Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися в кінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Слово фрактал утворене від латинського fractus і в перекладі означає що складається з фрагментів. Воно було запропоновано Бенуа Мандельброт в 1975 році для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом в 1977 році книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". У його роботах використані наукові результати інших вчених, які працювали в період 1875-1925 років в тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф ). Але тільки в наш час вдалося об'єднати їх роботи в єдину систему.
Роль фракталів в машинній графіці сьогодні досить велика. Вони приходять на допомогу, наприклад, коли потрібно, за допомогою декількох коефіцієнтів, задати лінії і поверхні дуже складної форми. З точки зору машинної графіки, фрактальна геометрія незамінна при генерації штучних хмар, гір, поверхні моря. Фактично знайдений спосіб легкого представлення складних неевклідових об'єктів, образи яких дуже схожі на природні.
Одним з основних властивостей фракталів є самоподібність. У найпростішому випадку невелика частина фрактала містить інформацію про всіх фрактале. Визначення фрактала, дане Мандельброт, звучить так: "фракталів називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілому".

Існує велика кількість математичних об'єктів званих фракталами (трикутник Серпінського, сніжинка Коха, крива Пеано, безліч Мандельброта і лоренцевих атрактори). Фрактали з великою точністю описують багато фізичних явищ і освіти реального світу: гори, хмари, турбулентні (вихрові) течії, коріння, гілки та листя дерев, кровоносні судини, що далеко не відповідає простим геометричним фігурам. Вперше про фрактальної природі нашого світу заговорив Бенуа Мандельброт у своїй основній роботі "Фрактальна геометрія природи".
Термін фрактал введений Бенуа Мандельброт в 1977 році в його фундаментальній праці "Фрактали, Форма, Хаос і Розмірність". Згідно Мандельброту, слово фрактал походить від латинських слів fractus - дробовий і frangere - ламати, що відображає суть фрактала, як "зламаного", нерегулярного безлічі.

Класифікація фракталів.

Для того, щоб уявити все різноманіття фракталів зручно вдатися до їх загальноприйнятої класифікації. Існує три класи фракталів.

1. Геометричні фрактали.

Фрактали цього класу самі наочні. У двомірному випадку їх отримують за допомогою ламаної (або поверхні в тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор у відповідному масштабі. В результаті нескінченного повторення цієї процедури виходить геометричний фрактал.

Розглянемо на прикладі один з таких фрактальних об'єктів - триадную криву Коха.

Побудова триадной кривої Коха.

Візьмемо прямолінійний відрізок довжини 1. Назвемо його затравкой. Розіб'ємо приманку на три рівні частини довжиною в 1/3, відкинемо середню частину і замінимо її ламаної з двох ланок довжиною 1/3.

Ми отримаємо ламану, що складається з 4 ланок із загальною довжиною 4/3, - так називаємо перше покоління.

Для того щоб перейти до наступного покоління кривої Коха, треба у кожної ланки відкинути і замінити середню частину. Відповідно довжина другого покоління буде 16/9, третього - 64/27. якщо продовжити цей процес до нескінченності, то в результаті вийде тріадних крива Коха.

Розглянемо тепер св-ва триадной кривої Коха і з'ясуємо, чому ж фрактали називали «монстрами».

По-перше, ця крива не має довжини - як ми переконалися, з числом поколінь її довжина прагне до нескінченності.

По-друге, до цієї кривої неможливо побудувати дотичну - кожна її точка є точкою перегину, в якій похідна не існує, - ця крива не гладко.

Довжина і гладкість - фундаментальні св-ва кривих, які вивчаються як евклідової геометрією, так і геометрією Лобачевського, Рімана. До триадной кривої Коха традиційні методи геометричного аналізу виявилися незастосовні, тому крива Коха виявилася чудовиськом - «монстром» серед гладких мешканців традиційних геометрій.

Побудова "дракона" Хартера-Хейтуея.

Для отримання іншого фрактального об'єкта потрібно змінити правила побудови. Нехай утворюючим елементом будуть два рівних відрізка, з'єднаних під прямим кутом. У нульовому поколінні замінимо одиничний інтервал на цей утворює елемент так, щоб кут був зверху. Можна сказати, що при такій заміні відбувається зміщення середини ланки. При побудові наступних поколінь виконується правило: найперше зліва ланка замінюється на який утворює елемент так, щоб середина ланки зміщалася вліво від напрямку руху, а при заміні таких ланок, напрямки зміщення центрів відрізків повинні чергуватися. На малюнку представлені кілька перших поколінь і 11-е покоління кривої, побудованої по вищеописаному принципом. Крива, при n прагне до нескінченності, називається драконом Хартера-Хейтуея.
У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідно при отриманні зображень дерев, кущів. Двомірні геометричні фрактали використовуються для створення об'ємних текстур (малюнка на поверхні об'єкта).

2.Алгебраіческіе фрактали

Це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, сталий процес, аттрактор і т.д.
Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому опинилася динамічна система після деякого числа ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожне стійкий стан (або як кажуть - аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить в розглянуті кінцеві стану. Таким чином фазовий простір системи розбивається на області тяжіння аттракторов. Якщо фазовим є двомірний простір, то фарбуючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури.

Безліч Мандельброта.

