70-аад оны сүүлчээр үүссэн фрактал ба фракталын геометрийн тухай ойлголтыг 80-аад оны дунд үеэс эхлэн математикч, программистууд баттай тогтоосон. Фрактал гэдэг үг нь Латин fractus-аас гаралтай бөгөөд орчуулгад хэлтэрхий хэсгүүдээс бүрдсэн гэсэн үг юм. Бенуа Манделброт 1975 онд түүний ажиллаж байсан жигд бус боловч өөртэйгөө адил төстэй байгууламжийг тэмдэглэх санал дэвшүүлсэн. Фрактал геометрийн төрөлт нь ихэвчлэн 1977 онд Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдсэнтэй холбоотой байдаг. Гэхдээ зөвхөн бидний үед тэдний ажлыг нэг системд нэгтгэх боломжтой байсан.
Өнөө үед компьютер графикт фракталуудын гүйцэтгэх үүрэг нэлээд их байна. Жишээлбэл, хэд хэдэн коэффициентийн тусламжтайгаар шугам, гадаргууг маш нарийн дүрсээр тодорхойлох шаардлагатай бол аврах ажилд ирдэг. Компьютер графикийн үүднээс фрактал геометр нь хиймэл үүл, уул, далайн гадаргууг бий болгоход зайлшгүй шаардлагатай юм. Үнэндээ Евклидийн бус нарийн төвөгтэй объектуудыг дүрслэх нь байгалийнхтай маш төстэй байдаг.
Өөртэйгөө ижил төстэй байдал нь фракталуудын гол шинж чанаруудын нэг юм. Хамгийн энгийн тохиолдолд фракталын багахан хэсэг нь бүхэл бүтэн фракталын тухай мэдээллийг агуулдаг. Манделбротын өгсөн фракталын тодорхойлолт иймэрхүү сонсогдож байна: "Фрактал гэдэг нь бүхэлдээ ижил төстэй хэсгүүдээс бүрдэх байгууламж юм."

Фрактал гэж нэрлэгддэг олон тооны математикийн объектууд байдаг (Сиерпинскийн гурвалжин, Кох цасан ширхэг, Пеаногийн муруй, Мандельбротын багц ба Лоренцын таталцагчид). Фракталууд нь бодит ертөнцийн олон физик үзэгдэл, тогтоцыг маш нарийн нарийвчлалтайгаар дүрсэлдэг: уул, үүл, эргүүлэгтэй (эргүүлгийн) урсгал, модны үндэс, мөчир, навч, цусны судаснууд нь энгийн геометрийн хэлбэрээс хол байдаг. Бенуа Мандельброт "Байгалийн фрактал геометр" хэмээх бүтээлдээ анх удаа манай ертөнцийн фрактал шинж чанарын тухай ярьжээ.
Фрактал гэдэг нэр томъёог Бенуа Манделброт 1977 онд "Фрактал, хэлбэр, эмх замбараагүй байдал ба хэмжээс" хэмээх үндсэн бүтээлдээ нэвтрүүлсэн. Манделбротын хэлснээр фрактал гэдэг үг нь фракцын мөн чанарыг "эвдэрсэн", жигд бус багц гэж тусгасан фрактив ба фракцер гэсэн хагалах гэсэн латин үгнээс гаралтай.

Фракталын ангилал.

Бүх төрлийн фракталуудыг төлөөлөхийн тулд тэдгээрийн нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн ангиллыг ашиглах нь тохиромжтой байдаг. Фракталын гурван ангилал байдаг.

1. Геометрийн фракталууд.

Энэ ангийн фракталууд нь хамгийн тод дүрслэгдсэн байдаг. Хоёр хэмжээст тохиолдолд тэдгээрийг генератор гэж нэрлэдэг полилин (эсвэл гурван хэмжээст тохиолдолд гадаргуу) ашиглан олж авдаг. Алгоритмын нэг алхам дээр полиллиныг бүрдүүлдэг сегмент тус бүрийг харгалзах масштабаар полилин үүсгэгчээр солино. Энэхүү процедурыг төгсгөлгүй давтан хийсний үр дүнд геометрийн фрактал олж авдаг.

Ийм фрактал объектуудын нэг болох Кох гурвалсан муруйн жишээг авч үзье.

Гурвалсан Кохын муруйг байгуулах.

1-ийн урттай шулуун шугамын хэсгийг авъя үр... Үрийг 1/3 урттай тэнцүү гурван хэсэгт хуваагаад дунд хэсгийг нь хаяад 1/3 урттай хоёр холбоосын тасархай шугамаар солино.

Нийт 4/3 урттай 4 холбоосоос бүрдэх polyline авах тул бид залгана эхний үе.

Кохын муруйн дараагийн үе рүү шилжихийн тулд холбоос бүрийн дунд хэсгийг хаяж солих шаардлагатай. Үүний дагуу хоёр дахь үеийн урт нь 16/9, гурав дахь нь 64/27 болно. хэрэв бид энэ процессыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлбэл үр дүн нь гурвалсан Кохын муруй болно.

Одоо Кох гурвалжингийн муруйн ариун арлуудыг авч үзээд яагаад фракталуудыг "мангасууд" гэж нэрлэдэг байсныг олж мэдье.

Нэгдүгээрт, энэ муруй нь ямар ч урттай байдаггүй - бидний харсанчлан хэдэн үеийн тоогоор уртасах нь хязгааргүй болох хандлагатай байдаг.

Хоёрдугаарт, энэ муруйд тангенс байгуулах боломжгүй - түүний цэг бүр нь дериватив байхгүй хазайлтын цэг бөгөөд энэ муруй нь тэгш биш юм.

Урт ба тэгш байдал нь муруйн үндсэн шинж чанарууд бөгөөд үүнийг Евклидийн геометр ба Риман Лобачевскийн геометрийн аль алинаар нь судалж үздэг. Геометрийн анализын уламжлалт аргууд нь гурвалсан Кохын муруйд хэрэгжих боломжгүй тул Кохын муруй нь уламжлалт геометрийн гөлгөр оршин суугчдын дунд "мангас" болох мангас болон хувирав.

Harter-Haytway "луу" -г бүтээх нь.

Өөр нэг фрактал объект авахын тулд барилгын дүрмийг өөрчлөх хэрэгтэй. Үүсгэгч элементийг зөв өнцгөөр холбосон хоёр тэнцүү сегмент болгоё. Тэг үеийн үед нэгжийн сегментийг энэ үүсгэгч элементээр сольж, булангийн дээд талд байрлуулна. Ийм орлуулалттай холбоосын дунд шилждэг гэж бид хэлж чадна. Дараагийн үеийг бүтээхдээ дүрмийг хэрэгжүүлнэ: зүүн талын эхний холбоосыг үүсгэгч элементээр сольж, холбоосын дунд хэсгийг хөдөлгөөний чиглэлийн зүүн тийш шилжүүлж, дараагийн холбоосыг солих үед сегментүүдийн дунд цэгүүдийн шилжилтийн чиглэлийг ээлжлэн сольж байх ёстой. Дээрх зарчмаар барьсан муруйн эхний хэдэн үе ба 11 дэх үеийг зураг дээр харуулав. N хязгааргүй болох хандлагатай байгаа муруйг Harter-Heitway луу гэж нэрлэдэг.
Компьютерийн графикт мод, бутны зураг авахад геометрийн фрактал ашиглах шаардлагатай байдаг. Хоёр хэмжээст геометрийн фракталууд нь хэмжээст бүтэц бий болгоход хэрэглэгддэг (объектын гадаргуу дээр зураг зурах).

2. Алгебрийн фракталууд

Энэ бол фракталуудын хамгийн том бүлэг юм. Эдгээрийг n хэмжээст орон зайд шугаман бус процесс ашиглан олж авдаг. Хамгийн их судлагдсан нь хоёр хэмжээст процесс юм. Шугаман бус давталтын процессыг салангид динамик систем гэж тайлбарлахдаа эдгээр системийн онолын нэр томъёог ашиглаж болно: фазын хөрөг, тогтвортой төлөв, таталцал гэх мэт.
Шугаман бус динамик систем нь хэд хэдэн тогтвортой төлөвтэй байдгийг мэддэг. Тодорхой тооны давталтын дараа динамик систем ямар байдалтай байх нь түүний анхны төлөв байдлаас хамаарна. Тиймээс тогтвортой төлөв бүр (эсвэл тэдний хэлснээр таталцал) нь анхны төлөв байдлын тодорхой мужтай байдаг бөгөөд эдгээр систем нь авч үзэж буй эцсийн төлөвт заавал ордог. Тиймээс системийн фазын орон зайг таталцлын бүсэд хуваана. Хэрэв хоёр хэмжээст орон зай нь фазын орон зай бол таталцлын хэсгүүдийг янз бүрийн өнгөөр \u200b\u200bбудаж, энэ системийн өнгөт фазын хөрөг зургийг авах боломжтой (давталтын процесс). Өнгө сонгох алгоритмыг өөрчилснөөр та хачин олон өнгийн хээтэй, нарийн төвөгтэй фрактал зураг авах боломжтой. Математикчдын хувьд гэнэтийн бэлэг бол эртний алгоритм ашиглан маш нарийн төвөгтэй бус бүтцийг бий болгох явдал байв.

Mandelbrot тавилаа.

Жишээ болгон Mandelbrot багцыг авч үзье. Үүнийг бүтээх алгоритм нь маш энгийн бөгөөд энгийн давталтын илэрхийлэл дээр суурилдаг. Z \u003d Z [i] * Z [i] + Cхаана Зи болон C - нарийн төвөгтэй хувьсагчууд. Давтамжийг тэгш өнцөгт буюу дөрвөлжин бүсээр эхлүүлэх цэг тус бүрт гүйцэтгэдэг. Давталтын процесс нь хүртэл үргэлжилнэ З [би] төв нь (0,0) цэг дээр байрладаг 2 радиусын тойргоос хэтрэхгүй (энэ нь динамик системийн таталцал хязгааргүй байна гэсэн үг), эсвэл хангалттай олон тооны давталтын дараа (жишээлбэл, 200-500) З [би] тойргийн зарим цэг рүү ойртдог. Энэ үеэр давталтын тооноос хамаарна З [би] тойрог дотор үлдсэн бол цэгийн өнгийг тохируулж болно C (хэрэв З [би] хангалттай олон тооны давталтын хувьд тойрог дотор үлдэх бөгөөд давталтын процесс дуусч энэ растер цэгийг хар өнгөөр \u200b\u200bбудна).

3 стохастик фрактал

Фракталын өөр нэг алдартай анги бол стохастик фракталууд бөгөөд тэдгээрийн аль нэг параметр нь давталтын явцад санамсаргүй байдлаар өөрчлөгдсөн тохиолдолд олж авдаг. Үүний зэрэгцээ, байгалийн объектуудтай маш төстэй объектуудыг олж авдаг - тэгш хэмт бус мод, эрэг дагуух шугам, гэх мэт. Хоёр хэмжээст стохастик фракталууд нь газар нутаг, далайн гадаргууг загварчлахад ашиглагддаг.
Фракталын бусад ангиллууд байдаг, жишээлбэл, фракталуудыг детерминист (алгебрийн ба геометрийн) ба детерминик бус (стохастик) гэж хуваах.

Фрактал ашиглах тухай

Нэгдүгээрт, фрактал бол математикийн гайхалтай урлагийн салбар бөгөөд хамгийн энгийн томъёо, алгоритмыг ашиглахдаа ер бусын гоо үзэсгэлэн, нарийн төвөгтэй байдлыг олж авдаг. Навч, мод, цэцэгсийг ихэвчлэн барьсан зургийн контур дээр тааж байдаг.

Фракталын хамгийн хүчирхэг програмуудын зарим нь компьютерийн графикт байдаг. Нэгдүгээрт, энэ бол фрактал дүрсийг шахах, хоёрдугаарт, ландшафт, мод, ургамал, фрактал бүтэцтэй болох явдал юм. Орчин үеийн физик, механик нь фрактал биетүүдийн зан үйлийг судалж эхэлж байна. Мэдээжийн хэрэг, фракталыг шууд математикт ашигладаг.
Фрактал зураг шахах алгоритмын давуу талууд нь файлын хэмжээ багатай, зураг сэргээх богино хугацаа юм. Бутархай багцалсан зургуудыг пикселчлэлгүйгээр масштабтай болгож болно. Гэхдээ шахах үйл явц удаан үргэлжилж, заримдаа хэдэн цаг болдог. Алдагдсан фрактал савлах алгоритм нь jpeg форматтай адил шахалтын харьцааг тохируулах боломжийг олгодог. Алгоритм нь зарим жижиг хэсгүүдтэй төстэй зургийн том хэсгүүдийг хайж олоход суурилдаг. Гаралтын файлд зөвхөн аль хэсэг нь бичигдсэнтэй ижил төстэй байна. Шахах үед тэд ихэвчлэн дөрвөлжин тор (ширхэг - дөрвөлжин) ашигладаг бөгөөд энэ нь зургийг сэргээхэд бага зэрэг өнцөг үүсгэдэг, зургаан өнцөгт сүлжээ нь ийм сул талгүй байдаг.
Iterated нь фрактал ба долгионы хэлбэрийг (jpeg гэх мэт) алдагдалгүй шахалтыг хослуулсан шинэ "Sting" зургийн форматыг боловсруулсан болно. Шинэ формат нь дараагийн өндөр чанартай масштабаар зураг үүсгэх боломжийг олгодог бөгөөд график файлын хэмжээ нь шахагдаагүй зургийн эзлэхүүний 15-20% -ийг эзэлдэг.
Фракталууд нь уул, цэцэг, модтой төстэй байх хандлагыг зарим график редакторууд ашигладаг, жишээлбэл, 3D студийн MAX-ийн фрактал үүл, World Builder дахь фрактал уулс. Фрактал мод, уулс, бүх ландшафтыг энгийн томъёогоор тодорхойлдог бөгөөд програмчлахад хялбар бөгөөд томруулахдаа тусдаа гурвалжин, дөрвөлжин хэлбэрт хуваагддаггүй.
Математикт фракталын хэрэглээг өөрөө үл тоомсорлож болохгүй. Сет онолын хувьд Канторын багц нь хаана ч төгс нягт нягт багцууд байгааг нотолж байгаа бөгөөд хэмжлийн онолын хувьд "Кантор шат" гэсэн өөртөө хамааралтай функц нь ганц хэмжигдэхүүний тархалтын функцын сайн жишээ юм.
Механик, физикийн хувьд байгалийн олон объектын тоймыг давтах өвөрмөц шинж чанараас болж фракталууд ашиглагддаг. Фракталууд нь мод, чулуулгийн гадаргуу, хагарлыг ойролцоогоор шугаман эсвэл олон өнцөгттэй ойролцоо хэмжээнээс илүү нарийвчлалтайгаар (ойролцоогоор хадгалагдсан өгөгдлийн хувьд) ойролцоо үнэлэх боломжийг олгодог. Байгалийн объектуудтай адил фрактал загварууд нь "тэгш бус байдал" -тай байдаг бөгөөд энэ шинж чанарыг загварыг дур мэдэн томруулж хадгалдаг. Фрактал дээр жигд хэмжигдэхүүн байгаа нь интеграцчилал, боломжит онолыг хэрэглэж, тэдгээрийг аль хэдийн судалж үзсэн тэгшитгэлийн стандарт объектын оронд ашиглах боломжийг олгодог.
Фрактал хандлагаар эмх замбараагүй байдал нь эмх замбараагүй байдлын цэнхэр өнгө болж, нарийн бүтэцтэй болдог. Фракталын шинжлэх ухаан маш залуу хэвээр байгаа бөгөөд түүний өмнө их ирээдүй бий. Фракталын гоо үзэсгэлэн нь шавхагдахаас холгүй бөгөөд бидэнд олон сайхан бүтээлийг өгөх болно - нүдийг баясгаж, оюун ухаанд жинхэнэ баяр баясгаланг авчирдаг.

