμε στο βήμα 2, ή εάν έχουμε κάνει αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, τότε σταματάμε.

Σημείωση. Εάν οι λόγοι συμπίεσης των χαρτών S i είναι διαφορετικοί, τότε το φράκταλ θα γεμίσει με τελείες άνισα. Εάν οι χάρτες S i είναι ομοιότητες, αυτό μπορεί να αποφευχθεί με την περιπλοκή ελαφρώς του αλγόριθμου. Για αυτό, στο τρίτο βήμα του αλγορίθμου, ο αριθμός j από το 1 έως το m πρέπει να επιλεγεί με πιθανότητες p 1 \u003d r 1 s, .., pm \u003d rms, όπου ri δηλώνει τους συντελεστές συμπίεσης των αντιστοιχιών S i, και ο αριθμός s (που ονομάζεται διάσταση ομοιότητας) είναι από την εξίσωση r 1 s + ... + rms \u003d 1. Η λύση σε αυτήν την εξίσωση μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, με τη μέθοδο του Νεύτωνα.

Σχετικά με τα fractals και τους αλγορίθμους τους

Το fractal προέρχεται από το λατινικό επίθετο "fractus", και σε μεταφραστικά μέσα που αποτελούνται από θραύσματα, και το αντίστοιχο λατινικό ρήμα "frangere" σημαίνει να σπάσει, δηλαδή να δημιουργήσει ακανόνιστα θραύσματα. Οι έννοιες της γεωμετρίας fractal και fractal, που εμφανίστηκαν στα τέλη της δεκαετίας του '70, έχουν γίνει μέρος της καθημερινής ζωής των μαθηματικών και των προγραμματιστών από τα μέσα της δεκαετίας του '80. Ο όρος επινοήθηκε από τον Benoit Mandelbrot το 1975 για να αναφερθεί στις ακανόνιστες αλλά αυτο-παρόμοιες δομές που αντιμετώπισε. Η γέννηση της γεωμετρίας του φράκταλ συνδέεται συνήθως με τη δημοσίευση του βιβλίου του Mandelbrot το 1977 "Η γεωμετρία της Φράκταλ της Φύσης" - "Φράκταλ γεωμετρία της φύσης". Τα έργα του χρησιμοποίησαν τα επιστημονικά αποτελέσματα άλλων επιστημόνων που εργάστηκαν την περίοδο 1875-1925 στον ίδιο τομέα (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorf).

Προσαρμογές

Θα επιτρέψω στον εαυτό μου να κάνει κάποιες προσαρμογές στους αλγόριθμους που προτείνονται στο βιβλίο του H.-O. Οι Peitgen και P.H. Richter "The Beauty of Fractals" Μ. 1993 καθαρά για να εξαλείψουν τα τυπογραφικά λάθη και να διευκολύνουν την κατανόηση των διαδικασιών, αφού μετά τη μελέτη τους, πολλά παρέμειναν ένα μυστήριο για μένα. Δυστυχώς, αυτοί οι «κατανοητοί» και «απλοί» αλγόριθμοι οδηγούν σε έναν κουνιστό τρόπο ζωής.

Η κατασκευή των fractals βασίζεται σε μια συγκεκριμένη μη γραμμική συνάρτηση μιας σύνθετης διαδικασίας με ανατροφοδότηση z \u003d\u003e z 2 + c, δεδομένου ότι τα z και c είναι σύνθετοι αριθμοί, τότε z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, είναι απαραίτητο να επεκταθεί σε x και y για να πάει ένα αεροπλάνο που είναι πιο πραγματικό για ένα συνηθισμένο άτομο:

x (k + 1) \u003d x (k) 2 -y (k) 2 + p,
y (k + 1) \u003d 2 * x (k) * y (k) + q.

Το επίπεδο που αποτελείται από όλα τα ζεύγη (x, y) μπορεί να θεωρηθεί ως για σταθερές τιμές p και q, και με δυναμική. Στην πρώτη περίπτωση, ταξινόμηση σύμφωνα με το νόμο όλα τα σημεία (x, y) του επιπέδου και χρωματισμός τους ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων της λειτουργίας που απαιτείται για έξοδο από την επαναληπτική διαδικασία ή μη χρωματισμό (μαύρο) όταν ξεπεραστεί το επιτρεπόμενο μέγιστο των επαναλήψεων, θα λάβουμε μια οθόνη του σετ Julia. Αν, αντίθετα, προσδιορίσουμε το αρχικό ζεύγος τιμών (x, y) και εντοπίσουμε τη χρωματική του μοίρα με δυναμικά μεταβαλλόμενες τιμές των παραμέτρων p και q, τότε λαμβάνουμε εικόνες που ονομάζονται σύνολα Mandelbrot.

Σχετικά με το ζήτημα των αλγορίθμων για το χρωματισμό των fractals.

Συνήθως το σώμα ενός σετ αντιπροσωπεύεται ως μαύρο πεδίο, αν και είναι προφανές ότι το μαύρο χρώμα μπορεί να αντικατασταθεί από οποιοδήποτε άλλο χρώμα, αλλά αυτό είναι επίσης αποτέλεσμα μικρού ενδιαφέροντος. Η λήψη μιας εικόνας ενός συνόλου χρώματος σε όλα τα χρώματα είναι μια εργασία που δεν μπορεί να επιλυθεί χρησιμοποιώντας κυκλικές λειτουργίες. ο αριθμός των επαναλήψεων που σχηματίζουν το σώμα του σετ είναι ίσος με το μέγιστο δυνατό και είναι πάντα ο ίδιος. Είναι δυνατόν να χρωματίσετε το σετ με διαφορετικά χρώματα εφαρμόζοντας το αποτέλεσμα του ελέγχου της κατάστασης εξόδου βρόχου (z_magnitude) ή παρόμοιου, αλλά με διαφορετικές μαθηματικές πράξεις ως αριθμό χρώματος.

Εφαρμογή του "μικροσκοπίου φράκταλ"

να δείξει οριακά φαινόμενα.

Ελκυστήρες - κέντρα που παλεύουν για κυριαρχία στο αεροπλάνο. Ένα περίγραμμα εμφανίζεται μεταξύ των ελκυστών, που αντιπροσωπεύουν ένα στριμμένο μοτίβο. Αυξάνοντας την κλίμακα της σκέψης μέσα στα όρια του σετ, μπορείτε να πάρετε μη ασήμαντα μοτίβα που αντικατοπτρίζουν την κατάσταση του ντετερμινιστικού χάους - ένα κοινό φαινόμενο στον φυσικό κόσμο.

Τα αντικείμενα που μελετήθηκαν από τους γεωγράφους σχηματίζουν ένα σύστημα με πολύ περίπλοκα οργανωμένα όρια, και ως εκ τούτου η υλοποίησή τους δεν είναι εύκολη πρακτική εργασία. Τα φυσικά σύμπλοκα έχουν πυρήνες τυπικότητας, ενεργώντας ως ελκυστήρες που χάνουν τη δύναμη επιρροής τους στο έδαφος καθώς απομακρύνεται.

Χρησιμοποιώντας ένα μικροσκόπιο φράκταλ για τα σύνολα Mandelbrot και Julia, είναι δυνατόν να διαμορφωθεί μια ιδέα για οριακές διεργασίες και φαινόμενα που είναι εξίσου περίπλοκα ανεξάρτητα από την κλίμακα της εξέτασης και, επομένως, προετοιμάζει την αντίληψη του ειδικού για να συναντήσει ένα δυναμικό και φαινομενικά χαοτικό φυσικό αντικείμενο στο χώρο και το χρόνο, για την κατανόηση της γεωμετρίας του φράκταλ φύση. Τα πολύχρωμα χρώματα και η φράκταλ μουσική σίγουρα θα αφήσουν ένα βαθύ σημάδι στο μυαλό των μαθητών.

Χιλιάδες δημοσιεύσεις και τεράστιοι πόροι του Διαδικτύου αφιερώνονται σε fractals, αλλά για πολλούς ειδικούς που δεν ανήκουν στην πληροφορική, ο όρος αυτός φαίνεται εντελώς νέος. Τα fractals, ως αντικείμενα ενδιαφέροντος για ειδικούς σε διάφορους τομείς της γνώσης, πρέπει να λάβουν την κατάλληλη θέση στο μάθημα επιστήμης των υπολογιστών.

Παραδείγματα του

GRILLE SERPINSKY

Αυτό είναι ένα από τα fractals με τα οποία ο Mandelbrot πειραματίστηκε κατά την ανάπτυξη των εννοιών των fractal διαστάσεων και της επανάληψης. Τα τρίγωνα που σχηματίζονται συνδέοντας τα μεσαία σημεία ενός μεγαλύτερου τριγώνου κόβονται από το κύριο τρίγωνο για να σχηματίσουν ένα τρίγωνο με περισσότερες οπές. Σε αυτήν την περίπτωση, ο εκκινητής είναι το μεγάλο τρίγωνο και το πρότυπο είναι η λειτουργία κοπής τριγώνων παρόμοια με το μεγαλύτερο. Μπορείτε επίσης να πάρετε μια τρισδιάστατη έκδοση ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας ένα συνηθισμένο τετράεδρο και χαράζοντας μικρά τετράεδρο. Η διάσταση ενός τέτοιου φράκταλ είναι ln3 / ln2 \u003d 1.584962501. Αποκτώ Χαλί Sierpinski, πάρτε ένα τετράγωνο, χωρίστε το σε εννέα τετράγωνα και κόψτε το μεσαίο. Θα κάνουμε το ίδιο με τα υπόλοιπα, μικρότερα τετράγωνα. Στο τέλος, σχηματίζεται ένα επίπεδο πλέγμα fractal που δεν έχει περιοχή, αλλά με άπειρες συνδέσεις. Στη χωρική του μορφή, το σφουγγάρι Sierpinski μεταμορφώνεται σε ένα σύστημα διαφόρων μορφών, στο οποίο κάθε διαμέσου στοιχείου αντικαθίσταται συνεχώς από το δικό του είδος. Αυτή η δομή είναι πολύ παρόμοια με το κόψιμο των οστών. Κάποια τέτοια επαναλαμβανόμενες κατασκευές θα γίνουν μέρος των οικοδομικών κατασκευών Η στατική και η δυναμική τους, λέει ο Mandelbrot, αξίζουν στενή μελέτη.

KOHA CURVE

Η καμπύλη Koch είναι ένα από τα πιο τυπικά ντετερμινιστικά fractals. Εφευρέθηκε τον δέκατο ένατο αιώνα από έναν Γερμανό μαθηματικό με το όνομα Helge von Koch, ο οποίος, ενώ μελετούσε το έργο των Georg Kontor και Karl Weierstraße, συνάντησε περιγραφές κάποιων περίεργων καμπυλών με ασυνήθιστη συμπεριφορά. Ο εκκινητής είναι μια ευθεία γραμμή. Η γεννήτρια είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, οι πλευρές του οποίου είναι ίσες με το ένα τρίτο του μήκους του μεγαλύτερου τμήματος. Αυτά τα τρίγωνα προστίθενται στο μέσο κάθε τμήματος ξανά και ξανά. Στην έρευνά του, ο Mandelbrot πειραματίστηκε πολύ με τις καμπύλες Koch και έλαβε στοιχεία όπως τα νησιά Koch, Koch Crosses, Koch Snowflakes και ακόμη και τρισδιάστατες αναπαραστάσεις της καμπύλης Koch χρησιμοποιώντας ένα τετράεδρο και προσθέτοντας μικρότερα τετράεδρονα σε καθένα από τα πρόσωπά του. Η καμπύλη Koch έχει τη διάσταση ln4 / ln3 \u003d 1.261859507.

FRACTAL MANDELBROTH

Αυτό ΔΕΝ είναι το σετ Mandelbrot που βλέπετε αρκετά συχνά. Το σύνολο Mandelbrot βασίζεται σε μη γραμμικές εξισώσεις και είναι ένα πολύπλοκο φράκταλ. Αυτή είναι επίσης μια παραλλαγή της καμπύλης Koch, παρά το γεγονός ότι αυτό το αντικείμενο δεν μοιάζει με αυτό. Ο εκκινητής και η γεννήτρια είναι επίσης διαφορετικές από αυτές που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία fractals με βάση την αρχή της καμπύλης Koch, αλλά η ιδέα παραμένει η ίδια. Αντί να συνδέονται ισόπλευρα τρίγωνα σε ένα τμήμα καμπύλης, τα τετράγωνα συνδέονται με ένα τετράγωνο. Λόγω του γεγονότος ότι αυτό το φράκταλ καταλαμβάνει ακριβώς το ήμισυ του εκχωρημένου χώρου για κάθε επανάληψη, έχει μια απλή φράκταλ διάσταση 3/2 \u003d 1,5.

ΠΕΝΤΑΓΟΝΗ DARER

Το φράκταλ μοιάζει με μια δέσμη πενταγώνων που πιέζονται μαζί. Στην πραγματικότητα, διαμορφώνεται χρησιμοποιώντας ένα πεντάγωνο ως εκκινητή και ισοσκελή τρίγωνα, η αναλογία της μεγαλύτερης πλευράς προς τη μικρότερη στην οποία είναι ακριβώς ίση με τη λεγόμενη χρυσή αναλογία (1.618033989 ή 1 / (2cos72)) ως γεννήτρια. Αυτά τα τρίγωνα κόβονται από τη μέση κάθε πενταγώνου, με αποτέλεσμα ένα σχήμα που μοιάζει με 5 μικρά πεντάγωνα κολλημένα σε ένα μεγάλο. Μια παραλλαγή αυτού του φράκταλ μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας ένα εξάγωνο ως εκκινητή. Αυτό το φράκταλ ονομάζεται το αστέρι του Δαβίδ και μοιάζει πολύ με την εξαγωνική εκδοχή της νιφάδας χιονιού του Koch. Η διάσταση του φράκταλ του πενταγώνου Darer ln6 / ln (1 + g), όπου g είναι ο λόγος του μήκους της μεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου προς το μήκος του μικρότερου. Σε αυτήν την περίπτωση, το g είναι η Χρυσή Αναλογία, οπότε η διάσταση του φράκταλ είναι περίπου 1.86171596. Φράκταλ διάσταση του Αστέρα του Δαβίδ ln6 / ln3 ή 1.630929754.

Σύνθετα φράκταλ

Στην πραγματικότητα, εάν μεγεθύνετε μια μικρή περιοχή οποιουδήποτε σύνθετου φράκταλ και κάνετε το ίδιο με μια μικρή περιοχή αυτής της περιοχής, οι δύο μεγεθύνσεις θα είναι σημαντικά διαφορετικές μεταξύ τους. Οι δύο εικόνες θα μοιάζουν πολύ λεπτομερώς, αλλά δεν θα είναι απολύτως πανομοιότυπες.

Εικ. 1. Προσέγγιση του σετ Mandelbrot

Συγκρίνετε, για παράδειγμα, τις εικόνες του σετ Mandelbrot που δίνονται εδώ, μία από τις οποίες λήφθηκε με μεγέθυνση συγκεκριμένης περιοχής του άλλου. Όπως μπορείτε να δείτε, δεν είναι απολύτως πανομοιότυπα, αν και και στα δύο βλέπουμε έναν μαύρο κύκλο, από τον οποίο φλεγόμενα πλοκάμια πηγαίνουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Αυτά τα στοιχεία επαναλαμβάνονται επ 'αόριστον στο Mandelbrot σε μειωμένη αναλογία.