Як приклад розглянемо безліч Мандельброта. Алгоритм його побудови досить простий і заснований на простому итеративном вираженні: Z \u003d Z [i] * Z [i] + C, де Zi і C - комплексні змінні. Ітерації виконуються для кожної стартової точки з квадратної або прямокутної області - підмножині комплексній площині. Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки Z [i] не вийде за межі кола радіуса 2, центр якої лежить в точці (0,0), (це означає, що аттрактор динамічної системи знаходиться в нескінченності), або після досить великої кількості ітерацій (наприклад 200-500) Z [i] зійдеться до якої-небудь точці кола. Залежно від кількості ітерацій, в перебігу яких Z [i] залишалася всередині кола, можна встановити колір точки C (якщо Z [i] залишається в колі протягом досить великої кількості ітерацій, ітераційний процес припиняється і ця точка растра забарвлюється в чорний колір).

3.Стохастіческіе фрактали

Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять в тому випадку, якщо в ітераційне процесі хаотично змінювати будь-які його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні - несиметричні дерева, порізані берегові лінії і т.д. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості і поверхні моря.
Існують і інші класифікації фракталів, наприклад розподіл фракталів на детерміновані (алгебраїчні і геометричні) і недетерміновані (стохастичні).

Про застосування фракталів

Перш за все, фрактали - область дивного математичного мистецтва, коли за допомогою найпростіших формул і алгоритмів виходять картини надзвичайної краси і складності! У контурах побудованих зображень нерідко вгадуються листя, дерева і квіти.

Одні з найбільш потужних додатків фракталів лежать в комп'ютерній графіці. По-перше, це фрактальное стиснення зображень, і по-друге побудова ландшафтів, дерев, рослин і генерування фрактальних текстур. Сучасна фізика і механіка тільки-тільки починають вивчати поведінку фрактальних об'єктів. І, звичайно ж, фрактали застосовуються безпосередньо в самій математиці.
Переваги алгоритмів фрактального стиснення зображень - дуже маленький розмір упакованого файлу і малий час відновлення картинки. Фрактально упаковані картинки можна масштабувати без появи пикселизации. Але процес стиснення займає тривалий час і іноді триває годинами. Алгоритм фрактальної упаковки з втратою якості дозволяє задати ступінь стиснення, аналогічно формату jpeg. В основі алгоритму лежить пошук великих шматків зображення подібних деяким маленьким шматочках. І у вихідний файл записується тільки якийсь шматочок якогось подібний. При стисненні зазвичай використовують квадратну сітку (шматочки - квадрати), що призводить до невеликої незграбності при відновленні картинки, шестикутна сітка позбавлена \u200b\u200bтакого недоліку.
Компанією Iterated розроблений новий формат зображень "Sting", що поєднує в собі фрактальное і «хвильовий» (таке як в форматі jpeg) стиснення без втрат. Новий формат дозволяє створювати зображення з можливістю подальшого високоякісного масштабування, причому обсяг графічних файлів складає 15-20% від обсягу незжатих зображень.
Схильність фракталів походити на гори, квіти і дерева експлуатується деякими графічними редакторами, наприклад фрактальні хмари з 3D studio MAX, фрактальні гори в World Builder. Фрактальні дерева, гори і цілі пейзажі задаються простими формулами, легко програмуються і не розпадаються на окремі трикутники і кубики при наближенні.
Не можна обійти стороною і застосування фракталів в самій математиці. В теорії множин безліч Кантора доводить існування скоєних ніде не щільних множин, в теорії міри самоаффінная функція "Канторова сходи" є хорошим прикладом функції розподілу сингулярной заходи.
У механіці і фізиці фрактали використовуються завдяки унікальній властивості повторювати обриси багатьох об'єктів природи. Фрактали дозволяють наближати дерева, гірські поверхні і тріщини з більш високою точністю, ніж наближення наборами відрізків або багатокутників (при тому ж обсязі збережених даних). Фрактальні моделі, як і природні об'єкти, мають "шорсткістю", і властивість це зберігається при як завгодно великому збільшенні моделі. Наявність на фрактали рівномірної заходи, дозволяє застосовувати інтегрування, теорію потенціалу, використовувати їх замість стандартних об'єктів в уже досліджених рівняннях.
При фрактальному підході хаос перестає бути синім безладу і знаходить тонку структуру. Фрактальна наука ще дуже молода, і їй належить велике майбутнє. Краса фракталів далеко не вичерпана і ще подарує нам чимало шедеврів - тих, які тішать око, і тих, які доставляють справжню насолоду розуму.

Про побудову фракталів

Метод послідовних наближень

Дивлячись на цю картинку, неважко зрозуміти, як можна побудувати самоподібний фрактал (в даному випадку піраміду Серпінського). Потрібно взяти звичайну піраміду (тетраедр), потім вирізати її середину (октаедр), в результаті чого у нас виходить чотири маленьких пірамідки. З кожною з них ми проробляємо ту ж саму операцію і т.д. Це кілька наївне, але наочне пояснення.