Фрактал барих тухай

Дараалах ойролцоо арга

Энэ зургийг харахад өөртэйгөө ижил төстэй фрактал (энэ тохиолдолд Сиерпинскийн пирамид) хэрхэн баригдаж болохыг ойлгоход хэцүү биш юм. Та ердийн пирамид (тетраэдр) авах хэрэгтэй, дараа нь дунд (октаэдр) хайчилж авсны үр дүнд бид дөрвөн жижиг пирамид авах болно. Бид тус бүртэй ижил үйлдлийг хийдэг. Энэ бол зарим талаар гэнэн боловч харааны тайлбар юм.

Аргын мөн чанарыг илүү нарийвчлан авч үзье. Зарим IFS систем байг, өөрөөр хэлбэл. агшилтын зураглалын систем С\u003d (S 1, ..., S m) S i: R n -\u003e R n (жишээлбэл, манай пирамидын хувьд зураглал нь S i (x) \u003d 1/2 * x + oi хэлбэртэй байна, энд oi нь тетраэдрийн орой, i \u003d 1, .., 4). Дараа нь бид R n in зарим авсаархан багцыг сонгоно (бидний хувьд тетраэдрийг сонгоно). Бид индукцээр A k олонлогуудын дарааллыг тодорхойлно: A k + 1 \u003d S 1 (A k) U ... U S m (A k). A k олонлогууд нь k-ийн өсөлттэй байгаа нь системийн хайж буй татагчийг ойролцоогоор тодорхойлдог С.

Эдгээр давталт бүр нь сонирхлыг татдаг болохыг анхаарна уу давтагдсан функцүүдийн давтагдах систем (Англи хэл дээрх нэр томъёо Диграф IFS, RIFS мөн түүнчлэн Графикт чиглэсэн IFS) Тиймээс тэдгээрийг манай програмаар бүтээхэд хялбар байдаг.

Оноо эсвэл магадлалын аргаар зурах

Энэ бол компьютер дээр хэрэгжүүлэх хамгийн хялбар арга юм. Хялбар байхын тулд хавтгай өөртөө засах багцын жишээг авч үзье. Тиймээс зөвшөөрье (S

) - аффины агшилтын зарим систем. Зураглал S

төлөөлөх боломжтой: S

Тогтмол матрицын хэмжээ 2х2 ба о

Хоёр хэмжээст вектор багана.

• Эхний газрын зураг S 1-ийн тогтмол цэгийг эхлэх цэг болгон ав.
  x: \u003d o1;
  S 1, .., S m агшилтын бүх тогтсон цэгүүд фракталд хамаардаг болохыг энд ашиглав. Эхлэх цэгийн хувьд та дурын цэгийг сонгож болох бөгөөд түүний үүсгэсэн цэгүүдийн дараалал нь фракталтай агших боловч дэлгэц дээр цөөн хэдэн нэмэлт цэг гарч ирнэ.
• Одоогийн x \u003d (x 1, x 2) цэгийг дэлгэцэн дээр тэмдэглэе.
  putpixel (x 1, x 2, 15);
• 1-ээс m хүртэлх саналыг санамсаргүй байдлаар сонгож, x цэгийн координатыг дахин тооцоолъё.
  j: \u003d Санамсаргүй (м) +1;
  x: \u003d S j (x);
• Бид 2-р алхам руу шилжих эсвэл хангалттай олон тооны давталт хийсэн бол бид зогсох болно.

Тэмдэглэл. Хэрэв S i газрын зургийн шахалтын харьцаа өөр байвал фрактал цэгүүдээр тэгш бус дүүрнэ. Хэрэв S i газрын зураг ижил төстэй байвал алгоритмыг бага зэрэг хүндрүүлснээр үүнээс зайлсхийх боломжтой. Үүний тулд алгоритмын гуравдахь алхам дээр 1-ээс m хүртэлх j тоог p 1 \u003d r 1 s, .., pm \u003d rms магадлалтайгаар сонгосон байх ёстой бөгөөд үүнд ri нь зураглалын шахалтын коэффициентийг илэрхийлдэг S i ба s тоо (ижил төстэй байдлын хэмжээс гэж нэрлэдэг) r 1 тэгшитгэлээс + s + ... + rms \u003d 1. Энэ тэгшитгэлийн шийдлийг жишээлбэл Ньютоны аргаар олж болно.

Фракталууд ба тэдгээрийн алгоритмуудын тухай

Фрактал нь Латин хэлний "fractus" гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд орчуулгад хэлтэрхий хэсгүүдээс бүрдэх бөгөөд харгалзах Латин үйл үг "frangere" нь тасрах, өөрөөр хэлбэл жигд бус хэлтэрхий үүсгэх гэсэн утгатай. 70-аад оны сүүлчээр үүссэн фрактал ба фракталын геометрийн тухай ойлголтыг 80-аад оны дунд үеэс эхлэн математикч, программистууд баттай тогтоосон. Энэ нэр томъёог Бенуа Манделброт 1975 онд түүний харьцаж байсан жигд бус боловч өөртэйгөө ижил төстэй бүтэцтэй холбоотойгоор гаргасан байна. Фрактал геометрийн төрөлт нь ихэвчлэн 1977 онд Мандельбротын "Байгалийн фрактал геометр" - "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдэхтэй холбоотой байдаг. Түүний бүтээлүүдэд 1875-1925 онуудад ижил чиглэлээр ажиллаж байсан бусад эрдэмтдийн (Пуанкаре, Фату, Жулиа, Кантор, Хаусдорф) эрдэм шинжилгээний үр дүнг ашигласан болно.

Тохируулга

Би H.-O-ийн номонд санал болгосон алгоритмуудад зарим тохируулга хийхийг зөвшөөрөх болно. Пейтген ба П.Х.Рихтер нар "Фракталын гоо үзэсгэлэн" M. 1993 нь үсгийн алдааг арилгах, үйл явцыг ойлгоход дөхөм болгох үүднээс 1993 оноос хойш миний хувьд нууц хэвээр үлдсэн юм. Харамсалтай нь эдгээр "ойлгомжтой" ба "энгийн" алгоритмууд нь амьдралын хэв маягийг удирдан чиглүүлдэг.

Фракталын бүтцийг z \u003d\u003e z 2 + c санал хүсэлттэй нарийн төвөгтэй процессын тодорхой шугаман бус функц дээр үндэслэсэн тул z ба c нь нийлмэл тоо тул z \u003d x + iy, c \u003d p + iq тул үүнийг x ба y болгон өргөжүүлэх шаардлагатай. энгийн хүний \u200b\u200bхувьд илүү бодитой онгоц:

x (k + 1) \u003d x (k) 2 -y (k) 2 + p,
y (k + 1) \u003d 2 * x (k) * y (k) + q.

Бүх хос (x, y) -ээс бүрдэх хавтгайг тогтмол утгын хувьд авч үзэж болно p ба q, мөн динамикаар. Эхний тохиолдолд, хуулийн дагуу хавтгайн бүх цэгүүдийг (x, y) цэгцэлж, давталтын процессоос гарах шаардлагатай функцын давталтын тооноос хамаарч тэдгээрийг өнгөөр \u200b\u200bбудна эсвэл давталтын зөвшөөрөгдөх дээд хэмжээнээс хэтрээгүй үед (хар) өнгө оруулаагүй тохиолдолд бид Жулия багцыг харуулах болно. Хэрэв бид эсрэгээрээ эхний хос утгыг (x, y) тодорхойлж, түүний өнгөт хувь тавиланг p ба q параметрүүдийн динамикаар өөрчлөгдөж буй утгуудаар тэмдэглэвэл Mandelbrot олонлог гэж нэрлэгддэг зургуудыг олж авна.

Фракталыг будах алгоритмын талаар.

Ихэвчлэн багцын их биеийг хар талбар хэлбэрээр харуулдаг боловч хар өнгийг өөр өнгөөр \u200b\u200bсольж болох нь ойлгомжтой боловч энэ нь сонирхлын үр дүн биш юм. Бүх өнгөөр \u200b\u200bбудагдсан багцын зургийг авах нь мөчлөгт үйлдлийг ашиглан шийдвэрлэх боломжгүй ажил юм. олонлогийн биеийг бүрдүүлэх давталтын тоо нь боломжит хамгийн дээд хэмжээтэй тэнцүү бөгөөд үргэлж ижил байдаг. Цогц давталтын нөхцөл (z_magnitude) эсвэл үүнтэй төстэй байдлыг шалгасны үр дүнд олонлогийг олон өнгөөр \u200b\u200bбудах боломжтой боловч өөр өөр математикийн үйлдлүүдээр өнгөөр \u200b\u200bдугаарлана.

"Фрактал микроскоп" -ын хэрэглээ

хил хязгаарын үзэгдлийг харуулах.

Таталцагчид - онгоцон дээр давамгайлахын төлөө тэмцдэг төвүүд. Эргэгчдийн хооронд ирмэгийг дүрсэлсэн хил гарч ирнэ. Багцын хил хязгаарыг харгалзан үзэх цар хүрээг нэмэгдүүлснээр та байгалийн ертөнцөд түгээмэл үзэгдэл болох детерминик эмх замбараагүй байдлын байдлыг харуулсан хувийн бус хэв маягийг олж авах боломжтой.

Газарзүйчдийн судалж буй объектууд нь маш нарийн зохион байгуулалттай хил хязгаар бүхий системийг бүрдүүлдэг тул хэрэгжүүлэх нь амаргүй практик ажил болдог. Байгалийн цогцолборууд нь өвөрмөц шинж чанар бүхий цөмүүдтэй бөгөөд энэ нь холдох тусам нутаг дэвсгэр дээр нөлөөлөх хүчээ алддаг сонирхлыг татдаг.

Манделброт, Жулиа нарын багцад зориулсан фрактал микроскопыг ашиглан хэмжлийн цар хүрээнээс үл хамааран ижил тэгш төвөгтэй хил хязгаарын үйл явц, үзэгдлийн талаархи ойлголтыг бий болгож, орон зай, цаг хугацааны динамик, эмх замбараагүй мэт санагдах байгалийн объекттой уулзах, фрактал геометрийг ойлгоход мэргэжилтний ойлголтыг бэлтгэх боломжтой юм. байгаль. Олон өнгийн өнгө, фрактал хөгжим нь оюутнуудын сэтгэлд гүнзгий ул мөр үлдээх нь дамжиггүй.

Мянга мянган хэвлэл, интернетийн асар их нөөцийг фракталд зориулдаг боловч мэдээлэл зүйгээс хол байгаа олон мэргэжилтнүүдийн хувьд энэ нэр томъёо цоо шинэ юм шиг санагдаж байна. Фракталууд нь мэдлэгийн янз бүрийн салбарын мэргэжилтнүүдийн сонирхдог объектын хувьд компьютерийн хичээлд зохих байр сууриа эзлэх ёстой.

Жишээ нь

ГРИЛЛ СЕРПИНСКИЙ

Энэ бол Манделбротын фракталын хэмжээ ба давталтын тухай ойлголтыг боловсруулахдаа туршиж үзсэн фракталуудын нэг юм. Илүү том гурвалжны дунд цэгүүдийг холбосноор үүссэн гурвалжингуудыг гол гурвалжингаас хайчилж, илүү олон нүхтэй гурвалжин үүсгэдэг. Энэ тохиолдолд санаачлагч нь том гурвалжин бөгөөд загвар нь том хэмжээтэй төстэй гурвалжинг огтлох үйл ажиллагаа юм. Та ердийн тетраэдр ашиглан жижиг тетраэдрүүдийг сийлж гурвалжингийн гурван хэмжээст хувилбарыг авах боломжтой. Ийм фракталын хэмжээ нь ln3 / ln2 \u003d 1.584962501. Авах sierpinski хивс, дөрвөлжинг аваад есөн дөрвөлжинд хуваагаад дунд хэсгийг нь хайчилж ав. Бид үлдсэн, жижиг квадратуудтай ижил зүйлийг хийх болно. Эцэст нь хавтгай фрактал тор үүсдэг бөгөөд энэ нь талбайгүй боловч хязгааргүй холболттой байдаг. Sierpinski хөвөн нь орон зайн хэлбэрээр дамжин өнгөрөх хэлбэрийн систем болж хувирдаг бөгөөд үүнд дамжин өнгөрөх элемент бүрийг өөрийн төрөл зүйлээр байнга сольж байдаг. Энэ бүтэц нь ясны зүсэлттэй маш төстэй юм. Хэзээ нэгэн цагт ийм давтагдах байгууламжууд нь барилгын бүтцийн нэг хэсэг болно. Тэдний статик байдал, динамик байдал нь Манделбротын хэлснээр ойр ойрхон судлах шаардлагатай байна.

Кохагийн муруй

Кохын муруй бол ердийн детерминик фракталуудын нэг юм. Үүнийг XIX зуунд Хельге фон Кох хэмээх Германы математикч зохион бүтээсэн бөгөөд Георг Контор, Карл Вейерстрассе нарын бүтээлийг судалж байхдаа ер бусын зан авиртай зарим хачин муруйн дүрслэлийг олж харжээ. Санаачлагч нь шулуун шугам юм. Генератор нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд талууд нь том сегментийн уртын гуравны нэгтэй тэнцүү байна. Эдгээр гурвалжингууд нь сегмент бүрийн дунд дахин дахин нэмэгддэг. Манделброт судалгааныхаа үеэр Кохын муруйтай өргөн туршилт хийж, Кохын арлууд, Кохын загалмай, Кох цасан ширхгүүд, тэр ч байтугай Кохын муруйн гурван хэмжээст дүрслэлийг тетраэдр ашиглан нүүрэнд нь жижиг тетраэдруудыг нэмж оруулсан. Кохын муруй нь ln4 / ln3 \u003d 1.261859507 хэмжигдэхүүнтэй.

FRACTAL MANDELBROTH

Энэ бол таны байнга үздэг Mandelbrot багц биш юм. Mandelbrot багц нь шугаман бус тэгшитгэл дээр үндэслэсэн бөгөөд нарийн төвөгтэй фрактал юм. Энэ объект нь үүнтэй төстэй биш ч гэсэн энэ нь Кохын муруйн нэг хувилбар юм. Мөн санаачлагч ба үүсгэгч нь Кохын муруйн зарчимд суурилсан фрактал үүсгэхэд ашигладаг төхөөрөмжүүдээс ялгаатай боловч санаа нь хэвээрээ байна. Муруй хэсэгт тэгш өнцөгт гурвалжинг хавсаргахын оронд дөрвөлжинг дөрвөлжинд хавсаргана. Энэхүү фрактал нь давталт бүрт хуваарилагдсан орон зайн яг тэн хагасыг эзэлдэг тул энгийн фрактал хэмжээ нь 3/2 \u003d 1.5 байна.

Дарерын таван хошуу

Фрактал нь хоорондоо шахагдсан таван өнцөгт шиг харагдаж байна. Үнэн хэрэгтээ энэ нь үүсгэгчийн хувьд таван өнцөгт ба тэгш өнцөгт гурвалжинг ашигладаг бөгөөд энэ нь генераторын хувьд алтан харьцаа гэж нэрлэгддэг (1.618033989 эсвэл 1 / (2cos72)) -тэй тэнцүү том талыг бага хэмжээтэй харьцуулсан харьцаа юм. Эдгээр гурвалжингууд нь таван өнцөгт бүрийн дундаас таслагдах бөгөөд нэг том хэмжээтэй наасан 5 жижиг таван өнцөгт шиг хэлбэртэй болно. Энэхүү фракталын хувилбарыг зургаан өнцөгтийг санаачлагч болгон ашиглаж болно. Энэхүү фракталыг Давидын Од гэж нэрлэдэг бөгөөд Кохын Цасан ширхэгийн зургаан өнцөгт хувилбартай нэлээд төстэй юм. Darer pentagon-ийн фрактал хэмжээ ln6 / ln (1 + g), g нь гурвалжны том талыг урт, жижгийн урттай харьцуулсан харьцаа юм. Энэ тохиолдолд g нь Алтан пропорциональ тул фракталын хэмжээ нь ойролцоогоор 1.86171596 болно. Давидын одны фрактал хэмжээ ln6 / ln3 эсвэл 1.630929754.

Нарийн төвөгтэй фракталууд

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та ямар нэгэн нарийн төвөгтэй фракталын жижиг хэсгийг томруулаад дараа нь тэр хэсгийн жижиг хэсэгтэй ижил зүйлийг хийвэл хоёр томрох нь бие биенээсээ мэдэгдэхүйц ялгаатай байх болно. Хоёр зураг нь нарийвчлан маш төстэй байх боловч тэдгээр нь бүрэн ижил биш байх болно.