Τα ντετερμινιστικά fractals είναι γραμμικά, ενώ τα σύνθετα fractals δεν είναι. Αν και μη γραμμικά, αυτά τα fractals παράγονται από αυτό που ο Mandelbrot ονόμασε μη γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις. Ένα καλό παράδειγμα είναι η διαδικασία Zn + 1 \u003d ZnI + C, η οποία είναι η εξίσωση που χρησιμοποιείται για την κατασκευή των δεύτερων βαθμών Mandelbrot και Julia. Η λύση σε αυτές τις μαθηματικές εξισώσεις περιλαμβάνει πολύπλοκους και φανταστικούς αριθμούς. Όταν μια εξίσωση ερμηνεύεται γραφικά σε ένα περίπλοκο επίπεδο, το αποτέλεσμα είναι ένα παράξενο σχήμα στο οποίο οι ευθείες γραμμές μετατρέπονται σε καμπύλες και τα εφέ αυτο-ομοιότητας εμφανίζονται σε διαφορετικά επίπεδα κλίμακας, αν και όχι χωρίς παραμορφώσεις. Επιπλέον, ολόκληρη η εικόνα ως σύνολο είναι απρόβλεπτη και πολύ χαοτική.

Όπως μπορείτε να δείτε, κοιτάζοντας τις εικόνες, τα σύνθετα fractals είναι πραγματικά πολύ περίπλοκα και δεν μπορούν να δημιουργηθούν χωρίς τη βοήθεια ενός υπολογιστή. Για πολύχρωμα αποτελέσματα, αυτός ο υπολογιστής πρέπει να διαθέτει ισχυρό μαθηματικό συνεπεξεργαστή και οθόνη υψηλής ανάλυσης. Σε αντίθεση με τα ντετερμινιστικά fractals, τα σύνθετα fractals δεν υπολογίζονται σε 5-10 επαναλήψεις. Σχεδόν κάθε σημείο στην οθόνη του υπολογιστή είναι σαν ένα ξεχωριστό φράκταλ. Κατά τη μαθηματική επεξεργασία, κάθε σημείο αντιμετωπίζεται ως ξεχωριστό σχέδιο. Κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή. Η εξίσωση είναι ενσωματωμένη, εφαρμόζεται σε κάθε σημείο και εκτελείται, για παράδειγμα, 1000 επαναλήψεις. Για να αποκτήσετε μια σχετικά μη στρεβλωμένη εικόνα για μια χρονική περίοδο αποδεκτή για οικιακούς υπολογιστές, είναι δυνατή η πραγματοποίηση 250 επαναλήψεων για ένα σημείο.

Τα περισσότερα από τα fractals που βλέπουμε σήμερα είναι όμορφα χρωματισμένα. Ίσως οι εικόνες φράκταλ έχουν αποκτήσει τόσο μεγάλη αισθητική αξία ακριβώς λόγω των χρωμάτων τους. Αφού υπολογιστεί η εξίσωση, ο υπολογιστής αναλύει τα αποτελέσματα. Εάν τα αποτελέσματα είναι σταθερά ή κυμαίνονται γύρω από μια συγκεκριμένη τιμή, η τελεία συνήθως γίνεται μαύρη. Εάν η τιμή σε ένα ή άλλο βήμα τείνει στο άπειρο, το σημείο είναι βαμμένο σε διαφορετικό χρώμα, ίσως μπλε ή κόκκινο. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, ο υπολογιστής εκχωρεί χρώματα για όλες τις ταχύτητες.

Συνήθως, οι κουκκίδες που κινούνται γρήγορα έχουν κόκκινο χρώμα, ενώ οι πιο αργές είναι κίτρινες και ούτω καθεξής. Τα σκοτεινά σημεία είναι πιθανώς τα πιο σταθερά.

Τα σύνθετα fractals διαφέρουν από τα ντετερμινιστικά fractals με την έννοια ότι είναι απείρως πολύπλοκα, αλλά μπορούν να δημιουργηθούν με έναν πολύ απλό τύπο. Τα ντετερμινιστικά fractals δεν χρειάζονται τύπους ή εξισώσεις. Απλώς πάρτε χαρτί σχεδίασης και μπορείτε να δημιουργήσετε ένα κόσκινο Sierpinski έως και 3 ή 4 επαναλήψεις χωρίς καμία δυσκολία. Δοκιμάστε το με πολλά Julia! Ευκολότερο να μετρήσετε το μήκος της ακτογραμμής της Αγγλίας!

ΣΕΤ MANDELBROTH

Εικ. 2. Σετ Mandelbrot

Τα σετ Mandelbrot και Julia είναι πιθανώς τα δύο πιο κοινά μεταξύ των σύνθετων fractals. Μπορούν να βρεθούν σε πολλά επιστημονικά περιοδικά, εξώφυλλα βιβλίων, καρτ-ποστάλ και προφύλαξη οθόνης υπολογιστή. Το σετ Mandelbrot, το οποίο χτίστηκε από τον Benoit Mandelbrot, είναι πιθανώς η πρώτη ένωση που έχουν οι άνθρωποι όταν ακούνε τη λέξη φράκταλ. Αυτό το fractal που μοιάζει με κάρτα με λαμπερό δέντρο και κυκλικές περιοχές που συνδέονται με αυτό δημιουργείται από τον απλό τύπο Zn + 1 \u003d Zna + C, όπου τα Z και C είναι σύνθετοι αριθμοί και a είναι θετικός αριθμός.

Το σετ Mandelbrot που εμφανίζεται πιο συχνά είναι το σετ Mandelbrot 2ου βαθμού, δηλαδή a \u003d 2. Το γεγονός ότι το σετ Mandelbrot δεν είναι μόνο Zn + 1 \u003d ZnІ + C, αλλά ένα φράκταλ, ο εκθέτης του οποίου μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός, παραπλανήθηκε πολλοί. Σε αυτήν τη σελίδα, βλέπετε ένα παράδειγμα του συνόλου Mandelbrot για διαφορετικές τιμές του εκθέτη α.
Εικ. 3. Η εμφάνιση φυσαλίδων σε α \u003d 3,5

Η διαδικασία Z \u003d Z * tg (Z + C) είναι επίσης δημοφιλής. Ενεργοποιώντας τη λειτουργία εφαπτομένης, παίρνετε ένα σετ Mandelbrot που περιβάλλεται από μια περιοχή που μοιάζει με μήλο. Με τη χρήση της συνάρτησης συνημίτονο, επιτυγχάνονται εφέ φυσαλίδων αέρα. Εν ολίγοις, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός τρόπων προσαρμογής του σετ Mandelbrot για λήψη διαφορετικών όμορφων εικόνων.

ΠΟΛΛΑ ΙΟΥΛΙΑ

Παραδόξως, τα σετ Julia σχηματίζονται με τον ίδιο τύπο με το σετ Mandelbrot. Το σετ Julia εφευρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Julia, μετά τον οποίο ονομάστηκε το σετ. Το πρώτο ερώτημα που προκύπτει μετά από μια οπτική γνωριμία με τα σύνολα Mandelbrot και Julia είναι "εάν και τα δύο fractals παράγονται σύμφωνα με τον ίδιο τύπο, γιατί είναι τόσο διαφορετικά;" Πρώτα, δείτε τις φωτογραφίες του σετ Τζούλια. Παραδόξως, υπάρχουν διαφορετικοί τύποι σετ Julia. Όταν σχεδιάζετε ένα φράκταλ χρησιμοποιώντας διαφορετικά σημεία εκκίνησης (για να ξεκινήσετε τη διαδικασία επανάληψης), δημιουργούνται διαφορετικές εικόνες. Αυτό ισχύει μόνο για το σετ Julia.

Εικ. 4. Το σετ της Τζούλια

Αν και δεν φαίνεται στην εικόνα, ένα φράκταλ Mandelbrot είναι στην πραγματικότητα ένα σύνολο fractals Julia που συνδέονται μεταξύ τους. Κάθε σημείο (ή συντεταγμένη) του σετ Mandelbrot αντιστοιχεί σε ένα fractal της Julia. Τα σύνολα Julia μπορούν να δημιουργηθούν χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία ως αρχικές τιμές στην εξίσωση Z \u003d ZI + C. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι εάν επιλέξετε ένα σημείο στο φράκταλ Mandelbrot και το αυξήσετε, μπορείτε να πάρετε ένα φράκταλ Julia. Αυτά τα δύο σημεία είναι πανομοιότυπα, αλλά μόνο με μαθηματική έννοια. Εάν λάβετε αυτό το σημείο και τον υπολογίσετε χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορείτε να πάρετε ένα φράκταλ Julia που αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο του φράκταλ Mandelbrot.

Πίσω προς τα εμπρός

Προσοχή! Η προεπισκόπηση διαφανειών χρησιμοποιείται μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει όλες τις επιλογές παρουσίασης. Εάν σας ενδιαφέρει αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Συγγραφείς:
Bekbulatova Alina,
Getmanova Sophia

Ηγέτες:
Mogutova Tatiana Mikhailovna,
Deryushkina Oksana Valerievna

Εισαγωγή.

Θεωρητικό μέρος του έργου:

• Η ιστορία της εξέλιξης της φράκταλ γεωμετρίας.
• Φράκταλ έννοια.
• Τύποι fractals:

α) γεωμετρικά fractals, παραδείγματα γεωμετρικών fractals ·
β) αλγεβρικά fractals, παραδείγματα αλγεβρικών fractals ·
γ) στοχαστικά fractals, παραδείγματα.

• Φυσικά φράκταλ.
• Πρακτική εφαρμογή των fractals:
• στη λογοτεχνία
• στις τηλεπικοινωνίες ·
• στην ιατρική
• στην αρχιτεκτονική
• στο σχεδιασμό?
• στα οικονομικά?
• σε παιχνίδια, ταινίες, μουσική
• στις φυσικές επιστήμες
• στη φυσική?
• στη βιολογία
• φράκταλ για νοικοκυρές
• μοντέρνοι πίνακες - fractal γραφικά.
• Φράκταλ γραφικά.
• Ο ρόλος της φράκταλ γεωμετρίας στη ζωή είναι ένας ύμνος για τα φράκταλ!

Το πρακτικό μέρος της εργασίας σε ένα έργο

• Δημιουργία επιστημονικού έργου "Ταξίδι στον κόσμο των fractals"
• Τοποθέτηση στο Διαδίκτυο.
• Συμμετοχή σε ολυμπιάδες, διαγωνισμούς.
• Δημιουργία των δικών σας fractals.
• Δημιουργία του φυλλαδίου "Ο καταπληκτικός κόσμος των Fractals"
• Κρατώντας το φεστιβάλ «Ο καταπληκτικός κόσμος των Fractals.

Εισαγωγή

Η γεωμετρία αναφέρεται συχνά ως κρύα και ξηρά. Ένας από τους λόγους είναι η αδυναμία του να περιγράψει όλα όσα μας περιβάλλουν: το σχήμα ενός σύννεφου, ενός βουνού, ενός δέντρου ή της ακτής. Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτές δεν είναι κύκλοι και ο φλοιός δεν είναι ομαλός και ο κεραυνός δεν ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή. Με μεγάλη χαρά για εμάς μάθαμε ότι στον σύγχρονο κόσμο υπάρχει μια νέα γεωμετρία - η γεωμετρία των φράκταλ.

Η ανακάλυψη των φράκταλ επανάσταση όχι μόνο στη γεωμετρία, αλλά και στη φυσική, τη χημεία, τη βιολογία, σε όλους τους τομείς της ζωής μας.

Συνάφεια του έργου:

• Ο ρόλος των fractals στον σύγχρονο κόσμο είναι αρκετά μεγάλος
• Τα πειστικά επιχειρήματα υπέρ της σημασίας της μελέτης των fractals είναι το εύρος της εφαρμογής τους.

Ερευνητική υπόθεση:

Η γεωμετρία του φράκταλ είναι μια σύγχρονη, πολύ ενδιαφέρουσα περιοχή της ανθρώπινης γνώσης. Η εμφάνιση της φράκταλ γεωμετρίας είναι απόδειξη της συνεχιζόμενης εξέλιξης του ανθρώπου και της επέκτασης των τρόπων του να γνωρίζει τον κόσμο.

Στόχος του έργου:

Να μελετήσει τη θεωρία των fractals για να δημιουργήσει ένα επιστημονικό έργο "The Amazing World of Fractals" και την ανάπτυξη και εφαρμογή αλγορίθμων για τη σχεδίαση fractals σε ένα αεροπλάνο σε έναν υπολογιστή.

Στόχοι του έργου:

• Γνωρίστε την ιστορία της εμφάνισης και ανάπτυξης της γεωμετρίας του φράκταλ.
• Μελετήστε τους τύπους fractals, την εφαρμογή τους στον σύγχρονο κόσμο.
• Εκτελέστε προγράμματα για τη δημιουργία fractals στις γλώσσες προγραμματισμού Pascal και Logo
• Δημιουργήστε ένα επιστημονικό έργο σχετικά με τα fractals, δημοσιεύστε το στο Διαδίκτυο.
• Δημιουργήστε ένα φυλλάδιο "Ο καταπληκτικός κόσμος των Fractals"
• Να διοργανώσουμε το φεστιβάλ «Ο καταπληκτικός κόσμος των φράκταλ» προκειμένου να εξοικειωθούν οι μαθητές με τα αποτελέσματα της δουλειάς μας.

Εργαζόμαστε για το έργο για 4 μήνες.

Τα κύρια στάδια της εργασίας μας:

• Συλλογή των απαραίτητων πληροφοριών: χρήση του Διαδικτύου, βιβλία, δημοσιεύσεις για αυτό το θέμα. (2 εβδομάδες)
• Ταξινόμηση πληροφοριών ανά θέμα: συστηματοποίηση και καθορισμός της σειράς σύνταξης του έργου. Η εργασία χρειάστηκε 2 εβδομάδες.
• Σύνθεση κειμένου: σύνταξη κειμένου, μερική εγγραφή συστηματοποιημένων πληροφοριών. Χρειάστηκε ένας μήνας.
• Δημιουργία παρουσίασης: συμπίεση συστηματοποιημένων πληροφοριών, προσδιορισμός της δομής της παρουσίασης, δημιουργία και σχεδιασμός της και πραγματοποιήθηκε μέσα σε ένα μήνα.
• Μελετώντας το πρόγραμμα για τη δημιουργία fractals και τη δημιουργία των δικών σας fractals στις γλώσσες προγραμματισμού Pascal και Logo (μέχρι σήμερα)

Το θεωρητικό μέρος του έργου

Μελετήσαμε την ιστορία της δημιουργίας της φράκταλ γεωμετρίας.

Το ενδιαφέρον για τα φράκταλ αντικείμενα αναβίωσε στα μέσα της δεκαετίας του '70 του 20ού αιώνα.

Η γέννηση της γεωμετρίας του φράκταλ συνδέεται συνήθως με τη δημοσίευση του βιβλίου του Μάντελμπροτ Η φράση της γεωμετρίας της φύσης το 1977. Τα έργα του χρησιμοποίησαν τα επιστημονικά αποτελέσματα άλλων επιστημόνων που εργάστηκαν την περίοδο 1875-1925 στον ίδιο τομέα (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Αλλά μόνο στην εποχή μας ήταν δυνατό να συνδυάσουμε τη δουλειά τους σε ένα ενιαίο σύστημα.

Τι είναι λοιπόν το φράκταλ;

Φράκταλ - μια γεωμετρική μορφή που αποτελείται από πολλά μέρη, καθένα από τα οποία είναι παρόμοιο με ολόκληρο το σχήμα στο σύνολό του.