Розглянемо суть методу більш строго. Нехай є деяка IFS-система, тобто система стискають відображень S\u003d (S 1, ..., S m) S i: R n -\u003e R n (наприклад, для нашої пірамідки відображення мають вигляд S i (x) \u003d 1/2 * x + oi, де oi - вершини тетраедра, i \u003d 1, .., 4). Потім вибираємо деякий компактне безліч A 1 в R n (в нашому випадку вибираємо тетраедр). І визначаємо по індукції послідовність множин A k: A k + 1 \u003d S 1 (A k) U ... U S m (A k). Відомо, що безлічі A k з ростом k, все краще наближають шуканий аттрактор системи S.

Зауважимо, що кожна з цих ітерацій є аттрактором рекуррентной системи ітерованих функцій (Англійський термін Digraph IFS, RIFS і також Graph-directed IFS) І тому їх легко побудувати за допомогою нашої програми.

Побудова по точках або імовірнісний метод

Це найбільш легкий для реалізації на комп'ютері метод. Для простоти розглянемо випадок плоского самоаффінного безлічі. Отже, нехай (S

) - деяка система афінних стиснень. відображення S

представимо у вигляді: S

Фіксована матриця розміру 2x2 і o

Двовимірний вектор стовпець.

• Візьмемо нерухому точку першого відображення S 1 в якості початкової точки:
  x: \u003d o1;
  Тут ми користуємося тим, що всі нерухомі точки стиснень S 1, .., S m належать фракталу. В якості початкової точки можна вибрати довільну точку і породжена нею послідовність точок стягнеться до фракталу, але тоді на екрані з'являться кілька зайвих точок.
• Відзначимо поточну точку x \u003d (x 1, x 2) на екрані:
  putpixel (x 1, x 2, 15);
• Виберемо випадковим чином число j від 1 до m і перерахуємо координати точки x:
  j: \u003d Random (m) +1;
  x: \u003d S j (x);
• Переходимо на крок 2, або, якщо зробили досить велика кількість ітерацій, то зупиняємося.

Примітка. Якщо коефіцієнти стиснення відображень S i різні, то фрактал буде заповнюватися точками нерівномірно. У разі, якщо відображення S i є подобами, цього можна уникнути невеликим ускладненням алгоритму. Для цього на 3-му кроці алгоритму число j від 1 до m треба вибирати з вірогідністю p 1 \u003d r 1 s, .., pm \u003d rms, де ri позначають коефіцієнти стиснення відображень S i, а число s (зване розмірністю подібності) знаходиться з рівняння r 1 s + ... + rms \u003d 1. Рішення цього рівняння можна знайти, наприклад, методом Ньютона.

Про фракталах і їх алгоритмах

Фрактал походить від латинського прикметника "fractus", і в перекладі означає що складається з фрагментів, а відповідний латинське дієслово "frangere" означає розбивати, тобто створювати неправильні фрагменти. Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися в кінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Термін був запропонований Бенуа Мандельброт в 1975 році для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом в 1977 році книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature» - «Фрактальна геометрія природи». У його роботах використані наукові результати інших вчених, які працювали в період 1875-1925 років в тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф).

корективи

Дозволю собі внести деякі корективи в алгоритми запропоновані в книзі Х.-О. Пайтгена і П.Х.Ріхтера "Краса фракталів" М. тисячі дев'ятсот дев'яносто три суто для викорінення помилок іоблегченія розуміння процесів оскільки після їх вивчення багато що залишилося для мене загадкою. На жаль ці "зрозумілі" і "прості" алгоритми ведуть качующій спосіб життя.

В основі побудови фракталів лежить якась нелінійна функція комплексного процесу зі зворотним зв'язком z \u003d\u003e z 2 + c оскільки z і з -Комплексні числа, то z \u003d x + iy, c \u003d p + iq необхідно розкласти його на х і у щоб перейти в більш реальну для простої людини площину:

x (k + 1) \u003d x (k) 2 -y (k) 2 + p,
y (k + 1) \u003d 2 * x (k) * y (k) + q.

Площина, що складається з усіх пар (x, y), може розглядатися, як при фіксованих значеннях р і q, Так і при динамічних. У першому випадку перебираючи по закону всі крапки (х, у) площини і фарбуючи їх в залежності від кількості повторень функції необхідних для виходу з ітераційного процесу або НЕ фарбуючи (чорний колір) при прівишенія допустимого максимуму повторень ми отримаємо відображення безлічі Жюліа. Якщо, навпаки, визначити начальнуюя пару значень (x, y) і простежити її колористичну долю при динамічно змінюються значеннях параметрів p і q, то отримує зображення, звані множинами Мандельброта.

До питання про алгоритмах розмальовки фракталів.

Зазвичай тіло безлічі представляють у вигляді чорного поля, хоча очевидно, що чорний колір може бути замінений на будь-який інший, але це теж мало цікавий результат. Отримати зображення безлічі розфарбованого в усі кольори - завдання яка не може вирішуватися за допомогою циклічних операцій тому кількість ітерації формують тіло безлічі одно максимально можливого і завжди одне і теж. Розфарбувати безліч в різні кольори можливо застосувавши в якості номера кольору результат перевірки умови виходу з циклу (z_magnitude) або подібний до нього, але з іншими математичними діями.

Застосування "фрактального мікроскопа"

для демонстрації прикордонних явищ.

Аттрактори - центри які ведуть боротьбу за домінування на площині. Між аттракторами виникає межа представляє вітееватой візерунок. Збільшуючи масштаб розгляду в межах кордонів безлічі можна отримувати нетривіальні візерунки отражаюшіе стан детермінованого хаосу - звичайного явища в світі природи.