Зураг 1. Mandelbrot багцын ойролцоо хэмжээ

Жишээлбэл, энд өгөгдсөн Мандельбротын багцын зургийг харьцуулж үзээрэй, нэгийг нь нөгөөгийнхөө тодорхой хэсгийг томруулж олж авсан болно. Таны харж байгаагаар эдгээр нь хоорондоо огт адилгүй боловч хоёулаа хар хүрээтэй бөгөөд үүнээс дөлөн тэмтрүүлүүд янз бүрийн чиглэлд явдаг. Эдгээр элементүүд нь Mandelbrot-д буурах хувь хэмжээгээр хязгааргүй давтагдана.

Детерминик фракталууд нь шугаман хэлбэртэй байдаг бол нарийн төвөгтэй фракталууд нь тийм биш юм. Шугаман бус боловч эдгээр фракталууд нь Манделбротын шугаман бус алгебрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Үүний сайн жишээ бол Zn + 1 \u003d ZnI + C процесс бөгөөд энэ нь хоёрдугаар зэрэглэлийн Мандельброт ба Жулия олонлогийг байгуулахад ашигласан тэгшитгэл юм. Эдгээр математикийн тэгшитгэлийн шийдэл нь нарийн төвөгтэй, төсөөллийн тоонуудыг агуулдаг. Тэгшитгэлийг нарийн төвөгтэй хавтгай дээр графикаар тайлбарлахад шулуун шугамууд муруй болж хувирдаг хачин дүрс гарч ирдэг ба өөртэй ижил төстэй байдлын эффектүүд нь янз бүрийн масштабын түвшинд гарч ирдэг. Үүнээс гадна бүхэл бүтэн зураг нь урьдчилан таамаглах аргагүй, маш эмх замбараагүй юм.

Таны харж байгаагаар зургуудыг харахад нарийн төвөгтэй фракталууд үнэхээр нарийн төвөгтэй тул тэдгээрийг компьютерийн тусламжгүйгээр бүтээх боломжгүй юм. Өнгө өнгөлөг болохын тулд энэ компьютер нь математикийн хүчирхэг процессор, өндөр нягтралтай дэлгэцтэй байх ёстой. Детерминик фракталуудаас ялгаатай нь төвөгтэй фракталуудыг 5-10 давталтаар тооцдоггүй. Компьютерийн дэлгэц дээрх бараг бүх цэг нь тусдаа фрактал шиг байдаг. Математик боловсруулалтын явцад цэг бүрийг тусдаа зураг болгон авч үздэг. Цэг бүр тодорхой утгатай тохирч байна. Тэгшитгэлийг барьж цэг бүрт хэрэгжүүлж, жишээ нь 1000 давталтыг гүйцэтгэнэ. Гэрийн компьютеруудад хүлээн зөвшөөрөгдөх хугацааны туршид харьцангуй гажиггүй дүр төрхийг олж авахын тулд нэг цэг дээр 250 давталт хийх боломжтой.

Өнөө үед бидний харж байгаа ихэнх фракталууд нь сайхан өнгөтэй байдаг. Магадгүй фрактал зургууд нь өнгөт схемийн ачаар ийм гоо зүйн үнэ цэнийг олж авсан байх. Тэгшитгэлийг тооцоолсны дараа компьютер үр дүнд дүн шинжилгээ хийдэг. Хэрэв үр дүн тогтвортой эсвэл тодорхой утгын хэлбэлзэлтэй байвал цэг ихэвчлэн хар өнгөтэй болдог. Хэрэв нэг эсвэл өөр алхам дээрх утга хязгааргүй болох хандлагатай байвал цэгийг өөр өнгөөр, цэнхэр эсвэл улаан өнгөөр \u200b\u200bбудна. Энэ процессын явцад компьютер бүх хурдаар өнгө хуваарилдаг.

Ихэвчлэн хурдан хөдөлгөөнтэй цэгүүдийг улаан өнгөөр \u200b\u200bбуддаг бол удаан цэгүүдийг шаргал өнгөтэй гэх мэт. Хар толбо нь магадгүй хамгийн тогтвортой байдаг.

Комплекс фракталууд нь детерминик фракталуудаас хязгааргүй нарийн төвөгтэй гэдгээрээ ялгаатай боловч маш энгийн томъёогоор бий болдог. Детерминик фракталд томъёо, тэгшитгэл хэрэггүй. Зургийн цаасыг аваад л Sierpinski шигшүүрийг 3-4 удаа давтаж, ямар ч бэрхшээлгүйгээр хийж болно. Жулиятай хамт туршиж үзээрэй! Английн эргийн шугамын уртыг хэмжихэд хялбар!

ТЭЭВРИЙН ТАВИЛГА

Зураг 2. Mandelbrot багц

Мандельброт, Жулия нарын иж бүрдэл нь нарийн төвөгтэй фракталуудын хамгийн түгээмэл хоёр нь байж магадгүй юм. Эдгээрийг олон шинжлэх ухааны сэтгүүл, номын хавтас, ил захидал, компьютерийн дэлгэцийн амраагчдаас олж болно. Бенуа Манделбротын бүтээсэн Mandelbrot иж бүрдэл нь хүмүүсийн фрактал гэдэг үгийг сонссон анхны холбоо юм болов уу. Дөлөн мод, түүнд хавсаргасан дугуй хэлбэртэй карттай төстэй фрактал нь Zn + 1 \u003d Zna + C гэсэн энгийн томъёогоор үүсгэгддэг бөгөөд Z ба C нь нийлмэл тоо, а бол эерэг тоо юм.

Mandelbrot багцыг ихэвчлэн 2-р зэргийн Mandelbrot багц буюу a \u003d 2 гэж үздэг. Мандельбротын багц нь зөвхөн Zn + 1 \u003d ZnІ + C төдийгүй томъёонд нь ямар ч эерэг тоо байж болох фрактал болох нь олон хүнийг төөрөлдүүлсэн юм. Энэ хуудсан дээр Mandelbrot-ийн экспонентын янз бүрийн утгыг тохируулсан жишээг харж болно.
Зураг 3. a \u003d 3.5-т бөмбөлөг үүсэх

Z \u003d Z * tg (Z + C) процесс нь түгээмэл байдаг. Шүргэх функцийг асааснаар та алимтай төстэй бүсээр хүрээлэгдсэн Mandelbrot багцыг авах болно. Косинусын функцийг ашиглахдаа агаарын бөмбөлгийн үр нөлөөг олж авдаг. Товчоор хэлбэл, Mandelbrot багцыг янз бүрийн үзэсгэлэнтэй зураг авахын тулд өөрчлөх хязгааргүй олон арга байдаг.

ЖУЛИА ОЛОН

Хачирхалтай нь, Жулия багцыг Мандельбротын багцтай ижил томъёогоор үүсгэдэг. Жулия иж бүрдлийг Францын математикч Гастон Жулиа зохион бүтээсэн бөгөөд түүний нэрээр нэрлэсэн юм. Мандельброт, Жулия нарын багцыг нүдээр харж танилцсаны дараа гарч буй хамгийн эхний асуулт бол "хэрэв хоёр фрактал нь ижил томъёогоор бүтээгдсэн юм бол яагаад ийм ялгаатай юм бэ?" Эхлээд Жулиягийн зураг авалтыг үзээрэй. Хачирхалтай нь, Жулиягийн янз бүрийн төрөл байдаг. Фракталыг янз бүрийн эхлэлийн цэгүүдийг ашиглан (давталтын процессыг эхлүүлэхийн тулд) зурахдаа янз бүрийн дүрс үүсгэдэг. Энэ нь зөвхөн Жулиягийн багцад хамаарна.

Зураг 4. Жулиягийн багц

Хэдийгээр зураг дээр харагдахгүй ч Манделбротын фрактал бол хоорондоо холбогдсон Жулия фракталуудын цогц юм. Mandelbrot багцын цэг (эсвэл координат) бүр Жулия фракталтай тохирч байна. Жулия багцыг эдгээр цэгүүдийг ашиглан Z \u003d ZI + C тэгшитгэлийн анхны утга болгон ашиглаж болно. Гэхдээ энэ нь та Манделбротын фрактал дээр цэгийг сонгоод түүнийгээ нэмбэл Жулия фрактал авах боломжтой гэсэн үг биш юм. Эдгээр хоёр цэг нь адилхан боловч зөвхөн математик утгаараа юм. Хэрэв та энэ цэгийг авч, энэ томъёогоор тооцоолсон бол Mandelbrot фракталын тодорхой цэгт харгалзах Жулия фракталыг авах боломжтой.

Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилж харах нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор ашиглагдах бөгөөд танилцуулах бүх хувилбарыг төлөөлж чадахгүй байж магадгүй юм. Хэрэв та энэ бүтээлийг сонирхож байгаа бол бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.

Зохиогчид:
Бекбулатова Алина,
Гетманова София

Удирдагчид:
Могутова Татьяна Михайловна,
Дерюшкина Оксана Валериевна

Оршил.

Төслийн онолын хэсэг:

• Фракталын геометрийн хөгжлийн түүх.
• Фракталын тухай ойлголт.
• Фракталын төрөл:

a) геометрийн фракталууд, геометрийн фракталуудын жишээ;
б) алгебрийн фрактал, алгебрийн фракталын жишээ;
в) стохастик фракталууд, жишээ.

• Байгалийн фракталууд.
• Фракталын практик хэрэглээ:
• уран зохиолд;
• харилцаа холбооны салбарт;
• анагаах ухаанд;
• архитектурт;
• дизайны хувьд;
• эдийн засгийн чиглэлээр;
• тоглоом, кино, хөгжимд
• байгалийн шинжлэх ухаанд
• физикийн чиглэлээр;
• биологийн чиглэлээр
• гэрийн эзэгтэй нарт зориулсан фракталууд
• орчин үеийн уран зураг - фрактал график.
• Фрактал график.
• Амьдралд фрактал геометрийн гүйцэтгэх үүрэг бол фракталуудын дуулал юм!

Төсөл дээр ажиллах практик хэсэг

• "Фракталын ертөнцөд аялахуй" эрдэм шинжилгээний бүтээл туурвих
• Интернет дээр байрлуулах.
• Олимпиад, тэмцээнд оролцох.
• Өөрийнхөө фрактал бүтээл.
• "Фракталийн гайхалтай ертөнц" товхимолыг бий болгох
• “Фракталын гайхалтай ертөнц.

Оршил

Геометрийг ихэвчлэн хүйтэн, хуурай гэж нэрлэдэг. Үүний нэг шалтгаан нь үүл, уул, мод эсвэл далайн эрэг хэлбэрийг тойрон хүрээлж буй бүх зүйлийг дүрслэн хэлж чадахгүй байгаа явдал юм. Үүл нь бөмбөрцөг биш, уулс нь конус биш, эрэг нь тойрог биш, царцдас нь тэгш биш бөгөөд аянга шулуун шугамаар дамждаггүй. Орчин үеийн ертөнцөд шинэ геометр - фракталын геометр бий болж байгааг бид мэдээд бид маш их баяртай байсан.

Фракталын нээлт нь геометр төдийгүй физик, хими, биологийн салбарт бидний амьдралын бүхий л салбарт хувьсгал хийжээ.

Төслийн ач холбогдол:

• Орчин үеийн ертөнцөд фракталуудын үүрэг маш их байна
• Фракталын судалгааны ач холбогдлын талаархи итгэл үнэмшлийн үндэслэл нь тэдний хэрэглээний өргөн цар хүрээ юм.

Судалгааны таамаглал:

Фракталын геометр нь хүний \u200b\u200bмэдлэгийн орчин үеийн, маш сонирхолтой салбар юм. Фрактал геометр үүссэн нь хүний \u200b\u200bүргэлжилсэн хувьсал, түүний ертөнцийг танин мэдэх арга зам өргөжиж байгаагийн нотолгоо юм.

Төслийн зорилго:

"Фракталын гайхалтай ертөнц" эрдэм шинжилгээний бүтээл туурвихын тулд фракталын онолыг судлах, компьютер дээр хавтгай дээр фрактал зурах алгоритм боловсруулж хэрэгжүүлэх.

Төслийн зорилго:

• Фрактал геометрийн үүсэл, хөгжлийн түүхтэй танилцах;
• Фракталын төрлүүд, орчин үеийн ертөнцөд хэрэглэх талаар судлах.
• Паскал, Лого програмчлалын хэл дээр фрактал үүсгэх програмуудыг ажиллуулна
• Фракталын тухай эрдэм шинжилгээний бүтээл туурвиж, интернетэд нийтлээрэй.
• "Фракталын гайхалтай ертөнц" товхимол үүсгэх
• Сургуулийн сурагчдыг бидний ажлын үр дүнтэй танилцуулах зорилгоор "Фракталын гайхалтай ертөнц" фестивалийг зохион байгуулах.

Бид төсөл дээр ажиллаад 4 сар болж байна.

Бидний ажлын гол үе шатууд:

• Шаардлагатай мэдээллийг цуглуулах: энэ сэдвээр интернет, ном, хэвлэлийг ашиглах. (2 долоо хоног)
• Мэдээллийг сэдвээр эрэмбэлэх: ажлыг бичих дарааллыг системчлэх, тодорхойлох. Ажил 2 долоо хоног үргэлжилсэн.
• Текстийн ажил зохиох: текст бичих, системчилсэн мэдээллийг хэсэгчлэн бүртгэх. Энэ нь нэг сар болсон.
• Танилцуулга үүсгэх: системчилсэн мэдээллийг шахах, танилцуулгын бүтэц, түүний дизайн, дизайныг тодорхойлох, нэг сарын дотор явагдсан.
• Паскал, Лого програмчлалын хэл дээр фрактал үүсгэх, өөрийн фрактал үүсгэх програмыг судалж байна (өнөөдрийг хүртэл)

Төслийн онолын хэсэг

Бид фрактал геометрийг бий болгох түүхийг судалж үзсэн.

20-р зууны 70-аад оны дунд үеэс фрактал объектуудын сонирхол сэргэв.

Фракталын геометрийн төрөлт нь ихэвчлэн 1977 онд Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдсэнтэй холбоотой байдаг. Түүний бүтээлүүдэд 1875-1925 онуудад ижил чиглэлээр ажиллаж байсан бусад эрдэмтдийн (Пуанкаре, Фату, Жулиа, Кантор, Хаусдорф) эрдэм шинжилгээний үр дүнг ашигласан болно. Гэхдээ зөвхөн бидний үед тэдний ажлыг нэг системд нэгтгэх боломжтой байсан.

Тэгэхээр фрактал гэж юу вэ?

Фрактал - хэд хэдэн хэсгээс бүрдэх геометрийн дүрс, тус бүр нь бүхэл бүтэн дүрстэй төстэй юм.

Фракталын багахан хэсэг нь бүхэл бүтэн фракталын тухай мэдээллийг агуулдаг.Өнөө үед "фрактал" гэдэг үг нь бүтцийн график дүрслэлийг илүү их хэмжээгээр илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь түүнтэй илүү өргөн цар хүрээтэй төстэй юм.

Фракталыг геометрийн, геометрийн, стохастик гэж хуваадаг.

Геометрийн фракталуудыг өөр аргаар сонгодог гэж нэрлэдэг. Хуваарь өөрчлөгдөхөд өөрчлөгддөггүй, өөртөө адил төстэй байдал гэж нэрлэгддэг тул тэдгээр нь хамгийн тод харагдаж байна. Энэ нь фрактыг хичнээн томруулсан ч гэсэн ижил хэв маягийг олж хардаг гэсэн үг юм.

Энд геометрийн фракталуудын хамгийн алдартай жишээг энд оруулав.

Кохын цасан ширхэг.

1904 онд Германы математикч Хельге фон Кох зохион бүтээжээ.

Үүнийг барихын тулд нэгж сегментийг авч, тэнцүү гурван хэсэгт хувааж, дунд холбоосыг энэ холбоосгүйгээр тэгш өнцөгт гурвалжингаар солино. Дараагийн алхам дээр бид үр дүнд хүрсэн дөрвөн хэсэг тус бүрт үйлдлийг давтана. Энэ процедурыг төгсгөлгүй давтан хийсний үр дүнд фрактал муруйг олж авдаг.