Ένα μικρό μέρος του φράκταλ περιέχει πληροφορίες για ολόκληρο το φράκταλ.Σήμερα, η λέξη "φράκταλ" σημαίνει συνήθως μια γραφική αναπαράσταση μιας δομής, η οποία είναι παρόμοια με αυτήν σε μεγαλύτερη κλίμακα.

Τα fractals χωρίζονται σε γεωμετρικά, γεωμετρικά και στοχαστικά.

Τα γεωμετρικά fractals ονομάζονται κλασικά με άλλο τρόπο. Είναι τα πιο προφανή, αφού έχουν τη λεγόμενη άκαμπτη ομοιότητα που δεν αλλάζει όταν αλλάζει η κλίμακα. Αυτό σημαίνει ότι ανεξάρτητα από το πόσο μεγεθύνετε το φράκταλ, εξακολουθείτε να βλέπετε το ίδιο μοτίβο.

Εδώ είναι τα πιο διάσημα παραδείγματα γεωμετρικών fractals.

Νιφάδα χιονιού του Κότ.

Εφευρέθηκε το 1904 από τον Γερμανό μαθηματικό Helge von Koch.

Για τη δημιουργία του, λαμβάνεται ένα τμήμα μονάδας, χωρισμένο σε τρία ίσα μέρη και ο μεσαίος σύνδεσμος αντικαθίσταται από ένα ισόπλευρο τρίγωνο χωρίς αυτόν τον σύνδεσμο. Στο επόμενο βήμα, επαναλαμβάνουμε τη λειτουργία για καθένα από τα τέσσερα προκύπτοντα τμήματα. Ως αποτέλεσμα της ατελείωτης επανάληψης αυτής της διαδικασίας, λαμβάνεται μια καμπύλη φράκταλ.

Πεντάγωνο του Ντούερ.

Το φράκταλ μοιάζει με μια δέσμη πενταγώνων που πιέζονται μαζί. Στην πραγματικότητα, σχηματίζεται χρησιμοποιώντας ένα πεντάγωνο ως εκκινητή και ισοσκελή τρίγωνα, η αναλογία της μεγαλύτερης πλευράς προς τη μικρότερη στην οποία είναι ακριβώς η λεγόμενη χρυσή αναλογία. Αυτά τα τρίγωνα κόβονται από τη μέση κάθε πενταγώνου, με αποτέλεσμα μια εικόνα που μοιάζει με 5 μικρά πεντάγωνα κολλημένα σε ένα μεγάλο.

Πετσέτα Sierpinski.

Το 1915, ο Πολωνός μαθηματικός Vaclav Sierpinski βρήκε ένα ενδιαφέρον αντικείμενο.

Για την κατασκευή του, λαμβάνεται ένα συμπαγές ισόπλευρο τρίγωνο. Το πρώτο βήμα αφαιρεί ένα ανεστραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο από το κέντρο. Το δεύτερο βήμα αφαιρεί τρία ανεστραμμένα τρίγωνα από τα τρία υπόλοιπα τρίγωνα και ούτω καθεξής.

Δράκος καμπύλη.

Εφευρέθηκε από τον Ιταλό μαθηματικό Giuseppe Peano.

Χαλί Sierpinski.

Λαμβάνεται ένα τετράγωνο, χωρισμένο σε εννέα ίσα τετράγωνα, το μέσο του οποίου απορρίπτεται και η ίδια λειτουργία επαναλαμβάνεται απεριόριστα με τα υπόλοιπα.

Ο δεύτερος τύπος fractals είναι οι αλγεβρικοί fractals.

Πήραν το όνομά τους επειδή είναι χτισμένα βάσει αλγεβρικών τύπων. Ως αποτέλεσμα της μαθηματικής επεξεργασίας αυτού του τύπου, στην οθόνη εμφανίζεται ένα σημείο ενός συγκεκριμένου χρώματος. Το αποτέλεσμα είναι μια παράξενη εικόνα στην οποία οι ευθείες γραμμές μετατρέπονται σε καμπύλες, τα αποτελέσματα της ομοιότητας εμφανίζονται σε διάφορα επίπεδα κλίμακας. Σχεδόν κάθε σημείο στην οθόνη του υπολογιστή είναι σαν ένα ξεχωριστό φράκταλ.

Παραδείγματα των πιο διάσημων αλγεβρικών fractals.

Σετ Mandelbrot.

Τα σετ Mandelbrot είναι τα πιο συνηθισμένα μεταξύ των αλγεβρικών fractals. Μπορεί να βρεθεί σε πολλά επιστημονικά περιοδικά, εξώφυλλα βιβλίων, καρτ-ποστάλ και προφύλαξη οθόνης υπολογιστή. Πρόκειται για ένα fractal τύπου κάρτας με φλεγόμενα δέντρα και κυκλικές περιοχές που συνδέονται με αυτό.

Σετ της Τζούλια.

Το σετ Julia εφευρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Julia. Όχι λιγότερο διάσημο αλγεβρικό φράκταλ.

Πισίνες του Νεύτωνα.

Στοχαστικά φράκταλ.

Τα fractals, κατά την κατασκευή των οποίων ορισμένες παράμετροι αλλάζουν τυχαία σε ένα επαναληπτικό σύστημα, ονομάζονται στοχαστικά. Ο όρος «στοχαστικότητα» προέρχεται από την ελληνική λέξη «κερδοσκοπία».

Ταυτόχρονα, λαμβάνονται αντικείμενα που μοιάζουν πολύ με τα φυσικά - ασύμμετρα δέντρα, τραχιά παράλια κ.λπ. Τα δισδιάστατα στοχαστικά fractals χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση του εδάφους και της επιφάνειας της θάλασσας.

Αυτά τα fractals χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση του εδάφους και της επιφάνειας των θαλασσών, της διαδικασίας ηλεκτρόλυσης. Αυτή η ομάδα fractals έχει εξαπλωθεί χάρη στο έργο του Michael Barnsley του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Γεωργίας.
Ένας τυπικός εκπρόσωπος αυτής της κατηγορίας fractals "Plasma".

Το πιο κατανοητό για εμάς είναι τα λεγόμενα φυσικά fractals.

"Το Μεγάλο Βιβλίο της Φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα της γεωμετρίας" (Galileo Galilei).

Φυσικά φράκταλ.

• Στην άγρια \u200b\u200bφύση:
• Αστερίες και αχινοί
• Άνθη και φυτά (μπρόκολο, λάχανο)
• Στεφάνια από δέντρα και φύλλα φυτών
• Φρούτα (ανανά)
• Το κυκλοφορικό σύστημα και τους βρόγχους ανθρώπων και ζώων
• Σε άψυχη φύση:
• Σύνορα γεωγραφικών αντικειμένων (χώρες, περιοχές, πόλεις)
• Παγωμένα μοτίβα στα παράθυρα παραθύρων
• Σταλακτίτες, σταλαγμίτες, ελλικίτες.

Σχεδόν όλοι οι φυσικοί σχηματισμοί: στεφάνες δέντρων, σύννεφα, βουνά, ακτές έχουν δομή φράκταλ.
Τι σημαίνει?

Εάν κοιτάξετε ένα αντικείμενο φράκταλ στο σύνολό του, τότε ένα μέρος του σε μεγαλύτερη κλίμακα, τότε ένα μέρος αυτού του μέρους, είναι εύκολο να δείτε ότι φαίνονται το ίδιο.

Θαλάσσια φράκταλ.

Το χταπόδι είναι ένα θαλάσσιο βενθικό ζώο από τη σειρά των κεφαλόποδων.

Το σώμα και τα απορροφητικά του και στα οκτώ πλοκάμια αυτού του ζώου έχουν δομή φράκταλ.

Το Coral είναι ένας άλλος τυπικός εκπρόσωπος του υποβρύχιου κόσμου fractal.

Υπάρχουν πάνω από 3500 είδη κοραλλιών γνωστά στη φύση.

Πράσινα φύλλα φράκταλ - φτέρης.

Τα φύλλα φτερών έχουν σχήμα φράκταλ - είναι παρόμοια.

Το τόξο είναι ένα φράκταλ που σε κάνει να κλαίνε. Φυσικά, είναι ένα απλό φράκταλ: συνηθισμένοι κύκλοι διαφορετικών διαμέτρων, μπορεί κανείς να πει ακόμη και ένα πρωτόγονο φράκταλ.

Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα φράκταλ στη φύση είναι ο RomanescuΕίναι "Ρωμανικό μπρόκολο" ή "κουνουπίδι".

Κουνουπίδι- τυπικό φράκταλ.

Εξετάστε τη δομή του κουνουπιδιού.

Εάν κόψετε ένα από τα λουλούδια, είναι προφανές ότι το ίδιο κουνουπίδι παραμένει στα χέρια σας, μόνο μικρότερου μεγέθους. Μπορείτε να συνεχίσετε να κόβετε ξανά και ξανά, ακόμη και κάτω από ένα μικροσκόπιο - ωστόσο, το μόνο που έχουμε είναι μικρά αντίγραφα του κουνουπιδιού.

Matryoshka - σουβενίρ παιχνιδιών είναι ένα τυπικό φράκταλ. Η αρχή της κλασματικότητας είναι προφανής όταν όλες οι φιγούρες ενός ξύλινου παιχνιδιού παρατάσσονται και δεν είναι φωλιασμένες μεταξύ τους.

Ο άνθρωπος είναι ένα φράκταλ.

Ένα παιδί γεννιέται, μεγαλώνει και αυτή η διαδικασία συνοδεύεται από την αρχή της «αυτο-ομοιότητας», της κλασματικότητας.

Η περιοχή εφαρμογής των fractals είναι μεγάλη.

Φράκταλ στη λογοτεχνία

Μεταξύ λογοτεχνικών έργων, υπάρχουν εκείνα που έχουν κλασικό, δομικό ή fractal χαρακτήρα. Στα λογοτεχνικά fractals, στοιχεία του κειμένου επαναλαμβάνονται ατέλειωτα:

Ο ιερέας είχε ένα σκυλί
την αγάπησε.
Έφαγε ένα κομμάτι κρέας
τη σκότωσε.
Το έθαψα στο έδαφος,
Η λεζάντα έγραψε:
Ο ιερέας είχε ένα σκυλί ...

«Εδώ είναι το σπίτι.
Που χτίστηκε ο Τζακ.
Και εδώ είναι το σιτάρι.

Μέσα στο σπίτι,
Αυτός ο Τζακ έχτισε
Και εδώ είναι ένα αστείο πουλί,
Ποιος κλέβει έξυπνα το σιτάρι
Το οποίο διατηρείται σε ένα σκοτεινό ντουλάπι
Μέσα στο σπίτι,
Ποιο Jack έφτιαξε ... " .

Φράκταλ στις τηλεπικοινωνίες.

Οι κεραίες Fractal χρησιμοποιούνται για τη μετάδοση δεδομένων σε αποστάσεις, γεγονός που μειώνει σημαντικά το μέγεθος και το βάρος τους.

Φράκταλ στην ιατρική.

Αυτή τη στιγμή, τα fractals χρησιμοποιούνται ευρέως στην ιατρική. Το ίδιο το ανθρώπινο σώμα αποτελείται από πολλές φράκταλ δομές: το κυκλοφορικό σύστημα, τους μυς, τους βρόγχους, τις βρογχικές οδούς στους πνεύμονες, τις αρτηρίες.

Η θεωρία του φράκταλ χρησιμοποιείται για την ανάλυση ηλεκτροκαρδιογραφημάτων.

Η εκτίμηση του μεγέθους και των ρυθμών της διάστασης του φράκταλ επιτρέπει σε προγενέστερο στάδιο και με μεγαλύτερη ακρίβεια και περιεχόμενο πληροφοριών να κρίνει για παραβιάσεις της ομοιόστασης και την ανάπτυξη συγκεκριμένων καρδιακών παθήσεων.

Οι εικόνες ακτίνων Χ που υποβάλλονται σε επεξεργασία χρησιμοποιώντας αλγόριθμους φράκταλ δίνουν καλύτερη εικόνα και, κατά συνέπεια, καλύτερα διαγνωστικά !!

Ένας άλλος τομέας ενεργού χρήσης των fractals είναι η γαστρεντερολογία.

Μια νέα ερευνητική μέθοδος στην ιατρική, η ηλεκτρογαστρεντερογραφία είναι μια ερευνητική μέθοδος που επιτρέπει σε κάποιον να αξιολογήσει τη βιοηλεκτρική δραστηριότητα του στομάχου, του δωδεκαδακτύλου και άλλων μερών του γαστρεντερικού σωλήνα.

Fractals στην αρχιτεκτονική.

Η αρχή του φράκταλ της ανάπτυξης φυσικών και γεωμετρικών αντικειμένων διεισδύει βαθιά στην αρχιτεκτονική τόσο ως εικόνα της εξωτερικής λύσης ενός αντικειμένου όσο και ως εσωτερική αρχή της αρχιτεκτονικής διαμόρφωσης.

Ξεκίνησαν σχεδιαστές από όλο τον κόσμο για χρήση στα έργα τους υπέροχες φράκταλ δομές, που μόλις περιγράφηκαν πρόσφατα από εξέχοντες μαθηματικούς.

Η χρήση των fractals έχει φέρει σχεδόν όλους τους τομείς του μοντέρνου σχεδιασμού σε ένα νέο επίπεδο.

Η εισαγωγή δομών fractal έχει αυξηθεί σε πολλές περιπτώσεις, τόσο οι οπτικές όσο και οι λειτουργικές πτυχές του σχεδιασμού.

Ο σχεδιαστής Takeshi Miyakawa ονειρεύτηκε να γίνει μαθηματικός ως παιδί.

Πώς αλλιώς να εξηγήσετε αυτό το έπιπλο: το κομοδίνο Fractal 23 περιέχει 23 συρτάρια διαφόρων μεγεθών και διαστάσεων, τα οποία κατά κάποιον τρόπο καταφέρνουν να συνυπάρχουν μεταξύ τους μέσα σε μια κυβική θήκη, γεμίζοντας σχεδόν όλο το χώρο που διαθέτουν.

Φράκταλ στα οικονομικά.

Πρόσφατα, τα fractals έχουν γίνει δημοφιλή στους οικονομολόγους για την ανάλυση της συναλλαγματικής ισοτιμίας των χρηματιστηρίων, των αγορών συναλλάγματος και συναλλαγών.
Τα fractals εμφανίζονται στην αγορά αρκετά συχνά.

Fractals στα παιχνίδια.

Σήμερα, σε πολλά παιχνίδια (ίσως το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα του Minecraft), όπου υπάρχουν διάφορα είδη φυσικών τοπίων, χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι fractal με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Έχει δημιουργηθεί μεγάλος αριθμός προγραμμάτων για τη δημιουργία τοπίων και τοπίων με βάση αλγόριθμους fractal.

Φράκταλ στον κινηματογράφο.

Στον κινηματογράφο, ένας αλγόριθμος φράκταλ χρησιμοποιείται για τη δημιουργία διαφόρων φανταστικών τοπίων. Η γεωμετρία Fractal επιτρέπει στους καλλιτέχνες ειδικών εφέ να δημιουργούν εύκολα αντικείμενα όπως σύννεφα, καπνός, φλόγες, αστέρια και άλλα. Τι μπορούμε να πούμε λοιπόν σχετικά με την κινούμενη εικόνα fractal, αυτό είναι ένα πραγματικά καταπληκτικό θέαμα.

Ηλεκτρονική μουσική.

Το θέαμα της fractal animation χρησιμοποιείται με επιτυχία από τους VJs. Ειδικά συχνά τέτοιες εγκαταστάσεις βίντεο χρησιμοποιούνται σε συναυλίες ηλεκτρονικών μουσικών.

Φυσικές επιστήμες.