Досліджувані географами об'єкти утворюють систему з дуже складно організованими межами, в зв'язку з чим їх проведення стає не простий практичним завданням. Природні комплекси мають ядра типовості виступають в якості атракторів втрачають силу впливу на територію в міру її видалення.

Використовуючи фрактальний мікроскоп для множин Мандельброта і Жюліа можна сформувати уявлення про прикордонні процеси та явища, однаково складних незалежно від масштабу розгляду і таким чином підготувати сприйняття фахівця до зустрічі з динамічним і на перший погляд хаотичним в просторі і часі природним об'єктом, до розуміння фрактальної геометрії природи. Багатобарвність фарб і фрактальна музика виразно залишать глибокий слід у свідомості учнів.

Фракталам присвячені тисячі публікацій і величезні ресурси інтернет, проте для багатьох фахівців далеких від інформатики цей термін видається абсолютно новим. Фрактали, як об'єкти представляють інтерес для фахівців різних галузей знання, повинні отримати належне місце в курсі інформатики.

приклади

РЕШІТКА Серпінського

Це один з фракталів, з якими експериментував Мандельброт, коли розробляв концепції фрактальних розмірностей і ітерацій. Трикутники, сформовані з'єднанням середніх точок більшого трикутника вирізані з головного трикутника, утворюючи трикутник, з великою кількістю дірочок. У цьому випадку ініціатор - великий трикутник а шаблон - операція вирізання трикутників, подібних більшого. Так само можна отримати і тривимірну версію трикутника, використовуючи звичайний тетраедр і вирізаючи маленькі тетраедри. Розмірність такого фрактала ln3 / ln2 \u003d 1.584962501. Щоб отримати килим Серпінського, Візьмемо квадрат, розділимо його на дев'ять квадратів, а середній виріжемо. Те ж зробимо і з іншими, меншими квадратами. Зрештою утворюється плоска фрактальная сітка, яка не має площі, але з нескінченними зв'язками. У своїй просторової формі, губка Серпінського перетворюється в систему наскрізних форм, в якій кожен наскрізний елемент постійно замінюється собі подібним. Ця структура дуже схожа на розріз кісткової тканини. Коли-небудь такі повторювані структури стануть елементом будівельних конструкцій. Їх статика і динаміка, вважає Мандельброт, заслуговує пильної вивчення.

Крива КОХА

Крива Коха один з найтиповіших детермінованих фракталів. Вона була винайдена в дев'ятнадцятому столітті німецьким математиком на ім'я Хельге фон Кох, який, вивчаючи роботи Георга Контора і Карла Вейєрштрасса, натрапив на опису деяких дивних кривих з незвичайною поведінкою. Ініціатор - пряма лінія. Генератор - рівносторонній трикутник, сторони якого рівні третини довжини більшого відрізку. Ці трикутники додаються до середини кожного сегмента знову і знову. У своєму дослідженні, Мандельброт багато експериментував з кривими Коха, і отримав фігури такі як Острови Коха, Хрести Коха, Сніжинки Коха і навіть тривимірні уявлення кривої Коха, використовуючи тетраедр і додаючи менші за розмірами тетраєдри до кожної його грані. Крива Коха має розмірність ln4 / ln3 \u003d 1.261859507.

фрактал Мандельброта

Це НЕ безліч Мандельброта, яке можна досить часто бачити. Безліч Мандельброта засноване на нелінійних рівняннях і є комплексним фракталом. Це теж варіант кривої Коха незважаючи на те, що цей об'єкт не схожий на неї. Ініціатор і генератор так само відмінні від використаних для створення фракталів, заснованих на принципі кривої Коха, але ідея залишається тією ж. Замість того, щоб приєднувати равносторонние трикутники до відрізка кривої, квадрати приєднуються до квадрату. Завдяки тому, що цей фрактал займає точно половину відведеного простору при кожній ітерації, він має просту фрактальную розмірність 3/2 \u003d 1.5.

п'ятикутник ДАРЕРА

Фрактал виглядає як зв'язка п'ятикутників, стислих разом. Фактично він утворений при використанні п'ятикутника в якості ініціатора і рівнобедрених трикутників, ставлення більшої сторони до меншої в яких точно дорівнює так званої золотої пропорції (1.618033989 або 1 / (2cos72)) в якості генератора. Ці трикутники вирізаються з середини кожного п'ятикутника, в результаті чого виходить фігура, схожа на 5 маленьких п'ятикутників, приклеєних до одного великого. Варіант цього фрактала можна отримати при використанні в якості ініціатора шестикутника. Цей фрактал називається Зірка Давида і він досить схожий на шестикутну версію Сніжинки Коха. Фрактальна розмірність п'ятикутника Дарера ln6 / ln (1 + g), де g - відношення довжини більшої сторони трикутника до довжини меншою. В даному випадку, g - це Золота Пропорція, так що фрактальна розмірність приблизно дорівнює 1.86171596. Фрактальное вимір Зірки Давида ln6 / ln3 або 1.630929754.

складні фрактали

Фактично, якщо ви збільшите маленьку область будь-якого складного фрактала а потім зробите те ж саме з маленької областю цієї області, то ці два збільшення будуть значно відрізнятися один від одного. Два зображення будуть дуже схожі в деталях, але вони не будуть повністю ідентичними.