Дюрерийн таван өнцөгт.

Фрактал нь хоорондоо шахагдсан таван өнцөгт шиг харагдаж байна. Үнэн хэрэгтээ энэ нь таван өнцөгтийг санаачлагч болон тэгш өнцөгт гурвалжин болгон ашигладаг бөгөөд энэ нь том хэмжээтэй, жижиг харьцаа нь алтан харьцаа гэж нэрлэгддэгтэй яг тэнцүү бөгөөд эдгээр гурвалжингууд нь таван өнцөгт бүрийн дундаас таслагдах бөгөөд ингэснээр нэг жижиг наасан 5 жижиг таван өнцөгт шиг дүрс гарч ирдэг. том.

Sierpinski салфетка.

1915 онд Польшийн математикч Вацлав Сиерпинский нэгэн сонирхолтой зүйлийг сэджээ.

Үүнийг барихын тулд хатуу тэгш талт гурвалжинг авна. Эхний алхам нь урвуу тэгш өнцөгт гурвалжинг төвөөс зайлуулдаг. Хоёрдахь алхам нь үлдсэн гурван гурвалжнаас гурван урвуу гурвалжинг арилгана гэх мэт.

Луугийн муруй.

Италийн математикч Жузеппе Пеаногийн зохион бүтээсэн зүйл.

Sierpinski хивс.

Квадратыг аваад есөн тэнцүү дөрвөлжинд хуваагаад дунд хэсгийг нь хаяж, ижил үйлдлийг бусадтай хамт ad infinitum давтана.

Хоёрдахь хэлбэрийн фракталууд нь алгебрийн фракталууд юм.

Тэд алгебрийн томъёонд үндэслэн бүтээгдсэн тул нэрээ авсан. Энэхүү томъёог математик аргаар боловсруулсны үр дүнд тодорхой өнгөний цэг дэлгэц дээр гарч ирнэ. Үүний үр дүнд шулуун шугамууд муруй болж хувирдаг хачин дүрс гарч ирдэг бөгөөд ижил төстэй байдлын үр нөлөө нь янз бүрийн түвшинд гарч ирдэг. Компьютерийн дэлгэц дээрх бараг бүх цэг нь тусдаа фрактал шиг байдаг.

Хамгийн алдартай алгебрийн фракталуудын жишээ.

Mandelbrot тавилаа.

Mandelbrot багц нь алгебрийн фракталуудын дунд хамгийн түгээмэл байдаг. Үүнийг олон шинжлэх ухааны сэтгүүл, номын хавтас, ил захидал, компьютерийн дэлгэцийн амраагчдаас олж болно. Энэ бол гялалзсан модтой дугуй хэлбэртэй, түүнд наалдсан дугуй хэлбэртэй карт хэлбэртэй фрактал юм.

Жулиягийн зураг авалт.

Жулиагийн багцыг Францын математикч Гастон Жулиа зохион бүтээжээ. Алгебрийн фракталаас дутахааргүй алдартай.

Ньютоны усан сангууд.

Стохастик фракталууд.

Зарим параметрүүд нь давталтын системд санамсаргүй байдлаар өөрчлөгдөж байдаг фракталуудыг стохастик гэж нэрлэдэг. "Стохастик" гэсэн нэр томъёо нь "таамаглал" гэсэн грек үгнээс гаралтай.

Үүний зэрэгцээ байгалийн объектуудтай маш төстэй объектуудыг олж авдаг - тэгш хэмт бус мод, эрэг дагуух нүх, гэх мэт. Хоёр хэмжээст стохастик фракталууд нь газар нутаг, далайн гадаргууг загварчлахад ашиглагддаг.

Эдгээр фракталууд нь газрын гадаргуу, далайн гадаргуу, электролизийн процессыг загварчлахад хэрэглэгддэг. Энэ бүлэг фракталууд нь Жоржиа мужийн Технологийн дээд сургуулийн Майкл Барнслийн ажлын ачаар өргөн тархжээ.
Энэ бүлгийн фракталуудын ердийн төлөөлөгч "Плазма".

Бидний хувьд хамгийн ойлгомжтой нь байгалийн фрактал гэж нэрлэгддэг фракталууд юм.

"Байгалийн агуу номыг геометрийн хэлээр бичсэн" (Галилео Галилей).

Байгалийн фракталууд.

• Зэрлэг ан амьтдад:
• Далайн одон ба зараа
• Цэцэг ба ургамал (брокколи, байцаа)
• Модны титэм ба ургамлын навч
• Жимс (хан боргоцой)
• Хүн, амьтны цусны эргэлтийн систем ба гуурсан хоолой
• Амьгүй байгальд:
• Газарзүйн объектын хил хязгаар (улс орон, бүс нутаг, хотууд)
• Цонхны шилэн дээрх хүйтэн жавартай хээ
• Сталактит, сталагмит, геликтит.

Бараг бүх байгалийн тогтоц: модны титэм, үүл, уул, эргийн шугам нь фрактал бүтэцтэй байдаг.
Энэ нь юу гэсэн үг вэ?

Хэрэв та фрактал объектыг бүхэлд нь, дараа нь түүний хэсгийг, дараа нь энэ хэсгийн хэсгийг авч үзвэл тэдгээр нь ижил төстэй байгааг харахад хялбар байдаг.

Далайн фракталууд.

Наймаалж бол цефалоподын дарааллаас гаралтай далайн бентик амьтан юм.

Түүний бие ба энэ амьтны найман тэмтрүүл дээрх сорогч нь фрактал бүтэцтэй байдаг.

Шүрэн бол фракталын усан доорхи ертөнцийн бас нэг ердийн төлөөлөгч юм.

Байгальд танигдсан 3500 гаруй шүрэн зүйл байдаг.

Ногоон фрактал - оймын навч.

Ойн навч нь фрактал хэлбэртэй байдаг бөгөөд тэдгээр нь өөрөө ижил төстэй байдаг.

Нум бол таныг уйлуулдаг фрактал юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол энгийн фрактал юм: янз бүрийн диаметртэй ердийн тойрог, бүр эртний фрактал гэж хэлж болно.

Байгалийн фракталын тод жишээ бол Романеску юм", Тэр бол" Романеск брокколи "эсвэл" цэцэгт байцаа ".

Цэцэгт байцаа- ердийн фрактал.

Цэцэгт байцааны бүтцийг авч үзье.

Хэрэв та цэцгийн аль нэгийг нь тайрч авбал ижил хэмжээтэй цэцэгт байцаа таны гарт үлдэх нь ойлгомжтой, зөвхөн жижиг хэмжээтэй. Та микроскопоор ч хамаагүй дахин дахин хайчилж болно.Гэхдээ бид зөвхөн цэцэгт байцааны жижиг хуулбарыг олж авдаг.

Матрешка - тоглоомон бэлэг дурсгалын зүйл ердийн фрактал юм. Модон тоглоомын бүх дүрсийг нэг нэгэнд нь үүрлээд тавиагүй байхад эгнээний зарчим тодорхой болно.

Хүн бол фрактал юм.

Хүүхэд төрж, өсч томрох бөгөөд энэ үйл явц нь "өөртэйгөө ижил төстэй байдал", fractality гэсэн зарчмаар дагалддаг.

Фракталын хэрэглээний талбай өргөн байна.

Уран зохиолын фракталууд

Уран зохиолын бүтээлүүд дотроос текст, бүтэц, фрактал шинж чанартай байдаг. Уран зохиолын фракталуудад текстийн элементүүд төгсгөлгүй давтагддаг:

Тахилч нохойтой байсан
тэр түүнд хайртай байсан.
Тэр нэг хэсэг мах идсэн
тэр түүнийг алсан.
Би үүнийг газарт булсан,
Тайлбар дээр:
Тахилч нохойтой байсан ...

“Энд байшин байна.
Жак барьсан.
Улаан буудай энд байна.

Байшин дотор,
Жак барьсан
Энд хөгжилтэй шувуу байна,
Улаан буудайг хэн ухаалаг хулгайлдаг вэ?
Үүнийг харанхуй шүүгээнд хадгалдаг
Байшин дотор,
Жак аль нь барьсан юм ... " .

Харилцаа холбооны салбар дахь фракталууд.

Фрактал хэлбэртэй антеныг зайнаас өгөгдөл дамжуулахад ашигладаг бөгөөд энэ нь тэдний хэмжээ, жинг ихээхэн бууруулдаг.

Анагаах ухаанд фракталууд.

Энэ үед фракталууд анагаах ухаанд өргөн хэрэглэгддэг. Хүний бие өөрөө олон тооны фрактал бүтэцээс бүрддэг: цусны эргэлтийн систем, булчин, гуурсан хоолой, уушгины гуурсан хоолойн зам, артериуд.

Фракталын онолыг электрокардиограммд дүн шинжилгээ хийхэд ашигладаг.

Фрактал хэмжигдэхүүний хэмжээ ба хэмнэлийг үнэлэх нь эрт үе шатанд, илүү нарийвчлалтай, мэдээллийн агуулгаар гомеостазын зөрчил, зүрхний өвөрмөц өвчин үүсэх талаар дүгнэлт хийх боломжийг олгодог.

Фрактал алгоритм ашиглан боловсруулсан рентген зураг нь илүү сайн дүр зургийг гаргаж, улмаар оношлогоог илүү сайн хийдэг.

Фракталын идэвхтэй хэрэглээний өөр нэг чиглэл бол гастроэнтерологи юм.

Анагаах ухааны судалгааны шинэ арга бол электрогастроэнтерографи нь ходоод, арван хоёр нугас, ходоод гэдэсний замын бусад хэсгийн биоэлектрик үйл ажиллагааг үнэлэх боломжийг олгодог судалгааны арга юм.

Архитектур дахь фракталууд.

Байгалийн ба геометрийн объектуудыг хөгжүүлэх фрактал зарчим нь объектын гаднах шийдлийн дүр төрх, архитектурын хэлбэржүүлэлтийн дотоод зарчим болгон архитектурт гүнзгий нэвтэрдэг.

Дэлхийн өнцөг булан бүрээс дизайнерууд эхэлсэн саяхан нэртэй математикчдын тодорхойлсон гайхамшигтай фрактал байгууламжийг бүтээлдээ ашиглах.

Фракталын хэрэглээ нь орчин үеийн дизайны бараг бүх чиглэлийг шинэ түвшинд авчирсан.

Фракталын бүтцийг нэвтрүүлэх нь олон тохиолдолд дизайны харааны болон үйл ажиллагааны аль аль нь нэмэгдсэн.

Дизайнер Такеши Миякава багаасаа математикч болохыг мөрөөддөг байжээ.

Энэ тавилгыг өөрөөр тайлбарлах нь юу вэ: Fractal 23 орны дэргэдэх ширээнд янз бүрийн хэмжээ, харьцаатай 23 шургуулга байдаг бөгөөд тэдгээр нь ямар нэгэн байдлаар шоо дөрвөлжин хайрцган дотор хоорондоо зэрэгцэн оршиж, тэдэнд байгаа бараг бүх орон зайг дүүргэдэг.

Эдийн засгийн салбар дахь фракталууд.

Сүүлийн үед фракталууд хөрөнгийн бирж, валют, арилжааны зах зээлийн ханшид дүн шинжилгээ хийдэг эдийн засагчдын дунд түгээмэл болж байна.
Зах зээл дээр фракталууд ихэвчлэн гарч ирдэг.

Тоглоом дахь фракталууд.

Өнөөдөр олон янзын байгалийн ландшафтууд байдаг олон тоглоомуудад (магадгүй Minecraft-ийн хамгийн гайхалтай жишээ) фрактал алгоритмуудыг нэг талаар ашиглаж байна. Фрактал алгоритм дээр үндэслэн ландшафт, ландшафтыг бий болгох олон тооны програмыг бүтээсэн.

Кино урлагийн фракталууд.

Кино урлагт фрактал алгоритмыг янз бүрийн гайхалтай ландшафтыг бий болгоход ашигладаг. Фрактал геометр нь тусгай эффект зураачид үүл, утаа, дөл, од, гэх мэт объектуудыг хялбархан бүтээх боломжийг олгодог. Фрактал хөдөлгөөнт дүрсний талаар бид юу хэлж чадах вэ, энэ бол үнэхээр гайхалтай үзэгдэл юм.

Цахим хөгжим.

Фрактал хөдөлгөөнт дүрсийг VJ-үүд амжилттай ашиглаж байна. Ялангуяа ихэвчлэн ийм видео суурилуулалтыг цахим хөгжмийн жүжигчдийн концерт дээр ашигладаг.

Байгалийн шинжлэх ухаан.

Фракталыг ихэвчлэн геологи, геофизикт ашигладаг. Арлууд, тивүүдийн эрэг нь тодорхой фрактал хэмжигдэхүүнтэй байдаг тул аль эргийн уртыг маш зөв тооцоолж болохыг мэддэг нь нууц биш юм.

Хагарлын тектоник ба газар хөдлөлтийг судлах ажлыг заримдаа фрактал алгоритм ашиглан хийдэг.

Геофизик нь фрактал ба фрактал анализыг ашиглан соронзон орны гажиг, уян хатан орчинд долгион, чичиргээ тархах, уур амьсгал болон бусад олон зүйлийг судлахад ашигладаг.

Физикийн фракталууд.

Физикт фракталууд маш өргөн хэрэглэгддэг. Хатуу биетүүдийн физикт фрактал алгоритм нь хатуу, сүвэрхэг, хөвөн биетэй, аэрогель шинж чанарыг зөв тодорхойлж, урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог. Энэ нь ер бусын, ашигтай шинж чанартай шинэ материал бий болгоход тусалдаг.
Хатуу биетийн жишээ бол талст юм.

Урсгал дахь турбулент байдлыг судлах нь фракталуудтай маш сайн зохицдог.

Фрактал дүрслэл рүү шилжих нь инженер, физикчдэд төвөгтэй системийн динамикийг илүү сайн ойлгоход хялбар болгодог.
Фракталын тусламжтайгаар та дөлийг загварчилж болно.

Биологи дахь фракталууд.

Биологийн хувьд эдгээрийг популяцийг загварчлах, дотоод эрхтний тогтолцоог (цусны судасны систем) тодорхойлоход ашигладаг. Кохын муруйг үүсгэсний дараа эргийн шугамын уртыг тооцоолохдоо ашиглахыг санал болгов.

Гэрийн эзэгтэй нарт зориулсан фракталууд.

Фракталын онолыг гэртээ, түүний дотор гал тогоонд хялбархан шилжүүлээрэй.

Хэрэглээний үр дүн нь юу ч байж болно: фрактал ээмэг, фрактал амттай элэг гэх мэт. Та зөвхөн мэдлэг, оюун ухааныг холбох хэрэгтэй!

Орчин үеийн ертөнцөд фрактал графикийг өргөн ашиглаж байна. Алдартай уран зураг нь фрактал графикийн үр дүн юм.

Энэ бол санамсаргүй тохиолдол биш юм. Фрактал графикийн гоо үзэсгэлэнг бишрээрэй!

Төслийн практик хэсэг

• "Фракталын ертөнцөд аялсан нь" эрдэм шинжилгээний бүтээл хийв
• Паскал, Лого програмчлалын хэл дээр фрактал үүсгэх програмуудыг судалж үзсэн
• Бид өөрсдийн фракталуудаа өөрсдөө бүтээсэн.
• Өөрийнхөө гараар "Sierpinski салфетка", "Sierpinski Carpet"
• "Фрактал ээмэг" хийсэн
• "Фрактал графикийн гайхамшиг" уран зургийн циклийг бүтээв.
• "Фракталын ертөнцөд аялахуй" бүтээлийг интернетэд нийтлэв.
• "Математик" сэдвээр "Science 2.0" сургуулийн сурагчид, оюутнуудын Бүх Оросын VII олимпиадад "Фракталын ертөнцөд хийсэн аялал" бүтээлд оролцов. Бид тэргүүн байр эзэлсэн.
• Бүх Оросын "Агуу нээлт, нээлт" тэмцээнд "Фракталын ертөнцөд аялахуй" бүтээлд оролцов. Бид тэргүүн байр эзэлсэн.
• Математикийн хичээлээр "Би судлаач" сэдэвт сурагчид, оюутнуудын Бүх Оросын VIII олимпиадад "Фракталын ертөнцөд аялсан нь" бүтээлд оролцов. Бид тэргүүн байр эзэлсэн.
• "Фракталын гайхалтай ертөнц" танилцуулга хийв.
• "Фракталын хэрэглээ", "Бидний эргэн тойрон дахь фракталууд" товхимолыг бий болгосон
• 8-11-р ангийн сурагчдад "Фракталын гайхалтай ертөнц" фестивалийг зохион байгууллаа.