Τα fractals χρησιμοποιούνται συχνά στη γεωλογία και τη γεωφυσική. Δεν είναι μυστικό ότι οι ακτές νησιών και ηπείρων έχουν μια ορισμένη διάσταση φράκταλ, γνωρίζοντας ποια μπορείτε να υπολογίσετε με ακρίβεια το μήκος των ακτών.

Η μελέτη της τεκτονικής των σφαλμάτων και της σεισμικότητας διερευνάται μερικές φορές χρησιμοποιώντας αλγόριθμους φράκταλ.

Η γεωφυσική χρησιμοποιεί fractals και fractal analysis για να μελετήσει ανωμαλίες μαγνητικού πεδίου, να μελετήσει τη διάδοση κυμάτων και δονήσεων σε ελαστικά μέσα, να μελετήσει το κλίμα και πολλά άλλα.

Φράκταλ στη φυσική.

Στη φυσική, τα fractals χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως. Στη φυσική των στερεών, οι αλγόριθμοι φράκταλ επιτρέπουν σε κάποιον να περιγράψει και να προβλέψει με ακρίβεια τις ιδιότητες των στερεών, των πορωδών, των σπογγωδών σωμάτων και των αερόπηλων. Αυτό βοηθά στη δημιουργία νέων υλικών με ασυνήθιστες και χρήσιμες ιδιότητες.
Ένα παράδειγμα στερεού είναι οι κρύσταλλοι.

Η μελέτη της αναταραχής στις ροές προσαρμόζεται πολύ καλά στα fractals.

Η μετάβαση στην αναπαράσταση φράκταλ διευκολύνει τους μηχανικούς και τους φυσικούς να κατανοήσουν καλύτερα τη δυναμική των πολύπλοκων συστημάτων.
Τα Fractals μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τη μοντελοποίηση φλογών.

Φράκταλ στη βιολογία.

Στη βιολογία, χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση πληθυσμών και για την περιγραφή των συστημάτων των εσωτερικών οργάνων (το σύστημα των αιμοφόρων αγγείων). Μετά τη δημιουργία της καμπύλης Koch, προτάθηκε η χρήση της κατά τον υπολογισμό του μήκους της ακτογραμμής.

Φράκταλ για νοικοκυρές.

Μεταφέρετε εύκολα τη θεωρία των fractals στο σπίτι σας, συμπεριλαμβανομένης της κουζίνας.

Το αποτέλεσμα της εφαρμογής μπορεί να είναι οτιδήποτε: fractal σκουλαρίκια, fractal νόστιμο συκώτι και πολλά άλλα. Πρέπει να συνδέσετε μόνο τη γνώση και την εφευρετικότητα!

Τα γραφικά fractal χρησιμοποιούνται ευρέως στον σύγχρονο κόσμο. Οι δημοφιλείς πίνακες είναι αποτέλεσμα fractal γραφικών.

Και αυτό δεν είναι τυχαίο. Θαυμάστε την ομορφιά των fractal γραφικών!

Το πρακτικό μέρος του έργου

• Δημιούργησε ένα επιστημονικό έργο "Ταξίδι στον κόσμο των fractals"
• Μελετήσαμε προγράμματα για τη δημιουργία fractals στις γλώσσες προγραμματισμού Pascal και Logo
• Δημιουργήσαμε τα δικά μας fractals.
• Φτιαγμένο με τα χέρια μας "Sierpinski Napkin" και "Sierpinski Carpet"
• Φτιαγμένα "Σκουλαρίκια Fractal"
• Δημιούργησε έναν κύκλο ζωγραφικής "Θαύματα των fractal γραφικών"
• Δημοσίευσε το έργο «Ταξίδι στον κόσμο των fractals» στο Διαδίκτυο.
• Συμμετείχε με το έργο "Ένα ταξίδι στον κόσμο των Fractals" στην VII Ολυμπιακή Ολυμπιάδα για μαθητές και μαθητές "Science 2.0" με θέμα "Μαθηματικά". Κερδίσαμε την πρώτη θέση.
• Συμμετείχε με το έργο "Ταξίδι στον κόσμο των fractals" στον All-Russian διαγωνισμό "Μεγάλες ανακαλύψεις και εφευρέσεις". Κερδίσαμε την πρώτη θέση.
• Συμμετείχε με το έργο "Ένα ταξίδι στον κόσμο των Fractals" στην VIII All-Russian Olympiad για μαθητές και μαθητές "Είμαι ερευνητής" στο ακαδημαϊκό μάθημα. Κερδίσαμε την πρώτη θέση.
• Δημιούργησε μια παρουσίαση "Ο καταπληκτικός κόσμος των Fractals"
• Δημιουργία φυλλαδίων "Εφαρμογή φράκταλ" και "Φράκταλ γύρω μας"
• Πραγματοποιήσαμε ένα φεστιβάλ "Ο καταπληκτικός κόσμος των φράκταλ" για μαθητές στις τάξεις 8-11 "

Έτσι, μπορούμε να πούμε με απόλυτη εμπιστοσύνη για την τεράστια πρακτική εφαρμογή των fractal και fractal algorithms σήμερα.

Το φάσμα των περιοχών όπου εφαρμόζονται fractals είναι πολύ εκτεταμένο και ποικίλο.

Και σίγουρα, στο εγγύς μέλλον, τα fractals, fractal geometry, θα γίνουν κοντά και κατανοητά σε όλους μας. Δεν μπορούμε να τα κάνουμε χωρίς αυτά στη ζωή μας!

Ας ελπίσουμε ότι η εμφάνιση της φράκταλ γεωμετρίας αποτελεί απόδειξη της συνεχιζόμενης εξέλιξης του ανθρώπου και της επέκτασης των τρόπων του να γνωρίζει και να κατανοεί τον κόσμο. Ίσως τα παιδιά μας να λειτουργούν εξίσου εύκολα και νόημα με τις έννοιες των φράκταλ και της μη γραμμικής δυναμικής, όπως και με τις έννοιες της κλασικής φυσικής, της Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Αποτελέσματα έργου

• Γνωρίσαμε την ιστορία της προέλευσης και της ανάπτυξης της γεωμετρίας του φράκταλ.
• Μελετήσαμε τους τύπους fractals, την εφαρμογή τους στον σύγχρονο κόσμο.
• Δημιουργήσαμε τα δικά μας fractals στις γλώσσες προγραμματισμού Pascal και Logo
• Δημιούργησε ένα επιστημονικό έγγραφο σχετικά με τα φράκταλ.
• Δημιουργία φυλλαδίων "Fractals Around Us" και "Εφαρμογή Fractals"
• Πραγματοποιήσαμε ένα φεστιβάλ «Ο καταπληκτικός κόσμος των φράκταλ» για μαθητές στις τάξεις 8-11.

Συνάντησα την αναφορά της «Θεωρίας των Φράκταλ» στην τηλεοπτική σειρά «Ιερεμίας» και με ενδιέφερε αυτή η μάλλον κομψή θεωρία, την οποία χρησιμοποιούν οι σύγχρονοι μεταφυσικοί για να αποδείξουν την ύπαρξη του Θεού. Η θεωρία των fractals έχει πολύ νεαρή ηλικία. Εμφανίστηκε στα τέλη της δεκαετίας του εξήντα στη διασταύρωση των μαθηματικών, της πληροφορικής, της γλωσσολογίας και της βιολογίας. Εκείνη την εποχή, οι υπολογιστές διεισδύουν όλο και περισσότερο στη ζωή των ανθρώπων, οι επιστήμονες άρχισαν να τους χρησιμοποιούν στην έρευνά τους, ο αριθμός των χρηστών υπολογιστών αυξήθηκε. Για τη μαζική χρήση υπολογιστών, έγινε απαραίτητο να διευκολυνθεί η διαδικασία επικοινωνίας μεταξύ ανθρώπου και μηχανής. Εάν στην αρχή της εποχής των υπολογιστών, μερικοί προγραμματιστές χρηστών εισήγαγαν ανιδιοτελώς τις εντολές σε κωδικούς μηχανήματος και έλαβαν αποτελέσματα με τη μορφή ατελείωτων κορδελλών χαρτιού, τότε με μια μαζική και πολυάσχολη λειτουργία χρήσης υπολογιστών, έγινε απαραίτητο να επινοηθεί μια γλώσσα προγραμματισμού που θα ήταν κατανοητή για ένα μηχάνημα και την ίδια στιγμή, θα ήταν εύκολο να μάθετε και να χρησιμοποιήσετε. Δηλαδή, ο χρήστης θα πρέπει να εισαγάγει μόνο μία εντολή και ο υπολογιστής θα την αποσυνθέσει σε απλούστερες και θα τις εκτελούσε ήδη. Για να διευκολυνθεί η γραφή μεταφραστών, στη διασταύρωση της επιστήμης των υπολογιστών και της γλωσσολογίας, προέκυψε η θεωρία των φράκταλ, η οποία καθιστά δυνατή την αυστηρή οριοθέτηση της σχέσης μεταξύ αλγοριθμικών γλωσσών. Και ο Δανός μαθηματικός και βιολόγος A. Lindenmeer εφευρέθηκε το 1968 μια τέτοια γραμματική, την οποία ονόμασε L-σύστημα, το οποίο, πίστευε, προσομοιώνει επίσης την ανάπτυξη ζωντανών οργανισμών, ιδίως τον σχηματισμό θάμνων και κλαδιών στα φυτά.

Ένα fractal (λατινικό fractus - θρυμματισμένο, σπασμένο, σπασμένο) είναι ένα πολύπλοκο γεωμετρικό σχήμα με την ιδιότητα της ομοιότητας, δηλαδή αποτελείται από πολλά μέρη, καθένα από τα οποία είναι παρόμοιο με ολόκληρο το σχήμα στο σύνολό του. Με την ευρύτερη έννοια, τα fractals νοούνται ως σύνολα σημείων στον ευκλείδωνα χώρο που έχουν κλασματική μετρική διάσταση (με την έννοια του Minkowski ή Hausdorff), ή μια μετρική διάσταση αυστηρά μεγαλύτερη από την τοπολογική. Φράκταλ μορφή υποείδος κουνουπιδιού (Brassica cauliflora). Ένα φράκταλ είναι μια απεριόριστα παρόμοια γεωμετρική μορφή, κάθε τμήμα του οποίου επαναλαμβάνεται καθώς σμικρύνετε.

Ο Benoit Mandelbrot μπορεί δικαίως να θεωρηθεί ο πατέρας των fractals. Ο Mandelbrot είναι ο εφευρέτης του όρου "fractal". Μάντελμπροτ
έγραψε: «Ήρθα με τη λέξη« fractal », λαμβάνοντας ως βάση το επίθετο Latin fractus, που σημαίνει ακανόνιστο, αναδρομικό,
αποσπασματικός ". Ο πρώτος ορισμός των fractals δόθηκε επίσης από τον B. Mandelbrot. Η εικόνα δείχνει μόνο το κλασικό μοντέλο fractal - το σετ Mandelbrot.

Για να το θέσω πρωτόγονα, η θεωρία ενός φράκταλ είναι η ικανότητα των χαοτικών δομών να αυτορυθμίζονται σε ένα σύστημα. Το Attractor (Αγγλικά έλξη - για προσέλκυση, προσέλκυση) είναι ένα σύνολο καταστάσεων (πιο συγκεκριμένα, σημεία φάσης χώρου) ενός δυναμικού συστήματος, στο οποίο τείνει με την πάροδο του χρόνου. Οι απλούστερες εκδόσεις του ελκυστήρα είναι ένα ελκυστικό σταθερό σημείο (για παράδειγμα, στο πρόβλημα ενός εκκρεμούς με τριβή) και μια περιοδική τροχιά (για παράδειγμα, αυτο-διεγερμένες ταλαντώσεις σε ένα βρόχο θετικής ανάδρασης), αλλά υπάρχουν επίσης πολύ πιο περίπλοκα παραδείγματα. Ορισμένα δυναμικά συστήματα είναι πάντα χαοτικά, αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις, η χαοτική συμπεριφορά παρατηρείται μόνο στις περιπτώσεις που οι παράμετροι του δυναμικού συστήματος ανήκουν σε κάποιο ειδικό χώρο.

Τα πιο ενδιαφέροντα είναι περιπτώσεις χαοτικής συμπεριφοράς, όταν ένα μεγάλο σύνολο αρχικών συνθηκών οδηγεί σε αλλαγή στις τροχιές του ελκυστήρα. Ένας απλός τρόπος για να δείξετε έναν χαοτικό ελκυστήρα είναι να ξεκινήσετε από ένα σημείο στην περιοχή έλξης του ελκυστήρα και μετά να σχεδιάσετε την επόμενη τροχιά του. Λόγω της κατάστασης της τοπολογικής μεταβατικότητας, μοιάζει με χαρτογράφηση εικόνας ενός ολοκληρωμένου ελκυστήρα. Για παράδειγμα, σε ένα σύστημα που περιγράφει ένα εκκρεμές, ο χώρος είναι δισδιάστατος και αποτελείται από δεδομένα θέσης και ταχύτητας. Μπορείτε να σχεδιάσετε τη θέση του εκκρεμούς και την ταχύτητά του. Η θέση ηρεμίας του εκκρεμούς θα είναι ένα σημείο και μια περίοδο ταλάντωσης θα εμφανίζεται στο γράφημα ως μια απλή κλειστή καμπύλη. Ένα διάγραμμα με τη μορφή κλειστής καμπύλης ονομάζεται τροχιά. Το εκκρεμές έχει έναν άπειρο αριθμό τέτοιων τροχιών, σχηματίζοντας στην εμφάνιση μια συλλογή από ένθετες ελλείψεις.

Οι περισσότεροι τύποι κίνησης περιγράφονται από απλούς ελκυστήρες, οι οποίοι είναι περιορισμένοι κύκλοι. Η χαοτική κίνηση περιγράφεται από παράξενα ελκυστικά που είναι πολύ περίπλοκα και έχουν πολλές παραμέτρους. Για παράδειγμα, ένα απλό τρισδιάστατο καιρικό σύστημα περιγράφεται από τον διάσημο ελκυστή Lorenz - ένα από τα πιο διάσημα διαγράμματα χαοτικών συστημάτων, όχι μόνο επειδή ήταν ένα από τα πρώτα, αλλά και επειδή είναι ένα από τα πιο περίπλοκα. Ένας άλλος τέτοιος ελκυστήρας είναι ο χάρτης Rössler, ο οποίος έχει διπλή περίοδο, παρόμοια με τον χάρτη εφοδιαστικής. Παράξενοι ελκυστήρες εμφανίζονται και στα δύο συστήματα, και σε συνεχή δυναμική (όπως το σύστημα Lorentz) και σε ορισμένα διακριτά (για παράδειγμα, οι χάρτες Hénon). Ορισμένα διακριτά δυναμικά συστήματα ονομάζονται συστήματα Julia από την προέλευση. Τόσο τα παράξενα ελκυστικά όσο και τα συστήματα Julia έχουν μια τυπική αναδρομική, φράκταλ δομή. Το θεώρημα Poincaré-Bendixson αποδεικνύει ότι ένας παράξενος ελκυστήρας μπορεί να προκύψει σε ένα συνεχές δυναμικό σύστημα μόνο εάν έχει τρεις ή περισσότερες διαστάσεις. Ωστόσο, αυτός ο περιορισμός δεν λειτουργεί για διακριτά δυναμικά συστήματα. Τα διακριτά δισδιάστατα και ακόμη και μονοδιάστατα συστήματα μπορούν να έχουν περίεργους ελκυστήρες Η κίνηση τριών ή περισσότερων σωμάτων που βιώνουν έλξη βαρύτητας υπό ορισμένες αρχικές συνθήκες μπορεί να αποδειχθεί χαοτική κίνηση.