Рис 1. Наближення безлічі Мандельброта

Порівняйте, наприклад наведені тут картинки безлічі Мандельброта, одна з яких отримана при збільшенні деякої області інший. Як видно, вони абсолютно не є ідентичними, хоча на обох ми бачимо чорне коло, від якого в різні боки йдуть палаючі щупальця. Ці елементи повторюються нескінченно довго в безлічі Мандельброта в зменшується пропорції.

Детерміністські фрактали є лінійними, тоді як складні фрактали такими не є. Будучи нелінійними, ці фрактали генеруються тим, що Мандельброт назвав нелінійними алгебраїчними рівняннями. Хороший приклад - це процес Zn + 1 \u003d ZnІ + C, що є рівнянням, що використовуються для побудови безлічі Мандельброта і Жулії другого ступеня. Вирішення цих математичних рівнянь залучає комплексні і уявні числа. Коли рівняння інтерпретується графічно на комплексній площині, результатом виявляється дивна постать, в якій прямі лінії переходять в криві, з'являються хоча і не без деформацій, ефекти самоподібності на різних масштабних рівнях. При цьому вся картина в цілому є непередбачуваною і дуже хаотичною.

Як можна побачити, дивлячись на картинки, складні фрактали дійсно дуже складні і їх неможливо створити без допомоги комп'ютера. Для отримання барвистих результатів цей комп'ютер повинен володіти потужним математичним співпроцесором і монітором з високою роздільною здатністю. На відміну від детерминистских фракталів, складні фрактали не вирахував за 5-10 ітерацій. Практично кожна точка на екрані комп'ютера як окремий фрактал. Під час математичної обробки, кожна точка розглядається як окремий малюнок. Кожній точці відповідає певне значення. Рівняння вбудовується, стосовно до кожної точки і проводиться, наприклад 1000 ітерацій. Для отримання порівняно неспотвореного зображення за прийнятний для домашніх комп'ютерів проміжок часу, для однієї точки можливо проводити 250 ітерації.

Більшість фракталів, які ми бачимо сьогодні, красиво розфарбовані. Можливо фрактальні зображення отримали таке велике естетичне значення саме завдяки своїм кольоровим схемам. Після того, як рівняння пораховано, комп'ютер аналізує результати. Якщо результати залишаються стабільними, або коливаються навколо певного значення, точка зазвичай приймає чорний колір. Якщо значення на тому чи іншому етапі прагне до нескінченності, точку зафарбовують в інший колір, може бути в синій або червоний. Під час цього процесу, комп'ютер призначає кольору для всіх швидкостей руху.

Зазвичай, швидко рухомі точки зафарбовують в червоний колір, тоді як більш повільні в жовтий і так далі. Темні точки, ймовірно, найстабільніші.

Складні фрактали відрізняються від детерминистских в тому сенсі, що вони нескінченно складні, але, при цьому, можуть бути згенеровані дуже простою формулою. Детерминистским фракталам не потрібні формули або рівняння. Просто візьміть креслярську папір і ви можете побудувати решето Серпінського до 3 або 4 ітерації без будь-яких ускладнень. Спробуйте зробити це з безліччю Жуліа! Легше піти міряти довжину берегової лінії Англії!

множини Мандельброта

Рис 2. Безліч Мандельброта

Безлічі Мандельброта і Жуліа, ймовірно, два найбільш поширених серед складних фракталів. Їх можна знайти в багатьох наукових журналах, обкладинках книг, листівках, і в комп'ютерних хранителів екрану. Безліч Мандельброта, яке було побудовано Бенуа Мандельброт, напевно перша асоціація, яка виникає у людей, коли вони чують слово фрактал. Цей фрактал, що нагадує чесальну машину з прикріпленими до неї палаючими деревоподібними і круглими областями, генерується простою формулою Zn + 1 \u003d Zna + C, де Z і C - комплексні числа і а - позитивне число.

Безліч Мандельброта, яке найчастіше можна побачити - це безліч Мандельброта 2й ступеня, тобто а \u003d 2. Той факт, що безліч Мандельброта не тільки Zn + 1 \u003d ZnІ + C, а фрактал, показник у формулі якого може бути будь-яким позитивним числом ввів в оману багатьох. На цій сторінці ви бачите приклад безлічі Мандельброта для різних значень показника а.
Рис 3. Поява бульбашок при a \u003d 3.5

Також популярний процес Z \u003d Z * tg (Z + C). Завдяки включенню функції тангенса, виходить безліч Мандельброта, оточене областю, що нагадує яблуко. При використанні функції косинуса, виходить ефект повітряних бульбашок. Коротше кажучи, існує нескінченна кількість способів настройки безлічі Мандельброта для отримання різних красивих картинок.

БЕЗЛІЧ Жуліано

Дивно, але безлічі Жуліа утворюються з тієї ж самою формулою, що і безліч Мандельброта. Безліч Жуліа було винайдено французьким математиком Гастоном Жуліа, на ім'я якого і було названо багато. Перше питання, що виникає після візуального знайомства з множинами Мандельброта і Жуліа це "якщо обидва фрактала згенеровані по одній формулі, чому вони такі різні?" Спочатку подивіться на картинки безлічі Жуліа. Досить дивно, але існують різні типи множин Жуліа. При малюванні фрактала з використанням різних початкових точок (щоб почати процес ітерацій), генеруються різні зображення. Це може бути застосовано тільки до безлічі Жуліа.