Тиймээс бид өнөө үед фрактал ба фрактал алгоритмын асар их практик хэрэглээний талаар бүрэн итгэлтэй хэлж чадна.

Фрактал ашигладаг талбайн спектр нь маш өргөн бөгөөд олон янз байдаг.

Ойрын ирээдүйд фракталууд, фрактал геометрүүд бидний хүн нэг бүрт ойр, ойлгомжтой болох болно. Бид амьдралгүйгээр тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй!

Фрактал геометр үүссэн нь хүний \u200b\u200bүргэлжилсэн хувьсал, ертөнцийг танин мэдэх, танин мэдэх арга хэлбэр нь өргөжиж байгаагийн нотолгоо юм гэж найдъя. Бид сонгодог физик, Евклидийн геометрийн ойлголттой ажилладаг шиг хүүхдүүд маань фрактал ба шугаман бус динамик гэсэн ойлголттой адил амархан бөгөөд утга учиртай ажиллах болно.

Төслийн үр дүн

• Бид фрактал геометрийн үүсэл, хөгжлийн түүхтэй танилцсан;
• Бид фракталын төрлүүд, орчин үеийн ертөнцөд хэрэглэх талаар судлав.
• Паскал, Лого програмчлалын хэл дээр өөрсдийн фракталуудаа бүтээсэн
• Фракталын талаархи эрдэм шинжилгээний бүтээл туурвисан.
• "Бидний эргэн тойрон дахь фракталууд" ба "Фракталын хэрэглээ" товхимолыг бий болгосон.
• 8-11-р ангийн сурагчдын дунд "Фракталын гайхалтай ертөнц" фестивалийг зохион байгууллаа.

Би "Жеремиа" олон ангит кинон дээр "Фракталын онол" -ын талаар дурдаж, орчин үеийн метафизикчид бурхан байгааг нотлоход ашигладаг энэхүү нэлээд дэгжин онолыг сонирхож үзлээ. Фракталын онол нь маш залуу нас юм. Энэ нь жараад оны сүүлчээр математик, компьютер, хэл шинжлэл, биологийн уулзвар дээр гарч байжээ. Тэр үед компьютерууд хүмүүсийн амьдралд улам бүр нэвтэрч, эрдэмтэд үүнийг судалгаан дээрээ ашиглаж эхэлсэн бөгөөд компьютер хэрэглэгчдийн тоо нэмэгдсээр байв. Компьютеруудыг бөөнөөр ашиглахын тулд хүн ба машин хоорондын харилцааны явцыг хөнгөвчлөх шаардлагатай болсон. Хэрэв компьютерийн эрин үед цөөхөн хэдэн хэрэглэгчийн програмистууд машины кодод хараат бус байдлаар командыг оруулаад төгсгөлгүй цаасан тууз хэлбэрээр үр дүн авч байсан бол компьютер ашиглах асар их, завгүй горимоор машинд ойлгомжтой програмчлалын хэл зохиох шаардлагатай болсон. Үүний зэрэгцээ сурах, ашиглахад хялбар байх болно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэглэгч зөвхөн нэг тушаалыг оруулах ёстой бөгөөд компьютер үүнийг илүү энгийн команд болгон задалж, аль хэдийн ажиллуулах болно. Орчуулагчдын бичвэрийг хөнгөвчлөхийн тулд компьютерийн шинжлэх ухаан, хэл шинжлэлийн уулзвар дээр фракталын онол үүссэн бөгөөд энэ нь алгоритмын хэлнүүдийн хоорондын хамаарлыг хатуу тодорхойлох боломжийг олгодог. Данийн математикч, биологич А.Линденмир 1968 онд ийм нэг дүрмийг зохион бүтээсэн бөгөөд үүнийг L систем гэж нэрлэсэн бөгөөд энэ нь амьд организмын өсөлт, ялангуяа ургамал дахь бут, мөчир үүсэхийг дуурайдаг гэж үздэг.

Фрактал (Латин fractus - буталсан, хугарсан, эвдэрсэн) гэдэг нь өөртэйгөө ижил төстэй шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн хэсгээс бүрдэх цогц геометрийн дүрс юм. Илүү өргөн утгаар бол фракталуудыг Евклидийн орон зайд байрлах фракцын хэмжээс (Минковски эсвэл Хаусдорф гэсэн утгаар) эсвэл метрологийн хэмжээсээс топологийн хэмжээсээс илүү олон цэгүүдийн багц гэж ойлгодог. Цэцэгт байцааны дэд зүйлүүдийн фрактал хэлбэр (Brassica cauliflora). Фрактал гэдэг нь хязгааргүй өөртэйгөө ижил төстэй геометрийн дүрс бөгөөд хэсэг бүр нь томрох тусам давтагддаг.

Бенуа Мандельбротыг фракталуудын эцэг гэж зүй ёсоор тооцож болно. Манделброт бол "фрактал" гэсэн нэр томъёог зохион бүтээгч юм. Манделброт
бичсэн: "Би" фрактал "гэсэн үгийг бодож олсон бөгөөд энэ нь" fractus "гэсэн латин нэр томъёог үндэс болгон авч, жигд бус, рекурсив,
хэсэгчилсэн ". Фракталын анхны тодорхойлолтыг мөн Б.Манделброт өгсөн. Зураг дээр зөвхөн сонгодог фрактал загварыг харуулсан болно - Mandelbrot багц.

Энгийнээр хэлбэл фракталын онол бол эмх замбараагүй бүтцийг систем болгон өөрөө өөрчлөн байгуулах чадвар юм. Аттрактор (англиар татах - татах, татах) нь динамик системийн төлөв байдлын багц (илүү нарийвчлалтай, фазын орон зай) бөгөөд энэ нь цаг хугацааны явцад чиглэгддэг. Таталцлын хамгийн энгийн хувилбарууд нь дур булаам тогтмол цэг (жишээлбэл, үрэлттэй савлуурын асуудалд) ба үечилсэн траектор (жишээлбэл, эерэг хариу хэлхээний давтамж дахь өөрийгөө өдөөсөн хэлбэлзэл) боловч илүү төвөгтэй жишээнүүд бас байдаг. Зарим динамик системүүд үргэлж эмх замбараагүй байдаг боловч ихэнх тохиолдолд динамик системийн параметрүүд зарим тусгай дэд орон зайд хамаарах тохиолдолд л эмх замбараагүй байдал ажиглагддаг.

Хамгийн сонирхолтой нь эмх замбараагүй зан үйлийн тохиолдол байдаг бөгөөд эхний олон нөхцлүүд нь таталцлын тойрог замын өөрчлөлтөд хүргэдэг. Эмх замбараагүй таталцлыг харуулах энгийн арга бол таталцлын таталцлын бүсийн цэгээс эхэлж дараа нь түүний тойрог замд график зурах явдал юм. Топологийн транзитив байдлаас шалтгаалан бүрэн хязгаартай таталцлын зураглалын зураглал шиг харагдаж байна. Жишээлбэл, савлуурыг дүрсэлсэн системд зай нь хоёр хэмжээст бөгөөд байрлал ба хурдны өгөгдлүүдээс бүрдэнэ. Та дүүжингийн байрлал ба түүний хурдыг дүрслэх боломжтой. Савлуурын амрах байрлал нь цэг байх ба хэлбэлзлийн нэг үе нь график дээр энгийн хаалттай муруй хэлбэрээр гарч ирнэ. Хаалттай муруй хэлбэртэй зургийг тойрог зам гэж нэрлэдэг. Савлуур нь хязгааргүй тооны ийм тойрог замтай бөгөөд гадаад төрхөөрөө үүрлэсэн эллипсийн цуглуулга үүсгэдэг.

Ихэнх хөдөлгөөнийг хязгаарлагдмал мөчлөг бүхий энгийн таталцлуудаар дүрсэлсэн байдаг. Эмх замбараагүй хөдөлгөөнийг маш нарийн төвөгтэй, олон параметртэй хачин таталцлуудаар тодорхойлдог. Жишээлбэл, цаг уурын энгийн гурван хэмжээст системийг алдарт Лоренцын таталцагч дүрсэлсэн байдаг - энэ нь эмх замбараагүй системийн хамгийн алдартай диаграммуудын нэг байсан бөгөөд энэ нь анхных нь байсан төдийгүй хамгийн төвөгтэй систем юм. Өөр нэг ийм таталцал бол ложистик газрын зурагтай адил хоёр үеийг хамарсан Рёслер газрын зураг юм. Хачирхалтай таталцлууд нь хоёуланд нь хоёуланд нь, мөн тасралтгүй динамик (Лоренцын систем гэх мэт), зарим салангид системд (жишээлбэл, Хенон газрын зураг) гарч ирдэг. Зарим салангид динамик системийг гарал үүслээр нь Жулия систем гэж нэрлэдэг. Хачирхалтай таталцал ба Жулия систем хоёулаа ердийн рекурсив, фрактал бүтэцтэй байдаг. Пуанкаре-Бендиксоны теорем нь хачин таталцал нь гурван ба түүнээс дээш хэмжээтэй байсан тохиолдолд л тасралтгүй динамик системд үүсч болохыг нотолж байна. Гэхдээ энэ хязгаарлалт нь салангид динамик системд ажиллахгүй. Хоёр хэмжээтэй, тэр ч байтугай нэг хэмжээст систем нь хачин татах чадвартай байж болно. Гурван ба түүнээс дээш биетийн зарим анхны нөхцөлд таталцлын таталцлыг мэдрэх хөдөлгөөн нь эмх замбараагүй хөдөлгөөн болж хувирдаг.

Тиймээс, зарим математикчдын үзэж байгаагаар буруу таталцлын тусламжтайгаар өөрийгөө эмх замбараагүй зохион байгуулах шинж чанар нь бурхан оршин тогтнох, оршин буй бүхнийг бүтээх Түүний эрч хүчийг нотолж болшгүй нотолгоо юм. Редд!

Эмх замбараагүй байдал бол тайлах шаардлагатай захиалга юм.

Хосе Сарамаго, Давхар

“Харьцангуйн онол, квантын механик, эмх замбараагүй байдлын онолыг бий болгосноор л 20-р зуун хойч үедээ дурсагдах болно ... харьцангуйн онол орон зайн туйлын тухай Ньютоны хуурмаг байдлаас ангижирч, квант механик нь физик үйл явдлын детерминизмын мөрөөдлийг үгүй \u200b\u200bхийж, эцэст нь эмх замбараагүй байдал Лапласийн тухай уран зөгнөлийг үгүйсгэв. системийн хөгжлийг бүрэн тодорхойлох. ” Америкийн алдарт түүхч, шинжлэх ухааныг дэлгэрүүлэгч Жеймс Гликийн эдгээр үгс нь уг асуудлын асар их ач холбогдлыг илэрхийлж байгаа бөгөөд энэ нь уншигчдын анхаарлыг татсан нийтлэлд товчхон өгөгдсөн болно. Манай ертөнц эмх замбараагүй байдлаас гарч ирсэн. Гэсэн хэдий ч эмх замбараагүй байдал нь өөрийн хууль тогтоомжийг дагаж мөрдөөгүй, түүнд тусгай логик байгаагүй бол энэ нь юу ч үүсгэх боломжгүй байв.

Шинэ нь мартагдсан хуучин юм

Гликээс өөр нэг эшлэл авъя.

Агуу зүйлийг жижиг зүйлд хөрөнгө оруулах боломжтой гэсэн дотоод ижил төстэй байдлын тухай бодол нь хүний \u200b\u200bсэтгэлийг эртнээс нааш нь хайрлаж ирсэн ... Лейбницын хэлснээр нэг дусал ус өнгө цацруулж, үл мэдэгдэх орчлон ертөнц амьдардаг бүх ертөнцийг агуулдаг. "Дэлхийг элсний ширхэгээр хар" гэж Блэйк уриалж, зарим эрдэмтэд түүний гэрээг дагахыг хичээв. Үрийн шингэний анхны судлаачид эр бэлгийн эс бүрт нэгэн төрлийн гомункул буюу өөрөөр хэлбэл өчүүхэн боловч бүрэн төлөвшсөн эр хүнийг олж харах хандлагатай байв.

Ийм үзэл бодлыг эргэж харах нь түүхийн гүн рүү илүү ихээр шилжиж болно. Аливаа нийгмийн хөгжлийн салшгүй үе шат болох ид шидийн үндсэн зарчмуудын нэг бол постулат юм: хэсэг нь бүхэлдээ адил юм. Тэрээр бүх амьтны оронд амьтны гавлын ясыг булах, тэрэгний оронд тэрэгний загвар гаргах гэх мэт үйлдлүүдээр илэрч байв. Өвөг дээдсийнхээ гавлыг хадгалж, хамаатан садан нь түүнийг хажууд нь амьдарч, тэдний ажилд оролцдог гэж үздэг байв.

Эртний Грекийн гүн ухаантан Анаксагор хүртэл орчлон ертөнцийн анхдагч элементүүдийг бүхэл бүтэн болон бүхэл бүтэн бусад хэсгүүдтэй төстэй тоосонцор гэж үздэг байсан. Аристотель Анаксагорын элементүүдийг "ижил төстэй" гэсэн тодотголоор тодорхойлжээ.

Манай орчин үеийн, Америкийн кибернетикч Рон Эглэш Африкийн овог аймаг, Өмнөд Америкийн индианчуудын соёлыг судалж, нээлт хийжээ: эрт дээр үеэс тэдний зарим нь барилгын фрактал зарчмуудыг гоёл чимэглэл, хувцас, гэр ахуйн эд зүйл, хээ угалз, гоёл чимэглэл, зан үйлийн ёслол, тэр ч байтугай архитектур. Тиймээс Африкийн зарим овог аймгуудын тосгоны бүтэц нь жижиг тойрог, дотор жижиг тойрог нь сүнсний байшин байдаг тойрог юм. Бусад овог аймгуудад тойргийн оронд бусад дүрс нь архитектурын элемент болж үйлчилдэг боловч тэдгээр нь нэг бүтцэд захирагдаж янз бүрийн масштабаар давтагддаг. Түүгээр ч барахгүй эдгээр барилгын зарчмууд нь байгалийг энгийн дууриамал биш харин давамгайлсан ертөнцийг үзэх үзэл, нийгмийн зохион байгуулалттай нийцэж байв.

Бидний соёл иргэншил эртний оршин тогтнолоос холуур өнгөрсөн мэт санагдаж байна. Гэсэн хэдий ч бид нэг ертөнцөд амьдарсаар байгаа бөгөөд хүн төрөлхтөн өөрсдийн хэрэгцээ шаардлагад нийцүүлэн өөрчлөх гэсэн бүх оролдлогыг үл харгалзан байгалиар хүрээлэгдэж, өөрийн хуулиар амьдарч байна. Хүн өөрөө (энэ тухай мартаж болохгүй) энэ мөн чанарын нэг хэсэг хэвээр байна.

Шугаман бус байдлыг судалдаг Германы физикч Герт Эйленбергер нэгэнтээ:

Харанхуй өвлийн тэнгэрийн цаана шуургатай салхины даралтын дор нүцгэн модны дүрсийг яагаад үзэсгэлэнтэй гэж үздэг бөгөөд архитекторын бүх хүчин чармайлтыг үл харгалзан орчин үеийн олон талт барилга байгууламжийн тойм нь огт тийм биш юм шиг санагддаг вэ? Миний бодлоор ... үүл, мод, уулын нуруу, цасан ширхэгийн талст зэрэг байгалийн үзэгдлүүдээс ажиглагдах дэг журам, эмх цэгцгүй зохицол хосолсноор бидний гоо сайхны мэдрэмж "тэтгэгддэг" юм шиг санагддаг. Эдгээр бүх контурууд нь физик хэлбэрээр хөлдсөн динамик процессууд бөгөөд тогтвортой байдал, эмх замбараагүй байдлын хослол нь тэдний хувьд ердийн зүйл юм.