Έτσι, η ιδιοκτησία των χαοτικών συστημάτων να αυτο-οργανωθούν με τη βοήθεια λανθασμένων ελκυστών, σύμφωνα με ορισμένους μαθηματικούς, είναι μια αναπόδεικτη απόδειξη της ύπαρξης του Θεού και της ενέργειάς Του για τη δημιουργία όσων υπάρχουν. Αίνιγμα!

Το χάος είναι μια παραγγελία που πρέπει να αποκρυπτογραφηθεί.

Jose Saramago, The Double

«Ο 20ος αιώνας θα θυμόμαστε για τις επόμενες γενιές μόνο χάρη στη δημιουργία θεωριών σχετικότητας, κβαντικής μηχανικής και χάους ... η θεωρία της σχετικότητας ξεφορτώθηκε τις ψευδαισθήσεις του Νεύτωνα σχετικά με τον απόλυτο χωροχρόνο, η κβαντική μηχανική διέλυσε το όνειρο του ντετερμινισμού των φυσικών γεγονότων και, τέλος, το χάος ξεπέρασε τη φαντασία του Laplace για πλήρης προκαθορισμός της ανάπτυξης συστημάτων ». Αυτά τα λόγια του διάσημου Αμερικανού ιστορικού και δημοφιλούς επιστήμης, James Gleick, αντικατοπτρίζουν την τεράστια σημασία του θέματος, το οποίο καλύπτεται μόνο εν συντομία στο άρθρο που προσφέρεται στην προσοχή του αναγνώστη. Ο κόσμος μας αναδύθηκε από το χάος. Ωστόσο, εάν το χάος δεν υπακούει στους δικούς του νόμους, εάν δεν υπάρχει ειδική λογική, δεν θα μπορούσε να δημιουργήσει τίποτα.

Το νέο είναι ξεχασμένο παλιό

Επιτρέψτε μου να πάρω ένα άλλο απόσπασμα από τον Gleick:

Η σκέψη μιας εσωτερικής ομοιότητας, ότι ο μεγάλος μπορεί να επενδυθεί στο μικρό, έχει χαράξει από καιρό την ανθρώπινη ψυχή ... Σύμφωνα με τον Leibniz, μια σταγόνα νερού περιέχει ολόκληρο τον κόσμο που λάμπει με χρώματα, όπου ζουν λάμψεις νερού και άλλα άγνωστα σύμπαντα. «Δείτε τον κόσμο σε έναν κόκκο άμμου» - Ο Μπλέικ προέτρεψε και ορισμένοι επιστήμονες προσπάθησαν να ακολουθήσουν τη διαθήκη του. Οι πρώτοι ερευνητές του σπερματικού υγρού έτειναν να βλέπουν σε κάθε σπέρμα ένα είδος ομοιόμορφου, δηλαδή έναν μικροσκοπικό, αλλά ήδη πλήρως σχηματισμένο άνθρωπο.

Μια αναδρομή τέτοιων απόψεων μπορεί να μετατραπεί πολύ περισσότερο στα βάθη της ιστορίας. Μία από τις βασικές αρχές της μαγείας - ένα αναπόσπαστο στάδιο στην ανάπτυξη οποιασδήποτε κοινωνίας - είναι το αξίωμα: το μέρος είναι σαν ολόκληρο. Εκδηλώθηκε σε ενέργειες όπως θάβοντας το κρανίο ενός ζώου αντί ολόκληρου του ζώου, ένα μοντέλο άρμα αντί για το ίδιο το άρμα κ.λπ. Κρατώντας το κρανίο ενός προγόνου, οι συγγενείς πίστευαν ότι συνέχισε να ζει δίπλα τους και να συμμετέχει στις υποθέσεις τους.

Ακόμη και ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Αναξαγόρας θεώρησε τα πρωταρχικά στοιχεία του σύμπαντος ως σωματίδια παρόμοια με άλλα σωματίδια του συνόλου και του ίδιου του όλου, «άπειρο τόσο στο πλήθος όσο και στο μικρότερο». Ο Αριστοτέλης χαρακτήρισε τα στοιχεία του Αναξαγόρα με το επίθετο "παρόμοιο".

Και ο σύγχρονος, Αμερικανός κυβερνητικός ειδικός Ron Eglash, εξερευνώντας τον πολιτισμό των αφρικανικών φυλών και των Ινδιάνων της Νότιας Αμερικής, έκανε μια ανακάλυψη: από την αρχαιότητα, μερικοί από αυτούς έχουν χρησιμοποιήσει αρχές φράκταλς κατασκευής σε στολίδια, μοτίβα που εφαρμόζονται σε ρούχα και είδη οικιακής χρήσης, σε κοσμήματα, τελετές τελετών και αρχιτεκτονική. Έτσι, η δομή των χωριών ορισμένων αφρικανικών φυλών είναι ένας κύκλος στον οποίο υπάρχουν μικροί κύκλοι - σπίτια, μέσα στους οποίους ακόμη και μικρότεροι κύκλοι είναι σπίτια πνευμάτων. Σε άλλες φυλές, αντί για κύκλους, άλλες μορφές χρησιμεύουν ως στοιχεία της αρχιτεκτονικής, αλλά επαναλαμβάνονται επίσης σε διαφορετικές κλίμακες, υπόκεινται σε μία μόνο δομή. Επιπλέον, αυτές οι αρχές κατασκευής δεν ήταν μια απλή απομίμηση της φύσης, αλλά ήταν σύμφωνες με την επικρατούσα κοσμοθεωρία και την κοινωνική οργάνωση.

Ο πολιτισμός μας, φαίνεται, έχει πάει πολύ μακριά από την πρωτόγονη ύπαρξη. Ωστόσο, συνεχίζουμε να ζούμε στον ίδιο κόσμο, εξακολουθούμε να περιβάλλουμε από τη φύση, ζώντας με τους δικούς του νόμους, παρά όλες τις ανθρώπινες προσπάθειες να το προσαρμόσουμε στις ανάγκες μας. Και ο ίδιος ο άνθρωπος (ας μην το ξεχνάμε) παραμένει μέρος αυτής της φύσης.

Ο Gert Eilenberger, ένας Γερμανός φυσικός που μελετούσε τη μη γραμμικότητα, είπε κάποτε:

Γιατί η σκιαγραφία ενός γυμνού δέντρου λυγίζεται κάτω από την πίεση ενός θυελλώδους ανέμου στο φόντο ενός ζοφερού χειμερινού ουρανού θεωρείται όμορφη, και τα περίγραμμα ενός σύγχρονου πολυλειτουργικού κτηρίου, παρά τις προσπάθειες του αρχιτέκτονα, δεν φαίνονται καθόλου; Μου φαίνεται ότι ... η αίσθηση της ομορφιάς μας «τροφοδοτείται» από έναν αρμονικό συνδυασμό τάξης και διαταραχής, που μπορεί να παρατηρηθεί σε φυσικά φαινόμενα: σύννεφα, δέντρα, οροσειρές ή κρύσταλλοι νιφάδων χιονιού. Όλα αυτά τα περιγράμματα είναι δυναμικές διαδικασίες, κατεψυγμένες σε φυσικές μορφές και ένας συνδυασμός σταθερότητας και χάους είναι τυπικός για αυτούς.

Στην αρχή της θεωρίας του χάους

Τι εννοούμε χάος; Η αδυναμία πρόβλεψης της συμπεριφοράς του συστήματος, ακανόνιστα άλματα σε διαφορετικές κατευθύνσεις, τα οποία δεν θα μετατραπούν ποτέ σε διαδοχική σειρά.

Ο πρώτος ερευνητής του χάους θεωρείται ο Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος Henri Poincaré. Πίσω στα τέλη του 19ου αιώνα. όταν μελετούσε τη συμπεριφορά ενός συστήματος με τρία σώματα που αλληλεπιδρούν βαρυτικά, παρατήρησε ότι μπορεί να υπάρχουν μη περιοδικές τροχιές που είναι συνεχώς και δεν απομακρύνονται από ένα συγκεκριμένο σημείο και δεν το προσεγγίζουν.

Οι παραδοσιακές μέθοδοι γεωμετρίας, που χρησιμοποιούνται ευρέως στις φυσικές επιστήμες, βασίζονται στην προσέγγιση της δομής του αντικειμένου που διερευνάται από γεωμετρικά σχήματα, για παράδειγμα, γραμμές, επίπεδα, σφαίρες, των οποίων οι μετρικές και τοπολογικές διαστάσεις είναι ίσες. Στις περισσότερες περιπτώσεις, οι ιδιότητες του υπό μελέτη αντικειμένου και η αλληλεπίδρασή του με το περιβάλλον περιγράφονται από ολοκληρωμένα θερμοδυναμικά χαρακτηριστικά, τα οποία οδηγούν στην απώλεια σημαντικού μέρους των πληροφοριών σχετικά με το σύστημα και στην αντικατάστασή του με ένα περισσότερο ή λιγότερο κατάλληλο μοντέλο. Τις περισσότερες φορές, μια τέτοια απλοποίηση είναι αρκετά δικαιολογημένη, ωστόσο, υπάρχουν πολλές καταστάσεις όπου η χρήση τοπολογικά ανεπαρκών μοντέλων είναι απαράδεκτη. Ένα παράδειγμα τέτοιας ασυμφωνίας δόθηκε στη διδακτορική του διατριβή (τώρα γιατρός Χημικών Επιστημών) από τον Βλαντιμίρ Κωνσταντίνοβιτς Ιβάνοφ: αποκαλύπτεται κατά τη μέτρηση της επιφάνειας μιας ανεπτυγμένης (για παράδειγμα πορώδους) επιφάνειας στερεών χρησιμοποιώντας μεθόδους προσρόφησης που καταγράφουν ισόθερμους προσρόφησης. Αποδείχθηκε ότι το μέγεθος της περιοχής εξαρτάται από το γραμμικό μέγεθος των μορίων «μέτρησης» που δεν είναι τετραγωνικά, κάτι που θα αναμενόταν από τις απλούστερες γεωμετρικές εκτιμήσεις, αλλά με έναν εκθέτη μερικές φορές να πλησιάζει τα τρία.

Η πρόγνωση του καιρού είναι ένα από τα προβλήματα με τα οποία η ανθρωπότητα αγωνίζεται από την αρχαιότητα. Υπάρχει ένα πολύ γνωστό ανέκδοτο σε αυτό το θέμα, όπου η πρόγνωση του καιρού μεταδίδεται μέσω μιας αλυσίδας από τον σαμάνο στον τάρανδο, στη συνέχεια στον γεωλόγο, στη συνέχεια στον συντάκτη του ραδιοφωνικού προγράμματος και τελικά ο κύκλος κλείνει, καθώς αποδεικνύεται ότι ο σαμάνος έμαθε την πρόβλεψη στο ραδιόφωνο. Μια περιγραφή ενός τόσο περίπλοκου συστήματος όπως ο καιρός, με πολλές μεταβλητές, δεν μπορεί να περιοριστεί σε απλά μοντέλα. Αυτή η εργασία ξεκίνησε τη χρήση υπολογιστών για μοντελοποίηση μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων. Ένας από τους ιδρυτές της θεωρίας του χάους, ο Αμερικανός μετεωρολόγος και μαθηματικός Edward Norton Lorenz αφιέρωσε πολλά χρόνια στο πρόβλημα της πρόγνωσης του καιρού. Τη δεκαετία του '60 του περασμένου αιώνα, προσπαθώντας να κατανοήσει τους λόγους για την αναξιόπιστη πρόγνωση του καιρού, έδειξε ότι η κατάσταση ενός σύνθετου δυναμικού συστήματος μπορεί να εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τις αρχικές συνθήκες: μια μικρή αλλαγή σε μία από τις πολλές παραμέτρους μπορεί να αλλάξει δραστικά το αναμενόμενο αποτέλεσμα. Ο Λόρεντς χαρακτήρισε αυτή τη σχέση το φαινόμενο της πεταλούδας: "Το σημερινό κυματισμό των φτερών ενός σκώρου στο Πεκίνο σε ένα μήνα θα μπορούσε να προκαλέσει έναν τυφώνα στη Νέα Υόρκη." Έγινε διάσημος για το έργο του στη γενική κυκλοφορία της ατμόσφαιρας. Εξερευνώντας το σύστημα εξισώσεων με τρεις μεταβλητές που περιγράφουν τη διαδικασία, ο Lorenz παρουσίασε γραφικά τα αποτελέσματα της ανάλυσής του: οι γραμμές γραφήματος αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες των σημείων που καθορίζονται από τις λύσεις στο διάστημα αυτών των μεταβλητών (Εικ. 1). Η προκύπτουσα διπλή έλικα, που ονομάζεται lorenz ελκυστής(ή "παράξενο ελκυστικό"), έμοιαζε με κάτι που προκαλεί σύγχυση, αλλά βρίσκεται πάντα εντός ορισμένων ορίων και δεν επαναλαμβάνεται ποτέ. Η κίνηση στον ελκυστήρα είναι αφηρημένη (οι μεταβλητές μπορεί να είναι η ταχύτητα, η πυκνότητα, η θερμοκρασία κ.λπ.) και παρόλα αυτά μεταφέρει τα χαρακτηριστικά των πραγματικών φυσικών φαινομένων, όπως η κίνηση ενός τροχού νερού, η μεταφορά σε κλειστό βρόχο, η ακτινοβολία ενός λέιζερ μιας λειτουργίας, οι διασκορπιστικές αρμονικές ταλαντώσεις (των οποίων οι παράμετροι παίζουν το ρόλο των αντίστοιχων μεταβλητών).

Από τις χιλιάδες δημοσιεύσεις που απαρτίζουν την εξειδικευμένη βιβλιογραφία για το πρόβλημα του χάους, σχεδόν καμία από αυτές αναφέρθηκε πιο συχνά από το άρθρο "Ντετερμινιστική μη περιοδική ροή" που γράφτηκε από τον Lorentz το 1963. Παρόλο που οι προσομοιώσεις υπολογιστών είχαν ήδη μετατρέψει την πρόγνωση καιρού από μια «τέχνη σε μια επιστήμη» κατά τη διάρκεια αυτής της εργασίας, οι μακροπρόθεσμες προβλέψεις ήταν ακόμη αναξιόπιστες και αναξιόπιστες. Ο λόγος για αυτό ήταν το φαινόμενο της πεταλούδας.

Την ίδια δεκαετία του 1960, ο μαθηματικός Stephen Smale του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας συγκέντρωσε μια ερευνητική ομάδα νέων ομοϊδεάτων στο Μπέρκλεϋ. Είχε προηγουμένως απονεμηθεί το μετάλλιο Fields για εξαιρετική έρευνα στην τοπολογία. Ο Smale μελέτησε δυναμικά συστήματα, ιδιαίτερα μη γραμμικούς χαοτικούς ταλαντωτές. Για να αναπαραγάγει όλες τις διαταραχές του ταλαντωτή van der Pol στο χώρο φάσης, δημιούργησε μια δομή γνωστή ως "πέταλο" - ένα παράδειγμα δυναμικού συστήματος με χαοτική δυναμική.