Рис 4. Безліч Жуліа

Хоча це не можна побачити на зображенні, фрактал Мандельброта - це, насправді, безліч фракталів Жуліа, з'єднаних разом. Кожна точка (або координата) безлічі Мандельброта відповідає фракталу Жуліа. Безлічі Жуліа можна згенерувати використовуючи ці точки в якості початкових значень в рівнянні Z \u003d ZІ + C. Але це не означає, що якщо вибрати точку на фрактале Мандельброта і збільшити її, можна отримати фрактал Жуліа. Ці дві точки ідентичні, але тільки в математичному сенсі. Якщо взяти цю точку і прорахувати її по даній формулі, можна отримати фрактал Жуліа, відповідний певній точці фрактала Мандельброта.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно в ознайомлювальних цілях і може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

автори:
Бекбулатова Аліна,
Гетьманова Софія

керівники:
Могутова Тетяна Михайлівна,
Дерюшкіна Оксана Валеріївна

Вступ.

Теоретична частина проекту:

• Історія розвитку фрактальної геометрії.
• Поняття фрактала.
• Види фракталів:

а) геометричні фрактали, приклади геометричних фракталів;
б) алгебраїчні фрактали, приклади алгебраїчних фракталів;
в) стохастичні фрактали, приклади.

• Природні фрактали.
• Практичне застосування фракталів:
• в літературі;
• в телекомунікації;
• у медицині;
• в архітектурі;
• в дизайні;
• в економіці;
• в іграх, кіно, музиці
• в природничих науках
• у фізиці;
• в біології
• фрактали для домогосподарок
• сучасні картини - фрактальна графіка.
• Фрактальна графіка.
• Роль фрактальної геометрії в житті - гімн фракталам!

Практична частина роботи над проектом

• Створення наукової роботи «Подорож у світ фракталів»
• Розміщення в мережі Інтернет.
• Участь в олімпіадах, конкурсах.
• Створення власних фракталів.
• Створення брошури «Дивовижний світ фракталів»
• Проведення фестивалю «Дивовижний світ фракталів.

Вступ

Геометрію часто називають холодною і сухою. Одна з причин полягає в її нездатності описати все те, що оточує нас: форму хмари, гори, дерева або берега моря. Хмари - це не сфери, гори - НЕ конуси, лінії берега - це не кола, і кора не є гладкою, і блискавка не поширюється по прямій. З величезною для нас радістю ми дізналися, що в сучасному світі існує нова геометрія - геометрія фракталів.

Відкриття фракталів зробило революцію не тільки в геометрії, а й у фізиці, хімії, біології, у всіх сферах нашого життя.

Актуальність проекту:

• Роль фракталів в сучасному світі досить велика
• Переконливих аргументів на користь актуальності вивчення фракталів є широта області їх застосування

Гіпотеза дослідження:

Фрактальна геометрія - сучасна, дуже цікава область людського пізнання. Поява фрактальної геометрії є свідчення триваючої еволюції людини і розширення його способів пізнання світу.

Мета проекту:

Вивчити теорію фракталів для створення наукової роботи «Дивовижний світ фракталів» і розробки і реалізації на комп'ютері алгоритмів малювання фракталів на площині.

Завдання проекту:

• Познайомитися з історією виникнення та розвитку фрактальної геометрії;
• Вивчити види фракталів, їх застосування в сучасному світі.
• Виконати програми створення фракталів на мовах програмування Pascal і Logo
• Створити наукову роботу про фрактали, опублікувати її в мережі Інтернет.
• Створити брошуру «Дивовижний світ фракталів»
• Провести фестиваль «Дивосвіт фракталів» з метою ознайомлення з результатами нашої роботи учнів школи.

Над проектом ми працювали протягом 4 місяців.

Основні етапи нашої роботи:

• Збір необхідної інформації: використання мережі Інтернет, книг, публікацій з даної теми. (2 тижні)
• Сортування інформації за темами: систематизація та визначення порядку написання роботи. Робота зайняла 2 тижні.
• Складання текстової роботи: написання тексту, часткове оформлення систематизованої інформації. Зайняло один місяць.
• Створення презентації: стиснення систематизованих відомостей, визначення структури презентації, її створення та оформлення і проходило протягом місяця.
• Вивчення програми створення фракталів і створення власних фракталів на мовах програмування Pascal і Logo (до сьогоднішнього дня)

Теоретична частина проекту

Ми вивчили історію створення фрактальної геометрії.

Інтерес до фрактальним об'єктів відродився в середині 70-х років 20 століття.

Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом в 1977 році книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". У його роботах використані наукові результати інших вчених, які працювали в період 1875-1925 років в тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф ). Але тільки в наш час вдалося об'єднати їх роботи в єдину систему.

Так що ж таке фрактал?

фрактал - геометрична фігура, складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком.

Невелика частина фрактала містить інформацію про все фрактале.Сьогодні під словом «фрактал» найчастіше прийнято на увазі графічне зображення структури, яке в більшому масштабі подібно собі.

Фрактали діляться на геометричні, геометричні та стохастичні.