Эмх замбараагүй байдлын онолын гарал үүсэл дээр

Бид юу гэж хэлэх гээд байна вэ? эмх замбараагүй байдал? Системийн зан үйлийг урьдчилан таамаглах чадваргүй байдал, янз бүрийн чиглэлд тогтворгүй үсрэлтүүд хэзээ ч захиалгат дараалал болж хувирахгүй.

Эмх замбараагүй байдлын анхны судлаач нь Францын математикч, физикч, гүн ухаантан Анри Пуанкаре гэж тооцогддог. 19-р зууны төгсгөлд. гурван биетэй таталцлын хүчээр харилцан үйлчлэлцдэг системийн зан үйлийг судлахдаа тодорхой цэгээс холддоггүй, ойртдоггүй тогтмол бус тойрог зам байж болохыг анзаарсан.

Байгалийн шинжлэх ухаанд өргөн хэрэглэгддэг геометрийн уламжлалт аргууд нь судалж буй объектын бүтцийг геометрийн дүрсээр жишээлбэл, шугам, хавтгай, бөмбөрцөг, метрик ба топологийн хэмжээсүүд нь тэнцүү байхаар ойролцоолоход үндэслэдэг. Ихэнх тохиолдолд судалж буй объектын шинж чанар, хүрээлэн буй орчинтой харилцан уялдаатай байдлыг интеграл термодинамик шинж чанараар тодорхойлдог бөгөөд энэ нь системийн талаархи мэдээллийн чухал хэсгийг алдах, түүнийг их бага хэмжээгээр тохирсон загвараар солиход хүргэдэг. Ихэнх тохиолдолд ийм хялбаршуулах нь нэлээд үндэслэлтэй байдаг боловч топологийн хувьд тохиромжгүй загварыг ашиглах нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй олон тохиолдол байдаг. Ийм зөрүүтэй байдлын жишээг түүний докторын зэрэг (одоо химийн шинжлэх ухааны доктор) Владимир Константинович Иванов бичсэн болно: шингээсэн изотермийг бүртгэдэг сорбцийн аргыг ашиглан хатуу биетийн боловсруулсан (жишээлбэл сүвэрхэг) гадаргуугийн талбайг хэмжихэд илэрсэн болно. Талбайн хэмжээ нь молекулуудын шугаман хэмжээнээс хамаардаг болох нь дөрвөлжин биш, хамгийн энгийн геометрийн тооцооноос хүлээх ёстой, гэхдээ заримдаа 3-тай маш ойрхон байдаг.

Цаг уурын урьдчилсан тооцоо бол хүн төрөлхтний эрт дээр үеэс тулгарч ирсэн бэрхшээлүүдийн нэг юм. Энэ сэдвээр цаг агаарын урьдчилсан мэдээг бөөгөөс гинжин хэлхээнд дамжуулж цагаач руу дамжуулж, дараа нь геологич руу, дараа нь радио нэвтрүүлгийн редактор руу дамжуулж, эцэст нь тойрог хаагдахыг радиогоор дамжуулж мэддэг болсон байдаг. Цаг агаар гэх мэт олон нарийн төвөгтэй системийн тодорхойлолтыг энгийн загвар болгон өөрчлөх боломжгүй юм. Энэ даалгавар нь шугаман бус динамик системийг загварчлахад зориулж компьютер ашиглаж эхэлсэн. Эмх замбараагүй байдлын онолыг үндэслэгчдийн нэг, Америкийн цаг уурч, математикч Эдвард Нортон Лоренц цаг агаарын урьдчилсан мэдээний асуудалд олон жилийг зориулсан. Өнгөрсөн зууны 60-аад оны үед цаг агаарын урьдчилсан мэдээний найдваргүй байдлын шалтгааныг ойлгохыг хичээгээд тэрээр төвөгтэй динамик системийн төлөв байдал нь анхны нөхцлөөс ихээхэн хамааралтай болохыг харуулсан: олон параметрийн аль нэгнийх нь ялимгүй өөрчлөлт нь хүлээгдэж буй үр дүнг эрс өөрчилж чадна. Лоренц энэ хамаарлыг эрвээхэйний үр нөлөө гэж нэрлээд: "Өнөөдөр Бээжин дэх цагаан эрвээхэйн далавч нэг сарын дотор дэлбэрч байгаа нь Нью-Йоркт хар салхи үүсгэж болзошгүй юм." Тэрээр агаар мандлын ерөнхий эргэлтийн талаар хийсэн ажлаараа алдаршжээ. Процессыг дүрсэлсэн гурван хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг судлахдаа Лоренц шинжилгээнийхээ үр дүнг графикаар харуулав: график шугамууд нь эдгээр хувьсагчдын орон зайд уусмалаар тодорхойлогдсон цэгүүдийн координатыг илэрхийлдэг (Зураг 1). Үүний үр дүнд үүссэн давхар спираль лоренцын сонирхлыг татдаг(эсвэл "хачин сэтгэл татам"), хязгааргүй төөрөлдсөн зүйл шиг харагдавч үргэлж тодорхой хил хязгаар дотор байрладаг бөгөөд хэзээ ч давтагдахгүй. Таталцлын хөдөлгөөн нь хийсвэр (хувьсагчууд нь хурд, нягтрал, температур гэх мэт байж болно) бөгөөд энэ нь усны хүрдний хөдөлгөөн, хаалттай гогцоонд конвекц, нэг горимт лазераас цацраг туяа, диссипатив гармоник хэлбэлзэл зэрэг бодит физик үзэгдлүүдийн шинж чанарыг илэрхийлдэг. харгалзах хувьсагчдын үүрэг гүйцэтгэнэ).

Эмх замбараагүй байдлын асуудлын талаархи төрөлжсөн уран зохиолыг бүрдүүлдэг олон мянган хэвлэлээс 1963 онд Лоренцын бичсэн "Deterministic non-periodical flow" нийтлэлээс илүү олон иш татсан байдаг. Компьютерийн симуляци нь энэ ажлын үеэр цаг агаарын урьдчилсан мэдээг "урлаг" -аас шинжлэх ухаан болгон өөрчилсөн байсан ч урт хугацааны урьдчилсан таамаглал найдваргүй, найдваргүй хэвээр байв. Үүний шалтгаан нь эрвээхэйний нөлөө байв.

1960-аад оны үед Калифорнийн их сургуулийн математикч Стивен Смэйл Беркли хотод ижил төстэй үзэл бодолтой залуу хүмүүсийн судалгааны бүлгийг цуглуулжээ. Тэрээр өмнө нь Топологийн шилдэг судалгаа шинжилгээний ажлын төлөө Филдсийн медалиар шагнагдаж байжээ. Смэйл динамик систем, ялангуяа шугаман бус эмх замбараагүй осцилляторыг судалж үзсэн. Ван дер Пол осцилляторын фазын орон зайд үүссэн бүх эмгэгийг нөхөн үржихийн тулд тэрээр "тах тахаа" хэмээх бүтцийг бүтээжээ - эмх замбараагүй динамиктай динамик системийн жишээ.

“Horseshoe” (Зураг 2) нь анхны нөхцлөөс хүчтэй хамааралтай болохуйц, үзэгдэхуйц дүр төрх юм: хэд хэдэн давталтын дараа эхлэх цэг хаана байхыг та хэзээ ч тааж чадахгүй. Энэхүү жишээ нь Оросын математикч, динамик систем ба дифференциал тэгшитгэл, дифференциал геометр ба топологийн онолын шинжээч Дмитрий Викторович Аносовын "Аносовын диффеоморфизмууд" сэдвээр шинэ бүтээл хийхэд түлхэц болсон юм. Хожим нь эдгээр хоёр бүтээлээс гиперболик динамик системийн онол үүссэн. Смэйлийн бүтээл бусад салбаруудад анхаарал хандуулахаас өмнө арван жилийн хугацаа өнгөрчээ. "Ийм зүйл болсон үед физикчид Смэйл математикийн бүхэл бүтэн салбарыг бодит ертөнцөд эргүүлснийг ойлгосон."

1972 онд Мэриландын их сургуулийн математикч Жеймс Йорк Лоренцын дээр дурдсан цаасыг уншаад түүнийг гайхшруулсан юм. Йорк энэ нийтлэлээс амьд биет загварыг олж харсан бөгөөд Лоренц, Смэйлийн бүтээлүүдээс олж хараагүй зүйлээ физикчдэд хүргэх нь түүний ариун үүрэг гэж үздэг. Тэрээр Лоренцын нийтлэлийн нэг хувийг Смэйлд дамжуулав. Тэрээр арван жилийн өмнө бүрхэг цаг уур судлаач (Лоренц) өөрөө нэгэн цагт математикийн хувьд гайхалтай гэж бодож байсан тэр эмгэгийг олж, бүх хамт ажиллагсаддаа хуулбарыг нь илгээснийг олж хараад гайхаж байлаа.

Йоркийн найз, биологич Роберт Мэй амьтдын популяцийн өөрчлөлтийг судалж байжээ. 5-р сар Пьер Верхлустын мөрөөр явсан бөгөөд тэр 1845 онд малын тоо толгой өөрчлөгдөхөд урьдчилан таамаглах аргагүй байдалд анхаарлаа хандуулж, хүн амын өсөлтийн хурд нь хувьсах утга гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн юм. Өөрөөр хэлбэл процесс нь шугаман бус болж хувирдаг. Өсөлтийн хурдны хэлбэлзэл зарим чухал цэг (салаалах цэг) -д ойртох үед хүн амд юу тохиолдохыг ойлгохыг хичээв. Энэ шугаман бус параметрийн утгыг өөрчилснөөр тэрээр системийн мөн чанар дахь үндсэн өөрчлөлтүүд боломжтой болохыг олж мэдсэн: параметрийн өсөлт нь шугаман бус байдлын түвшинг нэмэгдүүлж, улмаар үр дүнгийн тоон шинж чанарыг төдийгүй чанарын шинж чанарыг өөрчилсөн гэсэн үг юм. Ийм ажиллагаа нь тэнцвэртэй байсан хүн амын тооны эцсийн утга, ерөнхийдөө сүүлд нь хүрэх чадварт нөлөөлөв. Тодорхой нөхцөлд үе үе эмх замбараагүй байдал, хэлбэлзэл хэзээ ч унтардаггүй байсан.

Йорк өөрийн бүтээлдээ дүрсэлсэн үзэгдлүүдийг математикийн аргаар шинжлэн судалж, нэг хэмжээст системд дараахь зүйл тохиолддог болохыг нотолсон: хэрэв гурван долгионтой тогтмол мөчлөг гарч ирвэл (ямар нэгэн параметрийн утгын жигд өсөлт, бууралт), ирээдүйд систем нь бусад хугацааны үргэлжлэх мөчлөг хэр зөв болохыг харуулж эхэлнэ. бүрэн замбараагүй. (Зүүн Берлинд болсон олон улсын бага хурал дээр нийтлэл хэвлүүлснээс хойш хэдэн жилийн дараа Зөвлөлт (Украйн) математикч Александр Николаевич Шарковский судалгаагаараа Йоркоос зарим талаар түрүүлж байсан). Йорк Америкийн Математик Сар тутмын эрдэм шинжилгээний нийтлэлд зориулж нийтлэл бичсэн. Гэсэн хэдий ч Йорк зөвхөн математикийн үр дүнд хүрээгүй: эмх замбараагүй байдал нь хаа сайгүй, тогтвортой, бүтэцтэй байдгийг физикчдэд харуулсан. Уламжлал ёсоор шийдвэрлэхэд хэцүү дифференциал тэгшитгэлээр дүрсэлсэн нарийн төвөгтэй системийг харааны график ашиглан дүрслэх боломжтой гэж тэрээр итгэх үндэслэл өгсөн.

Мэй амьтдын популяци зөвхөн захиалсан мөчлөгөөс илүү туршлагатай болохыг биологчдын анхаарлыг хандуулахыг хичээсэн. Эмх замбараагүй байдал руу орох замд үеийг бүхэлд нь хоёр дахин нэмэгдүүлдэг. Жишээлбэл, салаалах цэгүүдэд хувь хүмүүсийн үржил шим бага зэрэг нэмэгдэх нь жишээлбэл цыган эрвээхэйн популяцийн дөрвөн жилийн мөчлөгийг найман жилийн нэгээр солиход хүргэж болзошгүй юм. Америк Митчелл Фейгенбаум ийм өөрчлөлтийг үүсгэсэн параметрийн яг утгыг тооцоолж эхлэхээр шийдсэн. Түүний тооцооллоос харахад анхны хүн ам нь ямар байх нь хамаагүй бөгөөд энэ нь таталцалд ойртсоор байв. Дараа нь эхний үеийг хоёр дахин нэмэгдүүлэхэд хуваагч эс шиг таталцлыг хоёр хуваажээ. Дараа нь дараагийн үеийг үржүүлж, таталцлын цэг бүр дахин хуваагдаж эхлэв. Фейгенбаумын олж авсан хувьсах хэмжигдэхүүн нь түүнд яг хэзээ ийм зүйл болохыг урьдчилан таамаглах боломжийг олгов. Эрдэмтэд энэ нөлөөг хамгийн төвөгтэй таталцлын хувьд хоёр, дөрөв, найман цэг дээр урьдчилан таамаглаж болохыг олж мэдсэн ... Экологийн хэлээр ярихдаа хүн амын жилийн хэлбэлзлийн үед бодит тоог олж мэдэхийг таамаглаж байв. Тиймээс Фейгенбаум 1976 оны 5-р сарын ажил, түүний үймээн самуун судалгаан дээр үндэслэн "хугацааг хоёр дахин нэмэгдүүлсэн каскад" -ыг нээв. Түүний онол нь эмх замбараагүй байдлаас эмх замбараагүй байдал руу шилжиж буй бүх тогтолцоонд хамаарах байгалийн хуулийг тусгасан болно. Йорк, Мэй, Фейгенбаум нар барууны орнуудад хугацааг хоёр дахин нэмэгдүүлэхийн ач холбогдлыг бүрэн ойлгож, энэ санаагаа бүх эрдэм шинжилгээний нийгэмд дамжуулж чаджээ. Эмх замбараагүй байдлыг заах ёстой гэж Мэй мэдэгдэв.

Зөвлөлтийн математикч, физикчид гадны мэргэжил нэгтнүүдээс үл хамааран судалгаа шинжилгээний ажилдаа ахисан түвшинд хүрсэн. Эмх замбараагүй байдлыг судлах ажлыг 1950-аад оны үед А.Н.Колмогоровын бүтээлээр эхлүүлжээ. Гэхдээ гадаадын мэргэжил нэгт нөхдийн санаа бодол тэдний анхаарлыг татсангүй. Эмх замбараагүй байдлын онолын анхдагчид бол КАМ (Колмогоров-Арнольд-Мозерын онол) хэмээх эмх замбараагүй байдлын онолыг байгуулсан Зөвлөлтийн математикчид Андрей Николаевич Колмогоров, Владимир Игоревич Арнольд, Германы математикч Юрген Мозер нар юм. Бидний бас нэгэн гайхалтай нутаг нэгтэн, гялалзсан физикч, математикч Яков Григорьевич Синай термодинамикийн "Smale horhohe" -тэй ижил төстэй бодлыг хэрэглэсэн. Барууны физикчид 70-аад онд ЗХУ-д нэр хүндтэй болсон тул Лоренцын бүтээлтэй танилцаагүй байв. 1975 онд Йорк, 5-р сарууд хамт ажиллагсдынхаа анхаарлыг татахын тулд нэлээд их хүчин чармайлт гаргасаар байхад Синай ба түүний нөхөд энэ асуудлыг судлахаар Горьки хотод судалгааны бүлэг байгуулжээ.