Το "πέταλο" (Εικ. 2) είναι μια ακριβής και ορατή εικόνα μιας ισχυρής εξάρτησης από τις αρχικές συνθήκες: ποτέ δεν ξέρετε πού θα είναι το σημείο εκκίνησης μετά από αρκετές επαναλήψεις. Αυτό το παράδειγμα χρησίμευσε ως η ώθηση για την εφεύρεση του Ρώσου μαθηματικού, ειδικού στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων και των διαφορικών εξισώσεων, της διαφορικής γεωμετρίας και της τοπολογίας, Ντμίτρι Βίκτοροβιτς Άνοσοφ, "Anosov diffeomorphisms." Αργότερα, η θεωρία των υπερβολικών δυναμικών συστημάτων αναπτύχθηκε από αυτά τα δύο έργα. Χρειάστηκε μια δεκαετία πριν το έργο του Smale κέρδισε την προσοχή από άλλους κλάδους. «Όταν συνέβη, οι φυσικοί συνειδητοποίησαν ότι ο Smale είχε γυρίσει έναν ολόκληρο κλάδο μαθηματικών για να αντιμετωπίσει τον πραγματικό κόσμο».

Το 1972, ο μαθηματικός του Πανεπιστημίου του Μέριλαντ Τζέιμς Γιόρκε διάβασε το προαναφερθέν έγγραφο του Λορέντζ, που τον εντυπωσίασε. Ο Γιόρκ είδε στο άρθρο ένα ζωντανό φυσικό μοντέλο και θεώρησε ιερό του καθήκον να μεταφέρει στους φυσικούς αυτό που δεν είδαν στα έργα του Lorenz και του Smale. Διαβίβασε ένα αντίγραφο του άρθρου του Lorenz στο Smale. Ήταν έκπληκτος που διαπίστωσε ότι ένας σκοτεινός μετεωρολόγος (Lorenz) δέκα χρόνια νωρίτερα είχε ανακαλύψει αυτή τη διαταραχή, την οποία ο ίδιος θεωρούσε κάποτε μαθηματικά απίστευτη και έστειλε αντίγραφα σε όλους τους συναδέλφους του.

Ο βιολόγος Robert May, φίλος του York, μελετά τις αλλαγές στους ζωικούς πληθυσμούς. Ο Μάιος ακολούθησε τα βήματα του Pierre Verhlust, ο οποίος, ήδη από το 1845, επέστησε την προσοχή στο απρόβλεπτο των αλλαγών στον αριθμό των ζώων και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού είναι μια μεταβλητή τιμή. Με άλλα λόγια, η διαδικασία αποδεικνύεται μη γραμμική. Ο Μάιος προσπάθησε να κατανοήσει τι συμβαίνει στον πληθυσμό όταν οι διακυμάνσεις του ρυθμού ανάπτυξης πλησιάζουν κάποιο κρίσιμο σημείο (σημείο διακλάδωσης). Μεταβάλλοντας τις τιμές αυτής της μη γραμμικής παραμέτρου, ανακάλυψε ότι είναι δυνατές θεμελιώδεις αλλαγές στην ίδια την ουσία του συστήματος: μια αύξηση της παραμέτρου σήμαινε αύξηση του βαθμού μη γραμμικότητας, η οποία, με τη σειρά της, άλλαξε όχι μόνο τα ποσοτικά, αλλά και τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του αποτελέσματος. Μια τέτοια επέμβαση επηρέασε τόσο την τελική τιμή του μεγέθους του πληθυσμού, που ήταν σε ισορροπία, όσο και την ικανότητά του να επιτύχει τον τελευταίο γενικά. Κάτω από ορισμένες συνθήκες, η περιοδικότητα έδωσε τη θέση της στο χάος, στις διακυμάνσεις που ποτέ δεν έσβησαν.

Ο Υόρκης ανέλυσε μαθηματικά τα περιγραφόμενα φαινόμενα στο έργο του, αποδεικνύοντας ότι τα ακόλουθα συμβαίνουν σε οποιοδήποτε μονοδιάστατο σύστημα: εάν εμφανιστεί ένας κανονικός κύκλος με τρία κύματα (ομαλές αυξήσεις και πτώσεις των τιμών οποιασδήποτε παραμέτρου), τότε στο μέλλον το σύστημα θα αρχίσει να καταδεικνύει πόσο σωστοί κύκλοι οποιασδήποτε άλλης διάρκειας και εντελώς χαοτικό. (Όπως αποδείχθηκε λίγα χρόνια μετά τη δημοσίευση του άρθρου σε διεθνές συνέδριο στο Ανατολικό Βερολίνο, ο σοβιετικός (Ουκρανός) μαθηματικός Αλέξανδρος Νικολάεβιτς Σαρκόφσκι ήταν κάπως μπροστά από τον Γιόρκ στην έρευνά του). Ο Yorke έγραψε ένα άρθρο για τη γνωστή επιστημονική έκδοση American Mathematical Monthly. Ωστόσο, ο Yorke πέτυχε κάτι περισσότερο από ένα μαθηματικό αποτέλεσμα: απέδειξε στους φυσικούς ότι το χάος είναι πανταχού παρόν, σταθερό και δομημένο. Έδωσε λόγο να πιστεύει ότι πολύπλοκα συστήματα, τα οποία παραδοσιακά περιγράφονται από δύσκολες διαφορικές εξισώσεις για επίλυση, μπορούν να αναπαρασταθούν με τη βοήθεια οπτικών γραφημάτων.

Ο Μάιος προσπαθούσε να τραβήξει την προσοχή των βιολόγων στο γεγονός ότι οι ζωικοί πληθυσμοί περνούν περισσότερο από απλούς κύκλους. Στο δρόμο προς το χάος, προκύπτει ένας ολόκληρος καταρράκτης διπλασιασμού περιόδου. Είναι στα σημεία διακλάδωσης ότι μια ελαφρά αύξηση της γονιμότητας των ατόμων θα μπορούσε να οδηγήσει, για παράδειγμα, στην αντικατάσταση του τετραετούς κύκλου του πληθυσμού των τσιγγάνων από έναν οκταετή. Ο Αμερικανός Mitchell Feigenbaum αποφάσισε να ξεκινήσει υπολογίζοντας τις ακριβείς τιμές της παραμέτρου που δημιούργησε τέτοιες αλλαγές. Οι υπολογισμοί του έδειξαν ότι δεν είχε σημασία ποιος ήταν ο αρχικός πληθυσμός - πλησίαζε σταθερά τον ελκυστήρα. Στη συνέχεια, με τον πρώτο διπλασιασμό των περιόδων, ο ελκυστήρας, όπως ένα διαχωριστικό κελί, διχαλώθηκε. Στη συνέχεια πραγματοποιήθηκε ο επόμενος πολλαπλασιασμός των περιόδων, και κάθε σημείο του ελκυστήρα άρχισε να διαιρείται ξανά. Ο αριθμός - το αμετάβλητο που έλαβε ο Feigenbaum - του επέτρεψε να προβλέψει ακριβώς πότε θα συμβεί αυτό. Ο επιστήμονας ανακάλυψε ότι θα μπορούσε να προβλέψει αυτό το αποτέλεσμα για τον πιο σύνθετο ελκυστήρα - σε δύο, τέσσερα, οκτώ σημεία ... Στη γλώσσα της οικολογίας, θα μπορούσε να προβλέψει τον πραγματικό αριθμό που επιτυγχάνεται στους πληθυσμούς κατά τη διάρκεια των ετήσιων διακυμάνσεων. Έτσι, ο Feigenbaum ανακάλυψε το 1976 τον «διπλασιασμό της περιόδου», αντλώντας από το έργο του Μαΐου και τις μελέτες του για την αναταραχή. Η θεωρία του αντικατοπτρίζει έναν φυσικό νόμο που εφαρμόζεται σε όλα τα συστήματα που υφίστανται μετάβαση από την τάξη στο χάος. Οι York, May και Feigenbaum ήταν οι πρώτοι στη Δύση που αναγνώρισαν πλήρως τη σημασία του διπλασιασμού της περιόδου και μπόρεσαν να μεταδώσουν αυτήν την ιδέα σε ολόκληρη την επιστημονική κοινότητα. Ο Μάιος δήλωσε ότι πρέπει να διδαχθεί το χάος.

Σοβιετικοί μαθηματικοί και φυσικοί προχώρησαν στην έρευνά τους ανεξάρτητα από ξένους συναδέλφους. Η μελέτη του χάους ξεκίνησε από το έργο του A. N. Kolmogorov στη δεκαετία του 1950. Αλλά οι ιδέες ξένων συναδέλφων δεν παρέμειναν χωρίς την προσοχή τους. Οι πρωτοπόροι της θεωρίας του χάους είναι οι Σοβιετικοί μαθηματικοί Andrei Nikolaevich Kolmogorov και Vladimir Igorevich Arnold και ο Γερμανός μαθηματικός Jurgen Moser, οι οποίοι δημιούργησαν μια θεωρία χάους που ονομάζεται KAM (θεωρία Kolmogorov-Arnold-Moser). Ένας άλλος εξαιρετικός συμπατριώτης μας, ένας λαμπρός φυσικός και μαθηματικός Yakov Grigorievich Sinai, εφάρμοσε σκέψεις παρόμοιες με το «πέταλο Smale» στη θερμοδυναμική. Μόλις στη δεκαετία του '70 οι δυτικοί φυσικοί εξοικειώθηκαν με το έργο του Lorentz, καθώς κέρδισε τη φήμη στην ΕΣΣΔ. Το 1975, όταν ο Γιόρκ και ο Μάιος καταβάλλουν ακόμη σημαντικές προσπάθειες για να προσελκύσουν την προσοχή των συναδέλφων τους, ο Σινά και οι σύντροφοί του οργάνωσαν μια ερευνητική ομάδα στο Γκόρκυ για να μελετήσουν αυτό το πρόβλημα.

Τον τελευταίο αιώνα, όταν η στενή εξειδίκευση και ο διαχωρισμός μεταξύ διαφορετικών επιστημονικών κλάδων έγινε ο κανόνας στην επιστήμη, οι μαθηματικοί, οι φυσικοί, οι βιολόγοι, οι χημικοί, οι φυσιολόγοι, οι οικονομολόγοι πολέμησαν για παρόμοια προβλήματα χωρίς να ακούν ο ένας τον άλλον. Οι ιδέες που απαιτούν μια αλλαγή στην οικεία κοσμοθεωρία αγωνίζονται πάντα να κάνουν το δρόμο τους. Ωστόσο, σταδιακά κατέστη σαφές ότι πράγματα όπως οι αλλαγές στους πληθυσμούς των ζώων, οι διακυμάνσεις των τιμών στην αγορά, οι αλλαγές στον καιρό, η κατανομή των ουράνιων σωμάτων σε μέγεθος και πολύ περισσότερο, υπακούουν στους ίδιους νόμους. "Η συνειδητοποίηση αυτού του γεγονότος ανάγκασε τους διευθυντές να επανεξετάσουν τη στάση τους απέναντι στην ασφάλιση, οι αστρονόμοι - από διαφορετική οπτική γωνία του ηλιακού συστήματος, οι πολιτικοί - να αλλάξουν γνώμη σχετικά με τις αιτίες των ένοπλων συγκρούσεων."

Μέχρι τα μέσα της δεκαετίας του 1980, η κατάσταση είχε αλλάξει δραματικά. Οι ιδέες της φράκταλ γεωμετρίας ένωσαν τους επιστήμονες που μπερδεύτηκαν από τις δικές τους παρατηρήσεις και δεν ήξεραν πώς να τις ερμηνεύσουν. Για τους ερευνητές του χάους, τα μαθηματικά έχουν γίνει πειραματική επιστήμη, οι υπολογιστές έχουν αντικαταστήσει τα εργαστήρια. Οι γραφικές εικόνες έχουν γίνει υψίστης σημασίας. Η νέα επιστήμη έδωσε στον κόσμο μια ειδική γλώσσα, νέες έννοιες: πορτραίτο φάσης, ελκυστήρας, διακλάδωση, τμήμα χώρου φάσης, φράκταλ ...

Ο Benoit Mandelbrot, αντλώντας από τις ιδέες και το έργο των προκατόχων και των συγχρόνων του, έδειξε ότι τόσο περίπλοκες διαδικασίες όπως η ανάπτυξη ενός δέντρου, ο σχηματισμός σύννεφων, οι διαφορές στα οικονομικά χαρακτηριστικά ή το μέγεθος των ζωικών πληθυσμών διέπονται από ουσιαστικά παρόμοιους νόμους της φύσης. Αυτά είναι ορισμένα πρότυπα με τα οποία ζει το χάος. Από την άποψη της φυσικής αυτοοργάνωσης, είναι πολύ πιο απλές από τις τεχνητές μορφές που είναι γνωστές σε ένα πολιτισμένο άτομο. Μπορούν να αναγνωριστούν ως πολύπλοκα μόνο στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας, καθώς τα fractals προσδιορίζονται με τον καθορισμό ενός αλγορίθμου και, ως εκ τούτου, μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας μια μικρή ποσότητα πληροφοριών.

Φράκταλ γεωμετρία της φύσης

Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε τι είναι ένα φράκταλ και "με τι τρώγεται." Και μπορείτε πραγματικά να φάτε μερικά από αυτά, όπως, για παράδειγμα, ένας τυπικός εκπρόσωπος που εμφανίζεται στη φωτογραφία.

Λέξη φράκταλπροέρχεται από λατινικά κάκτος - θρυμματισμένο, σπασμένο, θρυμματισμένο σε κομμάτια. Το φράκταλ είναι ένα μαθηματικό σύνολο που έχει την ιδιότητα της ομοιότητας, δηλαδή, την αναλλοίωτη κλίμακα.

Ο όρος "fractal" επινοήθηκε από τον Mandelbrot το 1975 και απέκτησε μεγάλη δημοτικότητα με τη δημοσίευση του βιβλίου του "The Fractal Geometry of Nature" το 1977. "Δώστε στο τέρας λίγο άνετο, οικείο όνομα και θα εκπλαγείτε πόσο πιο εύκολο θα είναι να το εξημερώσετε!" είπε ο Μάντελμπροτ. Αυτή η επιθυμία να καταστούν τα υπό μελέτη αντικείμενα (μαθηματικά σύνολα) κοντά και κατανοητά οδήγησε στη γέννηση νέων μαθηματικών όρων, όπως σκόνη, τυρί cottage, ορρός, αποδεικνύοντας σαφώς τη βαθιά σύνδεσή τους με τις φυσικές διαδικασίες.

Η μαθηματική έννοια ενός φράκταλ προσδιορίζει αντικείμενα με δομές διαφόρων κλιμάκων, τόσο μεγάλων όσο και μικρών, και έτσι αντικατοπτρίζει την ιεραρχική αρχή της οργάνωσης. Φυσικά, διαφορετικά κλαδιά ενός δέντρου, για παράδειγμα, δεν μπορούν να ευθυγραμμιστούν ακριβώς μεταξύ τους, αλλά μπορούν να θεωρηθούν παρόμοια με στατιστική έννοια. Ομοίως, τα σχήματα σύννεφων, τα ορεινά περιγράμματα, οι ακτές, οι φλόγες, τα αγγεία, οι χαράδρες, οι αστραπές, εμφανίζονται σε διαφορετικές κλίμακες, φαίνονται παρόμοια. Αν και αυτή η εξιδανίκευση μπορεί να αποδειχθεί απλοποίηση της πραγματικότητας, αυξάνει σημαντικά το βάθος της μαθηματικής περιγραφής της φύσης.

Ο Mandelbrot εισήγαγε την έννοια του «φυσικού φράκταλ» για να υποδηλώσει τις φυσικές δομές που μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας σύνολα φράκταλ. Αυτά τα φυσικά αντικείμενα περιλαμβάνουν ένα στοιχείο τύχης. Η θεωρία που δημιούργησε ο Mandelbrot καθιστά δυνατή την ποσοτική και ποιοτική περιγραφή όλων αυτών των μορφών που παλαιότερα ονομαζόταν μπερδεμένο, κυματιστό, τραχύ κ.λπ.