Геометричні фрактали по-іншому називають класичними. Вони є найбільш наочними, так як мають так званої жорсткої самоподобна, що не змінюється при зміні масштабу. Це означає, що, незалежно від того, наскільки ви наближаєте фрактал, ви бачите все той же візерунок.

Наведемо найвідоміші приклади геометричних фракталів.

Сніжинка Коха.

Винайдено в 1904 годнемецкім математиком Хельге фон Кохом.

Для її побудови береться одиничний інтервал, ділиться на три рівні частини і середня ланка замінюється рівностороннім трикутником без цієї ланки. На наступному кроці повторюємо операцію для кожного з чотирьох одержані відрізків. В результаті нескінченного повторення даної процедури виходить фрактальная крива.

П'ятикутник Дюрера.

Фрактал виглядає як зв'язка п'ятикутників, стислих разом. Фактично він утворений при використанні п'ятикутника в якості ініціатора і рівнобедрених трикутників, ставлення більшої сторони до меншої в яких точно дорівнює так званої золотої пропорції Ці трикутники вирізаються з середини кожного п'ятикутника, в результаті чого виходить фігура, схожа на 5 маленьких п'ятикутників, приклеєних до одного великому.

Серветка Серпінського.

У 1915 році польський математик Вацлав Серпінського придумав цікавий об'єкт.

Для його побудови береться суцільний рівносторонній трикутник. На першому кроці з центру видаляється перевернутий рівносторонній трикутник. На другому кроці видаляється три перевернутих трикутника з трьох, що залишилися трикутників і т.д.

Крива Дракона.

Винайдено італійським математиком Джузеппе Пеано.

Килим Серпінського.

Береться квадрат, розбивається на дев'ять рівних квадратів, середній з яких викидається, а з рештою повторюється та ж операція до нескінченності.

Другий вид фракталів - алгебраїчні фрактали.

Свою назву вони отримали за те, що їх будують на основі алгебраїчних формул. В результаті математичної обробки цієї формули на екран виводиться точка певного кольору. Результатом виявляється дивна постать, в якій прямі лінії переходять в криві, з'являються ефекти самоподібності на різних масштабних рівнях. Практично кожна точка на екрані комп'ютера як окремий фрактал.

Приклади найвідоміших алгебраїчних фракталів.

безліч Мандельброта.

Безлічі Мандельброта найбільш поширений серед алгебраїчних фракталів. Його можна знайти в багатьох наукових журналах, обкладинках книг, листівках, і в комп'ютерних хранителів екрану. Цей фрактал, що нагадує чесальну машину з прикріпленими до неї палаючими деревоподібними і круглими областями.

безліч Жуліа.

Безліч Жуліа було винайдено французьким математиком Гастоном Жуліа. Не менш відомий алгебраїчний фрактал.

Басейни Ньютона.

Стохастичні фрактали.

Фрактали, при побудові яких в итеративной системі випадковим чином будуть змінені будь-які параметри, називаються стохастичную. Термін "стохастичность" походить від грецького слова, що означає "припущення".

При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні - несиметричні дерева, порізані берегові лінії і т.д. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості і поверхні моря.

Ці фрактали використовуються при моделюванні рельєфів місцевості і поверхні морів, процесу електролізу. Ця група фракталів набула широкого поширення завдяки роботам Майкла Барнслі з технологічного інституту штату Джорджія.
Типовий представник цього класу фракталів "Плазма".

Найбільш зрозумілі для нас так звані природні фрактали.

«Велика книга Природи написана мовою геометрії» (Галілео Галілей).

природні фрактали.

• У живій природі:
• Морські зірки і їжаки
• Квіти і рослини (брокколі, капуста)
• Крони дерев і листя рослин
• Плоди (ананас)
• Кровоносна система і бронхи людей і тварин
• У неживій природі:
• Межі географічних об'єктів (країн, областей, міст)
• Морозні візерунки на шибках
• Сталактити, сталагміти, геліктити.

Майже всі природні утворення: крони дерев, хмари, гори, берегові лінії мають фрактальну структуру.
Що це означає?

Якщо подивитися на фрактальний об'єкт в цілому, потім на його частину в збільшеному масштабі, потім на частину цієї частини, то неважко побачити, що вони виглядають однаково.

Морські фрактали.

Восьминіг - морське придонне тварина з загону головоногих.

Фрактальное будова мають його тіла і присоски на всіх восьми щупальцях цієї тварини.

Ще одні найтиповішим представником фрактального підводного світу є корал.

У природі відомо понад 3500 різновидів коралів.

Зелений фрактал - листя папороті.

Листя папороті мають форму фрактальної фігури - вони самоподобни.

Лук - фрактал, який змушує плакати. Звичайно, фрактал він нехитрий: звичайні кола різного діаметра, можна навіть сказати примітивний фрактал.

Яскравим прикладом фрактала в природі є «Романеско», Вона ж« романська брокколі »або« кольорова коралова капуста ».

Кольорова капуста- типовий фрактал.

Розглянемо будову цвітної капусти.

Якщо розрізати один з квіток, очевидно, що в руках залишається все та ж кольорова капуста, тільки меншого розміру. Можна продовжувати різати знову і знову, навіть під мікроскопом - проте все, що ми отримаємо - це крихітні копії цвітної капусти.