Өнгөрсөн зуунд шинжлэх ухааны салбар дахь нарийн мэргэшил, диссоциаци нь ердийн зүйл болоход математикч, физикч, биологич, химич, физиологич, эдийн засагчид ижил төстэй асуудлууд дээр бие биенээ сонсохгүйгээр тэмцэж байв. Танил ертөнцийг үзэх үзлийг өөрчлөхийг шаарддаг санаанууд өөрсдийнхөө замыг гаргах гэж үргэлж тэмцдэг. Гэсэн хэдий ч амьтдын популяцийн өөрчлөлт, зах зээлийн үнийн хэлбэлзэл, цаг агаарын өөрчлөлт, тэнгэрийн биетүүдийн хэмжээ, бусад хэмжээгээр тархах гэх мэт зүйлс ижил хуулийг дагаж мөрдөж байгаа нь аажмаар тодорхой болов. "Энэхүү баримтыг ухамсарласнаар менежерүүд даатгалд хандах хандлагаа эргэн харахыг шаардав. Одон орон судлаачид, нарны аймгийн өөр өнцгөөс, улстөрчид зэвсэгт мөргөлдөөний шалтгааны талаар бодлоо өөрчлөхийг шаардав."

1980-аад оны дунд үе гэхэд байдал маш их өөрчлөгдсөн байв. Фрактал геометрийн санаанууд өөрсдийн ажиглалтаар гайхаж, тэдгээрийг хэрхэн тайлбарлахаа мэдэхгүй байсан эрдэмтдийг нэгтгэв. Эмх замбараагүй байдал судлаачдын хувьд математик нь туршилтын шинжлэх ухаан болж, компьютер лабораториудыг сольсон. График зураг хамгийн чухал ач холбогдолтой болсон. Шинэ шинжлэх ухаан дэлхий ертөнцөд тусгай хэл, шинэ ойлголтуудыг өгөв: фазын хөрөг, таталцал, бифуркац, фазын орон зайн хэсэг, фрактал ...

Бенуа Манделброт өмнөх болон үеийн хүмүүсийн санаа, бүтээлээс үндэслэн мод ургах, үүл үүсэх, эдийн засгийн шинж чанар, амьтдын популяцийн хэмжээ зэрэг нарийн төвөгтэй үйл явцыг байгалийн ижил төстэй хуулиар зохицуулдаг болохыг харуулсан. Эдгээр нь эмх замбараагүй байдлын тодорхой хэв шинжүүд юм. Байгалийн өөрөө зохион байгуулалтын үүднээс тэд соёл иргэншилтэй хүнд танил болсон хиймэл хэлбэрээс хамаагүй хялбар байдаг. Эдгээр нь зөвхөн Евклидийн геометрийн хүрээнд төвөгтэй болохыг хүлээн зөвшөөрч болох юм, учир нь фрактуудыг алгоритмийг тодорхойлж тодорхойлдог тул бага хэмжээний мэдээллийг ашиглан дүрсэлж болно.

Байгалийн фрактал геометр

Фрактал гэж юу болох, "юугаар иддэг" болохыг олж мэдье. Жишээлбэл, зураг дээр үзүүлсэн ердийн төлөөлөгч гэх мэтийн заримыг нь үнэхээр идэж болно.

Үг фракталлатинаас гаралтай фракт - буталсан, эвдэрсэн, хэсэг хэсгүүдэд хуваагдсан. Фрактал гэдэг нь өөртэй ижил төстэй шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл масштабын инвариантыг агуулсан математикийн олонлог юм.

"Фрактал" гэсэн нэр томъёог 1975 онд Манделброт гаргасан бөгөөд 1977 онд "Байгалийн фрактал геометр" номоо хэвлүүлснээр өргөн дэлгэр тархжээ. "Мангасанд тухтай, эелдэг нэр өг, тэгвэл түүнийг номхотгох нь илүү хялбар болоход та гайхах болно!" гэж Манделброт хэлэв. Судалж буй обьектуудыг (математикийн багц) ойр, ойлгомжтой болгох гэсэн энэхүү хүсэл нь математикийн шинэ нэр томъёо, жишээлбэл, төрөхөд хүргэсэн. тоос, гэрийн бяслаг, ийлдэсбайгалийн үйл явцтай гүн гүнзгий холбоотой болохыг тодорхой харуулж байна.

Фракталын математик үзэл баримтлал нь том, жижиг янз бүрийн масштабтай бүтэцтэй объектыг тодорхойлдог бөгөөд ингэснээр зохион байгуулалтын шаталсан зарчмыг тусгадаг. Мэдээжийн хэрэг, модны янз бүрийн мөчрүүд хоорондоо яг таарч тохирохгүй, гэхдээ тэдгээрийг статистик утгаараа ижил төстэй гэж үзэж болно. Үүний нэгэн адил үүлний хэлбэр, уулын тойм, далайн эргийн шугам, дөл, судасжилт, жалга, аянга, өөр өөр хэмжээсээр харахад ижил төстэй харагдаж байна. Хэдийгээр энэхүү идеалчлал нь бодит байдлыг хялбаршуулсан хэлбэртэй болж болох боловч энэ нь байгалийн математикийн тодорхойлолтыг гүнзгий нэмэгдүүлдэг.

Манделброт "байгалийн фрактал" гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлж, фрактал багцыг ашиглан тодорхойлж болох байгалийн бүтцийг тэмдэглэжээ. Эдгээр байгалийн объектууд нь тохиолдлын элементийг агуулдаг. Манделбротын бүтээсэн онол нь урьд өмнө орооцолдсон, долгионтой, барзгар гэх мэт бүх хэлбэрийг тоон болон чанарын хувьд тайлбарлах боломжийг олгодог.

Дээр дурьдсан динамик процессууд, санал хүсэлтийн процессууд нь физик, математикийн янз бүрийн асуудлуудад үүсдэг. Тэд бүгдэд нэг нийтлэг зүйл байдаг - онгоцонд давамгайлах гэсэн хэд хэдэн төвийн өрсөлдөөн ("татагч" гэж нэрлэдэг). Тодорхой тооны давталт хийсний дараа систем өөрийгөө олж байгаа байдал нь түүний "эхлэх газраас" хамаарна. Тиймээс таталцагч бүр нь анхны төлөвүүдийн тодорхой мужид тохирч байгаа бөгөөд эдгээр систем нь эцсийн байдлаар авч үзэх ёстой. Тиймээс системийн фазын орон зайг (тодорхой динамик системтэй холбоотой параметрүүдийн хийсвэр орон зай, түүний боломжит бүх төлөв байдлыг өвөрмөцөөр тодорхойлдог цэгүүд) хуваана. татах газарсонирхогчид. Аристотелийн динамикт эргэж буцах нэг хэлбэр байдаг бөгөөд үүнд бие махбодь нь хүссэн газартаа чиглэдэг. Иймэрхүү өрсөлдөөний үр дүнд "зэргэлдээ нутаг дэвсгэр" -ийн хоорондох энгийн хил хязгаар ховор тохиолддог. Яг энэ хил орчмын бүсэд оршихуйн нэг хэлбэрээс нөгөөд шилжих шилжилт нь эмх замбараагүй байдал руу шилждэг. Динамик хуулийн илэрхийлэлийн ерөнхий хэлбэр нь маш энгийн: x n + 1 → f x n C. Хэцүү байдал нь анхны утга ба үр дүнгийн хоорондох шугаман бус холбоонд оршино. Хэрэв бид заасан дурын төрлийн давталтын процессыг дурын утга \\ (x_0 \\) -аас эхлүүлбэл түүний үр дүн нь \\ (x_1 \\), \\ (x_2 \\), ... гэсэн дараалал байх бөгөөд энэ нь зарим хязгаарын утга болох \\ (X \\) болж хувирна. , амралтын байдалд тэмүүлэх нь тодорхой утгын мөчлөгт орж, дахин дахин давтагдах, эсвэл санамсаргүй байдлаар, урьдчилан таамаглашгүй байдлаар биеэ авч явах болно. Дэлхийн нэгдүгээр дайны үеэр Францын математикч Гастон Жулиа, Пьер Фато нар судалж байсан эдгээр үйл явц юм.

1979 онд Манделброт тэдний нээсэн багцыг судалж, дүрсний нарийн хавтгай дээрх дүрс дээр гарч ирэв. Жулия багц нь квадрат хувиргалтыг давтсаны үр дүнд үүссэн цэгүүдийн олонлог юм: x n → x n - 1 2 + C, ойролцоох динамик нь эхний байрлалын бага зэргийн цочролын хувьд тогтворгүй байдаг. Дараалсан утга бүрийг \\ (x \\) өмнөх дүнгээс авна; \\ (C \\) цогц тоог дууддаг хяналтын параметр... Тоо дарааллын зан байдал нь \\ (C \\) параметр ба эхлэх цэг \\ (x_0 \\) -ээс хамаарна. Хэрэв бид комплекс тооны талбарт \\ (C \\) -г засаад \\ (x_0 \\) -г өөрчилбөл Жулия багцыг авна. Хэрэв бид \\ (x_0 \\) \u003d 0-ийг засаад \\ (C \\) -г өөрчилвөл Mandelbrot багцыг (\\ (M \\)) авах болно. Энэ нь \\ (C \\) сонголтыг хийхэд ямар төрлийн Жулия багцыг хүлээх ёстойг бидэнд хэлж өгдөг. Нийлмэл тоо \\ (C \\) нь домэйнд хамаарна (M \\) (Зураг 3-т хар өнгөтэй) эсвэл үгүй. \\ (C \\) нь "чухал цэг" \\ (x_0 \\) \u003d 0 хязгааргүй болох хандлагатай биш тохиолдолд л \\ (M \\) -д хамаарна. \\ (M \\) олонлог нь холбогдсон Жулия олонлогуудтай холбоотой бүх \\ (C \\) цэгүүдээс бүрдэх боловч \\ (C \\) цэг \\ (M \\) олонлогийн гадна байгаа бол түүнтэй холбогдсон Жулия олонлог салгагдана. \\ (M \\) олонлогийн хил хязгаар нь Жулиягийн x n → x n - 1 2 + C олонлогийн математикийн фазын шилжилтийн мөчийг тодорхойлдог. Параметр \\ (C \\) гарах \\ (M \\) үед Жулия олонлогууд холболтоо алдаж, зүйрлэвэл дэлбэрч, тоос болж хувирдаг. \\ (M \\) хил дээр тохиолдох чанарын үсрэлт нь хилийн ойролцоох бүсэд бас нөлөөлдөг. Хил хязгаарын цогц динамик бүтцийг ойролцоогоор "анхны цэгийн хязгааргүй байдал руу зугтах \\ (x_0 \\) \u003d 0" ижил хугацаанд бүсүүдийг янз бүрийн өнгөөр \u200b\u200bбудаж (уламжлалт байдлаар) харуулах боломжтой. Эдгээр утга нь \\ (C \\) (нэг сүүдэр) бөгөөд энэ үед чухал цэг нь \\ (N \\) радиусын тойргийн гадна байхын тулд өгөгдсөн тооны давталтыг шаарддаг бөгөөд хоёр мөрийн хоорондох зайг нөхнө. \\ (M \\) зааг руу ойртох үед шаардлагатай давталтын тоо нэмэгдэнэ. Энэ цэг нь Жулиагийн багцын ойролцоо эргэлдэх замаар улам бүр тэнүүчлэх болжээ. Mandelbrot багц нь эмх замбараагүй байдлаас эмх замбараагүй байдал руу шилжих үйл явцыг агуулдаг.

Манделбротын нээлтийн замаар туулсан зам мөрийг хайж олох нь сонирхолтой юм. Бенуа 1924 онд Варшав хотод төрсөн бөгөөд 1936 онд гэр бүл Парис руу цагаачилжээ. Манделброт Ecole Polytechnique, дараа нь Парис дахь Их Сургуулийг төгсөөд АНУ руу нүүж, Калифорнийн Технологийн Институтэд суралцжээ. 1958 онд тэрээр Йорктаун дахь IBM судалгааны төвд элсэв. Компанийн цэвэр хэрэглээний үйл ажиллагаанаас үл хамааран түүний байр суурь нь түүнд янз бүрийн чиглэлээр судалгаа хийх боломжийг олгожээ. Эдийн засгийн салбарт ажиллаж байхдаа залуу мэргэжилтэн хөвөнгийн үнийн статистикийг урт хугацаанд (100 гаруй жил) судалж эхэлсэн. Урт ба богино хугацааны үнийн хэлбэлзлийн тэгш хэмийг задлан шинжилж үзэхэд өдрийн туршид эдгээр хэлбэлзэл нь санамсаргүй, урьдчилан таамаглах аргагүй мэт санагдаж байсан боловч ийм өөрчлөлтүүдийн дараалал нь цар хүрээнээс хамаардаггүй байв. Энэ асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд тэрээр ирээдүйн фрактал онолыг боловсруулж, судалж буй үйл явцын график дүр төрхийг анх ашиглав.

Шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарыг сонирхож байсан Манделброт математикийн хэл шинжлэлд шилжиж, дараа нь тоглоомын онолын ээлж ирэв. Тэрээр мөн хот, суурин газруудын тархалтад цар хүрээ нь цэгцтэй байгааг зааж эдийн засгийн талаархи өөрийн хандлагыг санал болгосон. Английн эрдэмтэн Льюис Ричардсоны зохиолчийг нас барсны дараа хэвлүүлээд олонд танигдаагүй бүтээлийг судлахдаа Манделброт далайн эргийн үзэгдэлтэй тулгарчээ. "Их Британийн эргийн шугам хэр удаан вэ?" Нийтлэлд тэр өмнө нь цөөхөн хэдэн хүний \u200b\u200bбодож байсан энэ асуултыг нарийвчлан судалж, гэнэтийн дүгнэлтэд хүрэв: эргийн шугамын урт нь ... хязгааргүй юм! Та үүнийг илүү нарийвчлалтай хэмжихийг хичээвэл түүний үнэ цэнэ илүү их байх болно!

Ийм үзэгдлийг дүрслэхийн тулд Манделброт хэмжээсийн санаанаас эхлэх санаа төржээ. Объектын фрактал хэмжээ нь түүний нэг шинж чанар, тухайлбал орон зайг дүүргэх тоон шинж чанар болдог.

Фрактал хэмжээсийн тухай ойлголтын тодорхойлолт нь 1919 онд хэвлэгдсэн Феликс Хаусдорфын бүтээлээс эхтэй бөгөөд эцэст нь Абрам Самойлович Бесичович боловсруулсан болно. Фрактал хэмжигдэхүүн нь фрактал объектын нарийвчлал, хугарал, тэгш бус байдлын хэмжүүр юм. Евклидийн орон зайд топологийн хэмжээсийг үргэлж бүхэл тоогоор тодорхойлдог (цэгийн хэмжээ 0, шулуун 1, хавтгай 2, эзэлхүүний бие 3). Жишээлбэл, шугаман хэсгүүдээс бүрдэх, өөрөөр хэлбэл 1-р хэмжээтэй байх шиг Браунийн бөөмийн хөдөлгөөний хавтгай дээрх проекцийг ул мөрөөр нь бараг бүх хавтгайг дүүргэх болно. Гэхдээ хавтгайны хэмжээ нь 2. Эдгээр утгуудын зөрүү нь энэхүү "муруй" -г фракталуудтай холбож, түүний завсрын (бутархай) хэмжээсийг фрактал гэж нэрлэх эрхийг бидэнд олгодог. Хэрэв эзэлхүүн дэх бөөмийн эмх замбараагүй хөдөлгөөнийг авч үзвэл траекторийн фрактал хэмжээ нь 2-оос их боловч 3-аас бага байх болно.Жишээлбэл хүний \u200b\u200bартериуд фрактал хэмжигдэхүүнтэй ойролцоогоор 2.7 байна. Жирийн Евклидийн ойлголтын хүрээнд тайлбарлах боломжгүй цахиурын гельний нүхний талбайг хэмжих талаар өгүүллийн эхэнд дурдсан Ивановын үр дүн нь фракталын онолыг ашиглахдаа үндэслэлтэй тайлбарыг олжээ.

Математикийн үүднээс фрактал гэдэг нь Hausdorff - Besicovitch-ийн хэмжээс нь топологийн хэмжээсээс илүү их бөгөөд бутархай (ихэвчлэн ихэнхдээ) байж болох олонлог юм.

Объектын фрактал хэмжээ нь түүний хэлбэрийг тодорхойлдоггүй бөгөөд ижил хэмжээтэй боловч үүсэх механизмын өөр өөр механизмаар үүсдэг объектууд ихэвчлэн өөр хоорондоо огт өөр байдаг гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Физик фракталууд нь статистикийн хувьд хоорондоо адил төстэй байдаг.