Οι δυναμικές διεργασίες που αναφέρονται παραπάνω, οι λεγόμενες διαδικασίες ανατροφοδότησης, προκύπτουν σε διάφορα φυσικά και μαθηματικά προβλήματα. Όλα έχουν ένα κοινό σημείο - τον ανταγωνισμό πολλών κέντρων (που ονομάζονται "ελκυστήρες") για κυριαρχία στο αεροπλάνο. Η κατάσταση στην οποία το σύστημα βρίσκεται μετά από έναν ορισμένο αριθμό επαναλήψεων εξαρτάται από τον «τόπο εκκίνησης» του. Επομένως, κάθε ελκυστήρας αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη περιοχή αρχικών καταστάσεων, από την οποία το σύστημα θα πέσει αναγκαστικά στην εξεταζόμενη τελική κατάσταση. Έτσι, ο χώρος φάσης του συστήματος (ο αφηρημένος χώρος των παραμέτρων που σχετίζονται με ένα συγκεκριμένο δυναμικό σύστημα, τα σημεία στα οποία χαρακτηρίζουν μοναδικά όλες τις πιθανές καταστάσεις του) χωρίζεται σε περιοχές έλξηςελκυστήρες. Υπάρχει ένα είδος επιστροφής στη δυναμική του Αριστοτέλη, σύμφωνα με την οποία κάθε σώμα τείνει στη θέση του. Απλά σύνορα μεταξύ «γειτονικών εδαφών» σπάνια προκύπτουν ως αποτέλεσμα μιας τέτοιας αντιπαλότητας. Σε αυτήν την περιοχή των συνόρων συμβαίνει η μετάβαση από τη μία μορφή ύπαρξης στην άλλη: από τάξη σε χάος. Η γενική μορφή της έκφρασης για το δυναμικό νόμο είναι πολύ απλή: x n + 1 → f x n C. Η δυσκολία έγκειται στη μη γραμμική σχέση μεταξύ της αρχικής τιμής και του αποτελέσματος. Εάν ξεκινήσουμε μια επαναληπτική διαδικασία του καθορισμένου τύπου από κάποια αυθαίρετη τιμή \\ (x_0 \\), τότε το αποτέλεσμα θα είναι μια ακολουθία \\ (x_1 \\), \\ (x_2 \\), ..., η οποία είτε συγκλίνει σε κάποια οριακή τιμή \\ (X \\) , προσπαθώντας για μια κατάσταση ανάπαυσης, είτε θα φτάσει σε έναν συγκεκριμένο κύκλο νοημάτων, που θα επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά, ή θα συμπεριφέρεται τυχαία και απρόβλεπτα όλη την ώρα. Είναι ακριβώς τέτοιες διαδικασίες που διερευνήθηκαν κατά τη διάρκεια του Πρώτου Παγκοσμίου Πολέμου από τους Γάλλους μαθηματικούς Gaston Julia και Pierre Fato.

Μελετώντας τα σετ που ανακάλυψαν, ο Μάντελμπροτ το 1979 ήρθε στην εικόνα στο περίπλοκο επίπεδο της εικόνας, το οποίο, όπως θα είναι σαφές από τα ακόλουθα, είναι ένα είδος πίνακα περιεχομένων για μια ολόκληρη κατηγορία μορφών, που ονομάζεται Julia set. Το σετ Julia είναι ένα σύνολο σημείων που προκύπτουν ως αποτέλεσμα της επανάληψης ενός τετραγωνικού μετασχηματισμού: x n → x n - 1 2 + C, η δυναμική της οποίας είναι ασταθής σε σχέση με μικρές διαταραχές της αρχικής θέσης. Κάθε διαδοχική τιμή \\ (x \\) λαμβάνεται από την προηγούμενη. καλείται ένας σύνθετος αριθμός \\ (C \\) παράμετρος ελέγχου... Η συμπεριφορά της ακολουθίας αριθμών εξαρτάται από την παράμετρο \\ (C \\) και το σημείο εκκίνησης \\ (x_0 \\). Εάν διορθώσουμε \\ (C \\) και αλλάξουμε \\ (x_0 \\) στο πεδίο των σύνθετων αριθμών, παίρνουμε το σετ Julia. Εάν διορθώσουμε \\ (x_0 \\) \u003d 0 και αλλάξουμε \\ (C \\), λαμβάνουμε το σετ Mandelbrot (\\ (M \\)). Μας λέει τι είδους Julia set πρέπει να αναμένεται για μια συγκεκριμένη επιλογή του \\ (C \\). Κάθε σύνθετος αριθμός \\ (C \\) είτε ανήκει στον τομέα \\ (M \\) (μαύρο στο Σχ. 3) είτε όχι. Το \\ (C \\) ανήκει στο \\ (M \\) εάν και μόνο εάν το "κρίσιμο σημείο" \\ (x_0 \\) \u003d 0 δεν τείνει στο άπειρο. Το σετ \\ (M \\) αποτελείται από όλα τα σημεία \\ (C \\) που σχετίζονται με συνδεδεμένα σύνολα Julia, αλλά αν το σημείο \\ (C \\) βρίσκεται έξω από το σετ \\ (M \\), το σετ Julia που σχετίζεται με αυτό αποσυνδέεται. Το όριο του συνόλου \\ (M \\) καθορίζει τη στιγμή της μαθηματικής μετάβασης φάσης για τα σύνολα Julia x n → x n - 1 2 + C. Όταν η παράμετρος \\ (C \\) φεύγει \\ (M \\), τα σύνολα Julia χάνουν τη συνδεσιμότητά τους, μιλώντας εικονικά, εκρήγνυνται και μετατρέπονται σε σκόνη. Ένα ποιοτικό άλμα που συμβαίνει στο όριο \\ (M \\) επηρεάζει επίσης την περιοχή που βρίσκεται δίπλα στο όριο. Η σύνθετη δυναμική δομή της οριακής περιοχής μπορεί να φαίνεται περίπου χρωματίζοντας (συμβατικά) σε διαφορετικά χρώματα τις ζώνες με τον ίδιο χρόνο "διαφυγής στο άπειρο του αρχικού σημείου \\ (x_0 \\) \u003d 0". Αυτές οι τιμές \\ (C \\) (μία σκιά), στην οποία το κρίσιμο σημείο απαιτεί έναν δεδομένο αριθμό επαναλήψεων να βρίσκονται εκτός του κύκλου της ακτίνας \\ (N \\), γεμίζουν το κενό μεταξύ των δύο γραμμών. Καθώς πλησιάζουμε το όριο \\ (M \\), αυξάνεται ο απαιτούμενος αριθμός επαναλήψεων. Το θέμα αναγκάζεται ολοένα και περισσότερο να περιπλανηθεί σε μονοπάτια κοντά στο σετ της Τζούλια. Το σετ Mandelbrot ενσωματώνει τη διαδικασία μετάβασης από τάξη σε χάος.

Είναι ενδιαφέρον να εντοπίσουμε το μονοπάτι που ο Mandelbrot πήρε στις ανακαλύψεις του. Ο Benoit γεννήθηκε στη Βαρσοβία το 1924, το 1936 η οικογένεια μετανάστευσε στο Παρίσι. Αφού αποφοίτησε από την Ecole Polytechnique, και μετά το Πανεπιστήμιο του Παρισιού, ο Mandelbrot μετακόμισε στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου επίσης σπούδασε στο California Institute of Technology. Το 1958 έγινε μέλος του IBM Research Center στο Yorktown. Παρά τις καθαρά εφαρμοσμένες δραστηριότητες της εταιρείας, η θέση του του επέτρεψε να διεξάγει έρευνα σε διάφορους τομείς. Ενώ εργάστηκε στον τομέα των οικονομικών, ο νεαρός ειδικός άρχισε να μελετά τις στατιστικές των τιμών του βαμβακιού για μεγάλο χρονικό διάστημα (πάνω από 100 χρόνια). Αναλύοντας τη συμμετρία των μακροπρόθεσμων και βραχυπρόθεσμων διακυμάνσεων των τιμών, παρατήρησε ότι αυτές οι διακυμάνσεις κατά τη διάρκεια της ημέρας φαίνονται τυχαίες και απρόβλεπτες, αλλά η ακολουθία τέτοιων αλλαγών δεν εξαρτάται από την κλίμακα. Για να λύσει αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποίησε για πρώτη φορά τις εξελίξεις του για τη μελλοντική φράκταλ θεωρία και μια γραφική απεικόνιση των διεργασιών που μελετήθηκαν.

Ενδιαφερόμενος για διάφορους τομείς της επιστήμης, ο Mandelbrot στράφηκε στη μαθηματική γλωσσολογία και στη συνέχεια ήρθε η σειρά της θεωρίας του παιχνιδιού. Πρότεινε επίσης τη δική του προσέγγιση στα οικονομικά, επισημαίνοντας την τάξη της κλίμακας στην εξάπλωση των πόλεων. Μελετώντας το άγνωστο έργο του Άγγλου επιστήμονα Lewis Richardson, που δημοσιεύθηκε μετά το θάνατο του συγγραφέα, ο Mandelbrot αντιμετώπισε το φαινόμενο της ακτογραμμής. Στο άρθρο "Πόσο καιρό είναι η ακτογραμμή του Ηνωμένου Βασιλείου;" διερευνά αυτό το ερώτημα λεπτομερώς, το οποίο λίγοι άνθρωποι έχουν σκεφτεί πριν από αυτόν, και καταλήγει σε απροσδόκητα συμπεράσματα: το μήκος της ακτογραμμής είναι ... άπειρο! Όσο πιο ακριβή προσπαθείτε να το μετρήσετε, τόσο μεγαλύτερη είναι η αξία του!

Για να περιγράψει τέτοια φαινόμενα, ο Mandelbrot είχε την ιδέα να ξεκινήσει από την ιδέα της διάστασης. Η φράκταλ διάσταση ενός αντικειμένου χρησιμεύει ως ποσοτικό χαρακτηριστικό ενός από τα χαρακτηριστικά του, δηλαδή, η πλήρωση του χώρου.

Ο ορισμός της έννοιας της φράκταλ διάστασης επιστρέφει στο έργο του Felix Hausdorff, που δημοσιεύθηκε το 1919, και τελικά διατυπώθηκε από τον Abram Samoilovich Besicovich. Η διάσταση του φράκταλ είναι ένα μέτρο λεπτομέρειας, θραύσης, τραχύτητας ενός φράκταλ αντικειμένου. Στον ευκλείδειο χώρο, η τοπολογική διάσταση καθορίζεται πάντα από έναν ακέραιο (η διάσταση ενός σημείου είναι 0, μια γραμμή είναι 1, ένα επίπεδο είναι 2, ένα ογκομετρικό σώμα είναι 3). Αν εντοπίσουμε, για παράδειγμα, την προβολή στο επίπεδο κίνησης ενός σωματιδίου Brownian, το οποίο φαίνεται να αποτελείται από τμήματα ευθείας γραμμής, δηλαδή, έχουν διάσταση 1, πολύ σύντομα θα αποδειχθεί ότι το ίχνος του γεμίζει σχεδόν ολόκληρο το επίπεδο. Αλλά η διάσταση του επιπέδου είναι 2. Η απόκλιση μεταξύ αυτών των τιμών μας δίνει το δικαίωμα να αποδώσουμε αυτήν την «καμπύλη» σε fractals και να ονομάσουμε την ενδιάμεση (κλασματική) διάσταση fractal. Εάν λάβουμε υπόψη την χαοτική κίνηση ενός σωματιδίου στον όγκο, η διάσταση του φράκταλ της τροχιάς θα είναι μεγαλύτερη από 2, αλλά μικρότερη από 3. Οι ανθρώπινες αρτηρίες, για παράδειγμα, έχουν διάσταση φράκταλ περίπου 2,7. Τα αποτελέσματα του Ivanov, που αναφέρονται στην αρχή του άρθρου, σχετικά με τη μέτρηση της περιοχής πόρων του πυριτικού πηκτώματος, το οποίο δεν μπορεί να ερμηνευτεί στο πλαίσιο των συνηθισμένων ευκλείδων εννοιών, βρίσκουν μια λογική εξήγηση κατά τη χρήση της θεωρίας των fractals.

Έτσι, από μαθηματική άποψη, ένα φράκταλ είναι ένα σύνολο για το οποίο η διάσταση Hausdorff - Besicovitch είναι αυστηρά μεγαλύτερη από την τοπολογική της διάσταση και μπορεί (και πιο συχνά είναι) κλασματική.

Πρέπει να τονιστεί ότι η διάσταση φράκταλ ενός αντικειμένου δεν περιγράφει το σχήμα του και αντικείμενα που έχουν την ίδια διάσταση, αλλά δημιουργούνται από διαφορετικούς μηχανισμούς σχηματισμού, είναι συχνά εντελώς διαφορετικά μεταξύ τους. Τα φυσικά fractals είναι μάλλον παρόμοια στατιστικά.

Η κλασματική μέτρηση σάς επιτρέπει να υπολογίζετε χαρακτηριστικά που δεν μπορούν να προσδιοριστούν με σαφήνεια με οποιονδήποτε άλλο τρόπο: ο βαθμός τραχύτητας, ασυνέχειας, τραχύτητας ή αστάθειας ενός αντικειμένου. Για παράδειγμα, μια τυλιγμένη ακτογραμμή, παρά το απέραντο μήκος της, έχει μια τραχύτητα που είναι εγγενής μόνο σε αυτήν. Ο Mandelbrot έδειξε τρόπους υπολογισμού κλασματικών μετρήσεων αντικειμένων στη γύρω πραγματικότητα. Δημιουργώντας τη γεωμετρία του, πρότεινε έναν νόμο σχετικά με τις διαταραγμένες μορφές που εμφανίζονται στη φύση. Ο νόμος είπε: ο βαθμός αστάθειας είναι σταθερός σε διαφορετικές κλίμακες.

Ένα ειδικό είδος φράκταλ είναι χρονικά φράκταλ... Το 1962, ο Mandelbrot αντιμετώπισε το έργο της εξάλειψης του θορύβου στις τηλεφωνικές γραμμές που προκάλεσαν προβλήματα για τα μόντεμ υπολογιστών. Η ποιότητα μετάδοσης σήματος εξαρτάται από την πιθανότητα σφαλμάτων. Οι μηχανικοί αγωνίστηκαν με τη μείωση του θορύβου με αινιγματικά και δαπανηρά κόλπα, αλλά δεν είχαν εντυπωσιακά αποτελέσματα. Με βάση το έργο του ιδρυτή της θεωρίας των συνόλων, ο Georg Cantor, ο Mandelbrot έδειξε ότι η εμφάνιση θορύβου - η δημιουργία χάους - δεν μπορεί να αποφευχθεί κατ 'αρχήν, επομένως οι προτεινόμενες μέθοδοι αντιμετώπισης τους δεν θα φέρουν αποτελέσματα. Σε αναζήτηση της κανονικότητας της εμφάνισης θορύβου, λαμβάνει "Cantor dust" - μια φράκταλ ακολουθία γεγονότων. Είναι ενδιαφέρον ότι η κατανομή των αστεριών στον Γαλαξία υπακούει στους ίδιους νόμους:

Η "Ουσία", ομοιόμορφα κατανεμημένη κατά μήκος του εκκινητή (τμήμα μονάδας του άξονα του χρόνου), εκτίθεται στην φυγοκεντρική δίνη, η οποία "σαρώνει" στα ακραία τρίτα του διαστήματος ... Φρουροί Οποιοσδήποτε καταρράκτης ασταθών καταστάσεων που τελικά οδηγεί σε πάχυνση της ύλης μπορεί να κληθεί και ο όρος τυρί cottage μπορεί να προσδιορίσει τον όγκο εντός του οποίου ένα συγκεκριμένο φυσικό χαρακτηριστικό γίνεται - ως αποτέλεσμα της πήξης - εξαιρετικά συγκεντρωμένο.

Τα χαοτικά φαινόμενα όπως η ατμοσφαιρική αναταραχή, η κινητικότητα των φλοιών και ούτω καθεξής, παρουσιάζουν παρόμοια συμπεριφορά σε διαφορετικές χρονικές κλίμακες, όπως τα αντικείμενα που είναι αμετάβλητα στην κλίμακα παρουσιάζουν παρόμοια δομικά σχέδια σε διαφορετικές χωρικές κλίμακες.

Για παράδειγμα, θα δώσουμε πολλές τυπικές καταστάσεις όπου είναι χρήσιμο να χρησιμοποιηθεί η έννοια της φράκταλ δομής. Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Κολούμπια Christopher Scholz ειδικεύτηκε στη μελέτη του σχήματος και της δομής της στερεάς ύλης της γης, μελέτησε σεισμούς. Το 1978 διάβασε το βιβλίο του Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension » και προσπάθησε να εφαρμόσει τη θεωρία στην περιγραφή, την ταξινόμηση και τη μέτρηση γεωφυσικών αντικειμένων. Ο Scholz διαπίστωσε ότι η γεωμετρία του φράκταλ παρείχε στην επιστήμη μια αποτελεσματική μέθοδο περιγραφής του συγκεκριμένου λοφώδους τοπίου της Γης. Η μέτρηση φράκταλ των τοπίων του πλανήτη ανοίγει την πόρτα στην κατανόηση των πιο σημαντικών χαρακτηριστικών του. Οι μεταλλουργοί έχουν βρει το ίδιο πράγμα σε διαφορετική κλίμακα - εφαρμόζονται σε επιφάνειες διαφόρων τύπων χάλυβα. Συγκεκριμένα, η μέτρηση φράκταλ μιας μεταλλικής επιφάνειας συχνά επιτρέπει σε κάποιον να κρίνει την αντοχή της. Ένας τεράστιος αριθμός κλασματικών αντικειμένων παράγει το φαινόμενο της κρυστάλλωσης. Ο πιο συνηθισμένος τύπος fractals που προκύπτουν κατά την ανάπτυξη των κρυστάλλων είναι δενδρίτες, είναι εξαιρετικά διαδεδομένοι στη φύση. Τα σύνολα νανοσωματιδίων δείχνουν συχνά την εφαρμογή της σκόνης Levy. Αυτά τα σύνολα, σε συνδυασμό με τον απορροφημένο διαλύτη, σχηματίζουν διαφανή συμπαγή - γυαλιά Levy, πιθανώς σημαντικά υλικά για τη φωτονική.

Δεδομένου ότι τα fractals εκφράζονται όχι σε πρωτογενείς γεωμετρικές μορφές, αλλά σε αλγόριθμους, σύνολα μαθηματικών διαδικασιών, είναι σαφές ότι αυτός ο τομέας των μαθηματικών άρχισε να αναπτύσσεται αλματωδώς μαζί με την εμφάνιση και την ανάπτυξη ισχυρών υπολογιστών. Το χάος, με τη σειρά του, δημιούργησε μια νέα τεχνολογία υπολογιστών, μια ειδική τεχνική γραφικών που μπορεί να αναπαραγάγει τις εκπληκτικές δομές απίστευτης πολυπλοκότητας που δημιουργούνται από διάφορους τύπους διαταραχών. Στην εποχή του Διαδικτύου και των προσωπικών υπολογιστών, αυτό που ήταν τόσο δύσκολο στις μέρες του Mandelbrot έχει γίνει εύκολα προσβάσιμο σε κανέναν. Αλλά το πιο σημαντικό πράγμα στη θεωρία του δεν ήταν, φυσικά, η δημιουργία όμορφων εικόνων, αλλά το συμπέρασμα ότι αυτή η μαθηματική συσκευή είναι κατάλληλη για την περιγραφή περίπλοκων φυσικών φαινομένων και διαδικασιών που δεν είχαν προηγουμένως ληφθεί υπόψη στην επιστήμη. Το ρεπερτόριο των αλγοριθμικών στοιχείων είναι ανεξάντλητο.

Έχοντας μάθει τη γλώσσα των φράκταλ, μπορείτε να περιγράψετε το σχήμα ενός σύννεφου τόσο καθαρά και απλά όσο ένας αρχιτέκτονας περιγράφει ένα κτίριο χρησιμοποιώντας σχεδιαγράμματα που χρησιμοποιούν τη γλώσσα της παραδοσιακής γεωμετρίας.<...> Μόνο μερικές δεκαετίες έχουν περάσει από τότε που ο Benoit Mandelbrot είπε: «Η γεωμετρία της φύσης είναι φράκταλ!» Σήμερα μπορούμε ήδη να υποθέσουμε πολύ περισσότερα, δηλαδή ότι η κλασματικότητα είναι η πρωταρχική αρχή της κατασκευής όλων των φυσικών αντικειμένων χωρίς εξαίρεση.

Εν κατακλείδι, επιτρέψτε μου να σας παρουσιάσω ένα σύνολο φωτογραφιών που απεικονίζουν αυτό το συμπέρασμα, και φράκταλ κατασκευασμένα με χρήση πρόγραμμα υπολογιστή Εξερευνητής Fractal... Και το επόμενο άρθρο μας θα αφιερωθεί στο πρόβλημα της χρήσης fractals στην κρυσταλλική φυσική.

Υστερόγραφο

Από το 1994 έως το 2013, ένα μοναδικό έργο ρώσων επιστημόνων "Άτλας των χρονικών παραλλαγών των φυσικών ανθρωπογενών και κοινωνικών διαδικασιών" δημοσιεύθηκε σε πέντε τόμους - μια ασύγκριτη πηγή υλικών που περιλαμβάνει δεδομένα παρακολούθησης για το διάστημα, τη βιόσφαιρα, τη λιθόσφαιρα, την ατμόσφαιρα, την υδροσφαίρα, τα κοινωνικά και ανθρωπογενή σφαίρες και σφαίρες που σχετίζονται με την ανθρώπινη υγεία και την ποιότητα ζωής. Το κείμενο παρέχει λεπτομέρειες για τα δεδομένα και τα αποτελέσματα της επεξεργασίας τους, συγκρίνει τα χαρακτηριστικά της δυναμικής των χρονοσειρών και των θραυσμάτων τους. Η ενοποιημένη παρουσίαση των αποτελεσμάτων καθιστά δυνατή τη λήψη συγκρίσιμων αποτελεσμάτων για τον εντοπισμό κοινών και μεμονωμένων χαρακτηριστικών της δυναμικής των διαδικασιών και των σχέσεων αιτίας-αποτελέσματος μεταξύ τους. Το πειραματικό υλικό έδειξε ότι οι διαδικασίες σε διαφορετικούς τομείς, πρώτον, είναι παρόμοιες, και δεύτερον, σε μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό σχετίζονται μεταξύ τους.

Έτσι, ο άτλας συνοψίζει τα αποτελέσματα της διεπιστημονικής έρευνας και παρουσίασε μια συγκριτική ανάλυση εντελώς διαφορετικών δεδομένων στο ευρύτερο εύρος χρόνου και χώρου. Το βιβλίο δείχνει ότι «οι διεργασίες που συμβαίνουν στις γήινες σφαίρες οφείλονται σε μεγάλο αριθμό αλληλεπιδρώντων παραγόντων που προκαλούν διαφορετικές αντιδράσεις σε διαφορετικές περιοχές (και σε διαφορετικούς χρόνους)», η οποία μιλά για «την ανάγκη μιας ολοκληρωμένης προσέγγισης στην ανάλυση γεωδυναμικών, διαστημικών, κοινωνικών, οικονομικών και ιατρικών παρατηρήσεων» " Απομένει να εκφράσουμε την ελπίδα ότι αυτά τα θεμελιώδη έργα θα συνεχιστούν.

. Jurgens H., Peitgen H.-O., Saupe D. Η γλώσσα των fractals // Στον κόσμο της επιστήμης. 1990. Αρ. 10. σ. 36–44.
. Άτλας χρονικών διαφορών στις φυσικές ανθρωπογενείς και κοινωνικές διαδικασίες. Τόμος 1: Τάξη και χάος στη λιθόσφαιρα και σε άλλες σφαίρες. Μ., 1994; Τ. 2: Κυκλική δυναμική στη φύση και την κοινωνία. Μ. 1998; Τ. 3: Φυσικές και κοινωνικές σφαίρες ως μέρος του περιβάλλοντος και ως αντικείμενα αντίκτυπου. Μ., 2002; Τ. 4: Άνθρωπος και τρία περιβάλλοντα γύρω του. M., 2009. T. 5: Άνθρωπος και τρία περιβάλλοντα γύρω του. Μ., 2013.

Τα Fractals είναι γνωστά για σχεδόν έναν αιώνα, έχουν μελετηθεί καλά και έχουν πολλές εφαρμογές στη ζωή. Αυτό το φαινόμενο βασίζεται σε μια πολύ απλή ιδέα: μια ποικιλία σχημάτων, απεριόριστης ομορφιάς και ποικιλίας, μπορεί να ληφθεί από σχετικά απλές κατασκευές χρησιμοποιώντας μόνο δύο λειτουργίες - αντιγραφή και κλιμάκωση

Αυτή η έννοια δεν έχει αυστηρό ορισμό. Επομένως, η λέξη "φράκταλ" δεν είναι μαθηματικός όρος. Αυτό είναι συνήθως το όνομα που δίνεται σε ένα γεωμετρικό σχήμα που ικανοποιεί μία ή περισσότερες από τις ακόλουθες ιδιότητες:

• έχει σύνθετη δομή σε οποιαδήποτε μεγέθυνση.
• είναι (περίπου) αυτο-παρόμοιο.
• έχει μια κλασματική διάσταση Hausdorff (fractal), η οποία είναι πιο τοπολογική.
• μπορεί να κατασκευαστεί με αναδρομικές διαδικασίες.

Στα τέλη του 19ου και του 20ού αιώνα, η μελέτη των fractals ήταν πιο επεισοδιακή από τη συστηματική, διότι οι παλιότεροι μαθηματικοί μελέτησαν κυρίως «καλά» αντικείμενα που ήταν επιδεκτικά έρευνας χρησιμοποιώντας γενικές μεθόδους και θεωρίες. Το 1872, ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass δημιούργησε ένα παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης που δεν είναι πουθενά διαφοροποιήσιμο. Ωστόσο, η κατασκευή του ήταν εντελώς αφηρημένη και δύσκολο να γίνει αντιληπτή. Ως εκ τούτου, το 1904, ο Σουηδός Helge von Koch βρήκε μια συνεχή καμπύλη, η οποία δεν έχει εφαπτομένη πουθενά, και είναι πολύ απλό να σχεδιαστεί. Αποδείχθηκε ότι έχει τις ιδιότητες ενός φράκταλ. Μία από τις παραλλαγές αυτής της καμπύλης ονομάζεται "νιφάδα χιονιού Koch".

Οι ιδέες της ομοιότητας των φιγούρων πήραν ο Γάλλος Paul Pierre Levy, ο μελλοντικός μέντορας του Benoit Mandelbrot. Το 1938, δημοσιεύθηκε το άρθρο του "Επίπεδες και χωρικές καμπύλες και επιφάνειες, που αποτελούνται από μέρη παρόμοια με το σύνολο", στο οποίο περιγράφηκε ένα άλλο φράκταλ - η καμπύλη Lévy C. Όλα αυτά τα παραπάνω fractals μπορούν να αποδοθούν υπό όρους σε μια κατηγορία κατασκευαστικών (γεωμετρικών) fractals.

Μια άλλη κατηγορία είναι δυναμικά (αλγεβρικά) φράκταλ, που περιλαμβάνουν το σετ Mandelbrot. Οι πρώτες σπουδές προς αυτή την κατεύθυνση χρονολογούνται στις αρχές του 20ού αιώνα και σχετίζονται με τα ονόματα των Γάλλων μαθηματικών Gaston Julia και Pierre Fatou. Το 1918, δημοσιεύθηκε το έργο σχεδόν της διακόσιας σελίδας της Τζούλια, αφιερωμένο σε επαναλήψεις σύνθετων ορθολογικών λειτουργιών, στις οποίες περιγράφηκαν τα σετ της Τζούλια - μια ολόκληρη οικογένεια fractals που σχετίζεται στενά με το σετ Mandelbrot. Σε αυτό το έργο απονεμήθηκε το βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας, αλλά δεν περιείχε ούτε μία εικόνα, οπότε ήταν αδύνατο να εκτιμήσουμε την ομορφιά των αντικειμένων που ανακαλύφθηκαν. Παρά το γεγονός ότι αυτό το έργο έκανε τη Julia διάσημη μεταξύ των μαθηματικών της εποχής, ξεχάστηκε γρήγορα.

Η προσοχή στα έργα της Τζούλια και του Φάτου γύρισε ξανά μόλις μισό αιώνα αργότερα, με την έλευση των υπολογιστών: αυτοί έκαναν ορατό τον πλούτο και την ομορφιά του κόσμου των φράκταλ. Σε τελική ανάλυση, ο Φάτου δεν μπορούσε ποτέ να δει τις εικόνες που τώρα γνωρίζουμε ως εικόνες του συνόλου Mandelbrot, επειδή ο απαιτούμενος αριθμός υπολογισμών δεν μπορεί να γίνει χειροκίνητα. Ο πρώτος που χρησιμοποίησε έναν υπολογιστή για αυτό ήταν ο Benoit Mandelbrot.

Το 1982, εκδόθηκε το βιβλίο του Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", στο οποίο ο συγγραφέας συνέλεξε και συστηματοποίησε σχεδόν όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες εκείνη την εποχή σχετικά με τα fractals και τις παρουσίασε με εύκολο και προσιτό τρόπο. Στην παρουσίασή του, ο Mandelbrot έδωσε την κύρια έμφαση όχι στους δυσκίνητους τύπους και τις μαθηματικές κατασκευές, αλλά στη γεωμετρική διαίσθηση των αναγνωστών. Χάρη στις εικόνες που ελήφθησαν με τη βοήθεια ενός υπολογιστή και ιστορικών ιστοριών, με τις οποίες ο συγγραφέας αραίωσε επιδέξια το επιστημονικό συστατικό της μονογραφίας, το βιβλίο έγινε μπεστ σέλερ και τα fractals έγιναν γνωστά στο ευρύ κοινό. Η επιτυχία τους μεταξύ των μη μαθηματικών οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στο γεγονός ότι με τη βοήθεια πολύ απλών κατασκευών και τύπων που ένας μαθητής γυμνασίου είναι σε θέση να καταλάβει, λαμβάνονται εικόνες εκπληκτικής πολυπλοκότητας και ομορφιάς. Όταν οι προσωπικοί υπολογιστές έγιναν αρκετά ισχυροί, ακόμη και μια ολόκληρη τάση στην τέχνη εμφανίστηκε - fractal painting, και σχεδόν οποιοσδήποτε ιδιοκτήτης υπολογιστή θα μπορούσε να το κάνει. Τώρα στο Διαδίκτυο, μπορείτε εύκολα να βρείτε πολλούς ιστότοπους αφιερωμένους σε αυτό το θέμα.