Бутархай хэмжилт нь объектын тэгш бус байдал, тасалдалт, тэгш бус байдал, тогтворгүй байдлын зэргийг өөр аргаар тодорхой тодорхойлох боломжгүй шинж чанаруудыг тооцоолох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, эргэлтэт эрэг нь хэмжээлшгүй урт ч гэсэн зөвхөн түүнд хамааралтай тэгш бус байдалтай байдаг. Манделброт хүрээлэн буй бодит байдал дахь объектын фракцын хэмжилтийг тооцоолох арга замыг зааж өгөв. Тэрээр геометрээ бүтээхдээ байгальд тохиолддог эмх замбараагүй хэлбэрийн тухай хууль гаргасан. Хуульд: тогтворгүй байдлын зэрэг нь янз бүрийн түвшинд тогтмол байдаг.

Онцгой төрлийн фракталууд цаг хугацааны фракталууд... 1962 онд Манделброт компьютерын модемд асуудал үүсгэдэг утасны шугаман дахь дуу чимээг арилгах ажилтай тулгарч байв. Сигнал дамжуулах чанар нь алдааны магадлалаас хамаарна. Инженерүүд дуу чимээг бууруулах талаар таавар, үнэтэй заль мэхтэй тэмцэж байсан боловч гайхалтай үр дүнд хүрч чадаагүй байна. Олонлогийн онолыг үндэслэгч Георг Канторын бүтээл дээр үндэслэн Мандельброт дуу чимээ гарахаас эмх замбараагүй байдал үүсэхээс зайлсхийх боломжгүй гэдгийг харуулсан тул тэдэнтэй харьцах санал болгож буй аргууд үр дүнд хүргэхгүй. Дуу чимээ гарах тогтмол байдлыг эрэлхийлэхдээ тэрээр "Канторын тоос" -ыг хүлээн авдаг бөгөөд энэ нь үйл явдлын фрактал дараалал юм. Галактик дахь оддын тархалт ижил хуулиудыг дагаж мөрддөг нь сонирхолтой юм.

"Бодис" нь санаачлагчийн дагуу жигд тархсан (цаг хугацааны тэнхлэгийн нэгж хэсэг) нь төвөөс зугатах эргүүлэгт өртөж, интервалын гуравны гурав хүртэл "шүүрддэг" ... Харуулууд эцэст нь бодис өтгөрөхөд хүргэдэг тогтворгүй төлөв байдлын аливаа каскадыг нэрлэж болох бөгөөд энэ нэр томъёо гэрийн бяслаг бие махбодийн тодорхой шинж чанар нь маш их төвлөрч буй эзлэхүүнийг тодорхойлж чаддаг.

Агаар мандлын үймээн самуун, царцдасын шилжилт хөдөлгөөн гэх мэт эмх замбараагүй үзэгдлүүд өөр өөр цаг хугацааны хэмжүүр дээр ижил төстэй зан авирыг харуулдаг, яг л масштабаар өөрчлөгдөхгүй объектууд өөр өөр орон зайн хэмжигдэхүүн дээр ижил төстэй бүтцийн хэв маягийг харуулдаг.

Жишээ болгон бид фрактал бүтцийн тухай ойлголтыг ашиглах нь зүйтэй хэд хэдэн ердийн нөхцөл байдлыг өгөх болно. Колумбийн их сургуулийн профессор Кристофер Шольц дэлхийн хатуу бодисын хэлбэр, бүтцийг судлах чиглэлээр мэргэшсэн тэрээр газар хөдлөлтийг судалж байжээ. 1978 онд тэрээр Манделбротын "Fractals: Form, Randomness and Dimension" номыг уншсан » мөн онолыг геофизикийн объектуудын тодорхойлолт, ангилал, хэмжилтэд ашиглахыг хичээв. Шхолз фрактал геометр нь шинжлэх ухаанд дэлхийн толгодын өвөрмөц ландшафтыг дүрслэн харуулах үр дүнтэй аргыг өгдөг болохыг тогтоожээ. Гаригийн ландшафтын фрактал хэмжилт нь түүний хамгийн чухал шинж чанарыг ойлгох үүд хаалгыг нээж өгдөг. Металлургууд өөр өөр хэмжээс дээр ижил зүйлийг олсон бөгөөд янз бүрийн төрлийн гангийн гадаргуу дээр хэрэглэнэ. Ялангуяа металлын гадаргууг фракталаар хэмжих нь түүний хүч чадлыг үнэлэх боломжийг ихэвчлэн олгодог. Маш олон тооны фрактал объектууд нь талсжих үзэгдэл үүсгэдэг. Кристал ургах үед үүсдэг хамгийн түгээмэл фракталууд нь байгальд маш өргөн тархсан дендритүүд юм. Нано бөөмийн чуулга нь Леви тоосыг хэрэгжүүлж байгааг байнга харуулдаг. Эдгээр чуулга нь шингээгч уусгагчтай хослуулан тунгалаг нягтралыг бүрдүүлдэг - Леви шил, фотоникийн чухал ач холбогдолтой материал юм.

Фракталууд нь геометрийн анхан шатны хэлбэрээр бус харин алгоритмууд, математикийн процедурын багц хэлбэрээр илэрхийлэгддэг тул хүчирхэг компьютерууд бий болж, хөгжиж байгаатай зэрэгцэн математикийн энэ чиглэл үсрэнгүй хөгжиж эхэлсэн нь тодорхой юм. Хаос нь эргээд янз бүрийн эмх замбараагүй байдлаас үүссэн гайхалтай нарийн төвөгтэй гайхалтай бүтцийг үржүүлэх чадвартай графикийн тусгай техник технологийг бий болгосон. Интернет, хувийн компьютерын эрин үед Мандельбротын үед ийм хэцүү байсан нь хүн бүхэнд амархан хүрч чаддаг болжээ. Гэхдээ түүний онолын хамгийн чухал зүйл бол мэдээжийн хэрэг үзэсгэлэнтэй зураг бүтээх бус харин энэ математикийн аппарат нь урьд өмнө шинжлэх ухаанд огт тооцоогүй байсан байгалийн нарийн төвөгтэй үзэгдэл, үйл явцыг дүрслэхэд тохиромжтой гэсэн дүгнэлт байв. Алгоритмын элементүүдийн урын сан нь шавхагдашгүй юм.

Фракталын хэлийг эзэмшсэний дараа та архитектор барилга байгууламжийг уламжлалт геометрийн хэлийг ашигладаг зураг төслийг ашиглан дүрсэлсэн шиг үүлний хэлбэрийг тодорхой бөгөөд энгийн байдлаар дүрсэлж болно.<...> Бенуа Манделброт: "Байгалийн геометр нь фрактал юм!" Гэж хэлснээс хойш хэдхэн арван жил өнгөрчээ. Өнөөдөр бид илүү их зүйлийг таамаглаж болно, тухайлбал, фрактив байдал нь байгалийн бүх объектыг үл хамаарахгүйгээр барьж байгуулах үндсэн зарчим юм.

Эцэст нь хэлэхэд энэхүү дүгнэлтийг харуулсан гэрэл зургийн багцыг болон ашигласан фракталуудыг толилуулъя компьютерийн программ Fractal Explorer... Бидний дараагийн нийтлэл бол талст физикт фрактал ашиглах асуудалд зориулагдана.

Бичлэгийн бичлэг

1994-2013 онуудад Оросын эрдэмтдийн "Байгалийн антропоген ба нийгмийн үйл явцын түр зуурын хэлбэлзлийн атлас" хэмээх өвөрмөц бүтээлийг таван боть болгон хэвлүүлжээ.Энэ нь сансар огторгуй, биосфер, литосфер, агаар мандал, гидросфер, нийгмийн мониторингийн мэдээллийг багтаасан хосгүй материал юм. хүний \u200b\u200bэрүүл мэнд, амьдралын чанартай холбоотой хүрээ, хүрээ. Текст нь өгөгдлийн нарийвчилсан мэдээлэл, тэдгээрийн боловсруулалтын үр дүнг цаг хугацааны цуврал динамик шинж чанар, тэдгээрийн хэсгүүдийг харьцуулсан болно. Үр дүнгийн нэгдсэн танилцуулга нь үйл явцын динамикийн нийтлэг ба хувь хүний \u200b\u200bонцлог шинж чанар, тэдгээрийн хоорондын шалтгаан ба үр дүнгийн хамаарлыг тодорхойлоход харьцуулж болох үр дүнг олж авах боломжийг олгодог. Туршилтын материалаас үзэхэд өөр өөр талбар дахь үйл явцууд нэгдүгээрт ижил төстэй, хоёрдугаарт их бага хэмжээгээр хоорондоо холбоотой болохыг харуулсан болно.

Тиймээс атлас нь салбар дундын судалгааны үр дүнг нэгтгэн, цаг хугацаа, орон зайн хувьд огт өөр өгөгдөлд харьцуулсан дүн шинжилгээ хийв. Энэ номонд "дэлхийн бөмбөрцөгт болж буй үйл явцууд нь харилцан адилгүй харилцан үйлчлэлцэх олон хүчин зүйлээс шалтгаалан өөр өөр газар нутагт (мөн өөр өөр цаг үед) янз бүрийн хариу урвал үүсгэдэг" болохыг харуулсан бөгөөд энэ нь "геодинамик, сансар судлал, нийгэм, эдийн засаг, анагаах ухааны ажиглалтын нэгдсэн арга барилын хэрэгцээний талаар өгүүлдэг. ". Эдгээр суурь ажлууд цаашид үргэлжлэх болно гэдэгт найдаж байгаагаа илэрхийлэх хэвээр байна.

. Юргенс Х., Пейтген Х.О., Саупе Д. Фракталын хэл // Шинжлэх ухааны ертөнцөд. 1990. № 10. P. 36–44.
. Байгалийн антропоген ба нийгмийн үйл явцын түр зуурын хэлбэлзлийн атлас. 1-р боть: Литосфер ба бусад салбар дахь эмх замбараагүй байдал, эмх замбараагүй байдал. М., 1994; T. 2: Байгаль ба нийгэм дэх мөчлөгийн динамик. М., 1998; 3-р боть: Байгалийн ба нийгмийн хүрээг хүрээлэн буй орчны хэсэг, нөлөөллийн объект болгон ашиглана. М., 2002; Т.4: Хүн ба түүний эргэн тойрон дахь гурван орчин. M., 2009. T. 5: Хүн ба түүний эргэн тойрон дахь гурван орчин. М., 2013 он.

Фракталууд бараг зуун жилийн турш танигдсан, сайн судлагдсан, амьдралд олон хэрэглээтэй байдаг. Энэ үзэгдэл нь маш энгийн санаан дээр тулгуурладаг: хязгааргүй олон хэлбэр, гоо үзэсгэлэн, олон янзын хувьд харьцангуй энгийн байгууламжуудаас зөвхөн хоёр үйлдлийг ашиглан хуулж авах, масштабаар авах боломжтой.

Энэ ойлголт нь хатуу тодорхойлолттой байдаггүй. Тиймээс "фрактал" гэдэг үг нь математикийн нэр томъёо биш юм. Энэ нь ихэвчлэн дараахь шинж чанаруудын аль нэгийг эсвэл хэдийг нь хангасан геометрийн хэлбэрийн нэр томъёо юм.

• ямар ч томруулалтын нарийн төвөгтэй бүтэцтэй;
• өөрөө ойролцоо байна (ойролцоогоор);
• бутархай Hausdorff (фрактал) хэмжээстэй бөгөөд энэ нь илүү топологи юм;
• рекурсив журмаар барьж болно.

19-20-р зууны зааг дээр фракталын судалгаа нь системчилсэн гэхээсээ илүү эпизодик шинжтэй байсан, учир нь өмнөх математикчид ерөнхий арга, онолыг ашиглан судалгаа хийх боломжтой "сайн" объектуудыг голчлон судалдаг байв. 1872 онд Германы математикч Карл Вейерштрасс хаана ч ялгагдахааргүй тасралтгүй функцын жишээг байгуулжээ. Гэсэн хэдий ч түүний барилга нь бүрэн хийсвэр бөгөөд ойлгоход хэцүү байв. Тиймээс 1904 онд Швед Хельге фон Кох хаана ч шүргэх шинжгүй тасралтгүй муруй гаргаж ирсэн бөгөөд үүнийг зурах нь маш энгийн юм. Энэ нь фрактал шинж чанартай байдаг. Энэ муруйн хувилбаруудын нэгийг "Кох цасан ширхэг" гэж нэрлэдэг.

Өөр хоорондоо ижил төстэй дүрүүдийн санааг Бенуа Мандельбротын ирээдүйн зөвлөгч Францын иргэн Паул Пьер Леви олж авсан. 1938 онд түүний "Бүхэлдээ төстэй хэсгүүдээс бүрдэх онгоц ба орон зайн муруй ба гадаргуугууд" нийтлэл хэвлэгдэж, өөр нэг фрактал - Леви С муруйг дүрслэв. Дээрх бүх фракталууд нь нэг классик (геометрийн) фракталуудтай нөхцөлт байдлаар хамааралтай байж болно.

Өөр нэг анги бол Mandelbrot багцыг багтаасан динамик (алгебрийн) фракталууд юм. Энэ чиглэлийн анхны судалгаа нь 20-р зууны эхэн үеэс эхэлсэн бөгөөд Францын математикч Гастон Жулиа, Пьер Фату нарын нэртэй холбоотой байв. 1918 онд Жулиягийн нарийн төвөгтэй оновчтой функцуудын давталтад зориулагдсан бараг хоёр зуун хуудас бүтээл хэвлэгдэн гарч, Жулиагийн багцыг дүрсэлсэн бөгөөд энэ нь Мандельбротын багцтай нягт холбоотой фракталуудын бүхэл бүтэн гэр бүл байв. Энэхүү бүтээлийг Францын академийн шагналаар шагнасан боловч нэг ч зураг чимэглэл агуулаагүй тул нээсэн объектын гоо үзэсгэлэнг үнэлэх боломжгүй байв. Хэдийгээр энэ ажил нь Жулияг тухайн үеийн математикчдын дунд алдаршуулж байсан ч энэ нь хурдан мартагдсан байв.

Жулиа, Фату нарын бүтээлүүдэд анхаарал хандуулах нь хагас зууны дараа, компьютерууд гарч ирэхэд дахин эргэж ирэв: тэд л фрактал ертөнцийн баялаг, гоо үзэсгэлэнг ил тод харагдуулсан хүмүүс юм. Эцсийн эцэст Фатуу бидний мэдэх болсон зургийг Mandelbrot багцын дүрс гэж хэзээ ч харж чадахгүй, учир нь шаардлагатай хэмжээний тооцооллыг гараар хийх боломжгүй юм. Үүний тулд компьютерийг хамгийн түрүүнд Бенуа Манделброт ашиглаж байжээ.

1982 онд Мандельбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдэн гарсан бөгөөд зохиогч тухайн үед байдаг фракталуудын бараг бүх мэдээллийг цуглуулж, системчилсэн бөгөөд хялбар, хүртээмжтэй байдлаар танилцуулсан болно. Манделброт танилцуулгадаа хүндийн томъёолол, математик хийц дээр бус уншигчдын геометрийн зөн совин дээр гол анхаарлаа хандуулав. Зохиолч нь монографийн шинжлэх ухааны бүрэлдэхүүн хэсгийг чадварлаг шингээсэн компьютерээр чимэглэсэн чимэглэл, түүхэн үлгэрийн ачаар ном нь бестселлер болж, фракталууд олон нийтэд танигдсан юм. Математикч бус хүмүүсийн дунд амжилтанд хүрсэн нь дунд сургуулийн сурагчийн ойлгож чаддаг маш энгийн хийц, томъёоны тусламжтайгаар гайхалтай нарийн төвөгтэй байдал, гоо үзэсгэлэнтэй дүрсийг олж авдагтай холбоотой юм. Персонал компьютерууд хангалттай хүчирхэг болоход урлагийн бүх чиг хандлага хүртэл бий болсон - фрактал зураг, бараг бүх компьютер эзэмшигчид үүнийг хийж чаддаг байсан. Одоо Интернет дээр та энэ сэдэвт зориулсан олон сайтыг амархан олох боломжтой.