Матрьошка - іграшка-сувенір - типовий фрактал. Принцип фрактальності очевидний, коли все фігурки дерев'яної іграшки збудовані в ряд, а не вкладені одна в одну.

Людина - це фрактал.

Народжується дитина, росте, і цей процес супроводжується принципом «самоподібності», фрактальної.

Широка область застосування фракталів.

Фрактали в літературі

Серед літературних творів є такі, які мають текстуальної, структурної або фрактальної природою. У літературних фракталах нескінченно повторюються елементи тексту:

У попа була собака,
він її любив.
Вона з'їла шматок м'яса,
він її вбив.
В землю закопав,
Напис написав:
У попа була собака ...

«Ось будинок.
Який побудував Джек.
А ось пшениця.

В будинку,
Який побудував Джек
А ось весела птиця-синиця,
Яка спритно краде пшеницю,
Яка в темній комірці зберігається
В будинку,
Який побудував Джек ... » .

Фрактали в телекомунікації.

Для передачі даних на відстані використовуються антени, що мають фрактальні форми, що сильно зменшує їх розміри і вагу.

Фрактали в медицині.

В даний час фрактали знаходять широке застосування в медицині. Сам по собі людський організм складається з безлічі фрактальних структур: кровоносна система, м'язи, бронхи, бронхіальні шляху в легких, артерії.

Теорія фракталів застосуються для аналізу електрокардіограм.

Оцінка величини і ритмів фрактальної розмірності дозволяють на більш ранній стадії і з більшою точністю і інформативністю судити про порушення гомеостазису і розвитку конкретних захворювань серця.

Рентгенівські знімки, оброблені за допомогою фрактальних алгоритмів, дають більш якісну картинку, а відповідно і більш якісну діагностику !!

Ще одна область активного застосування фракталів - гастроентерологія.

Новий метод дослідження в медицині, електрогастроентерографія - метод дослідження, що дозволяє оцінити біоелектричну активність шлунка, дванадцятипалої кишки та інших відділів шлунково-кишкового тракту.

Фрактали в архітектурі.

Фрактальний принцип розвитку природних і геометричних об'єктів проникає вглиб архітектури і як образ зовнішнього рішення об'єкта, і як внутрішній принцип архітектурного формоутворення.

Дизайнери з усього світу почали використовувати в своїх роботах чудові фрактальні структури, тільки недавно описані видатними математиками.

Використання фракталів поставило практично всі напрямки сучасного дизайну на новий рівень.

Привнесення фрактальних структур збільшило в багатьох випадках як візуальну, так і функціональну складові дизайну.

Дизайнер Такесі Міякава в дитинстві мріяв стати математиком.

Інакше як пояснити цей предмет меблів: тумбочка Fractal 23 містить 23 ящика самих різних розмірів і пропорцій, які якось примудряються уживатися між собою всередині кубічного корпусу, заповнюючи майже все доступне їм простору.

Фрактали в економіці.

Останнім часом фрактали стали популярні у економістів для аналізу курсу фондових бірж, валютних і торговельних ринків.
Фрактали з'являються на ринку досить часто.

Фрактали в іграх.

Сьогодні в дуже багатьох іграх (мабуть найяскравіший приклад Minecraft), де присутні різного роду природні ландшафти, так чи інакше використовуються фрактальні алгоритми. Створена велика кількість програм для генерації ландшафтів і пейзажів, заснованих на фрактальних алгоритмах.

Фрактали в кіно.

У кіно для створення різних фантастичних пейзажів використовується фрактальний алгоритм. Фрактальна геометрія дозволяє художникам по спецефффектам без праці створювати такі об'єкти як хмари, дим, полум'я, зоряне небо і т.д. Що вже тоді говорити про фрактальної анімації, це дійсне приголомшливе видовище.

Електронна музика.

Видовищність фрактальної анімації з успіхом використовують віджєї. Особливо часто такі відеоінсталяції використовуються на концертах виконавців електронної музики.

Природні науки.

Дуже часто фрактали застосовуються в геології і геофізики. Не секрет що узбережжя островів і континентів мають деяку фрактальну розмірність, знаючи яку можна дуже точно обчислити довжини узбережжя.

Дослідження разломной тектоніки і сейсмічності часом теж досліджується за допомогою фрактальних алгоритмів.

Геофізика використовує фрактали і фрактальний аналіз для дослідження аномалій магнітного поля, для вивчення поширення хвиль і коливань в пружних середовищах, для дослідження клімату і багатьох інших речей.

Фрактали в фізиці.

У фізиці фрактали застосовуються дуже широко. У фізиці твердих тіл фрактальні алгоритми дозволяють точно описувати і передбачати властивості твердих, пористих, губчастих тіл, аерогелей. Це допомагає в створенні нових матеріалів з незвичайними і корисними властивостями.
Приклад твердого тіла - кристали.

Вивчення турбулентності в потоках дуже добре підлаштовується під фрактали.

Перехід до фрактальному поданням полегшує роботу інженерам і фізикам, дозволяючи їм краще зрозуміти динаміку складних систем.
За допомогою фракталів також можна змоделювати язики полум'я.

Фрактали в біології.

У біології вони застосовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин). Після створення кривої Коха було запропоновано використовувати її при обчисленні довжини берегової лінії.

Фрактали для домогосподарок.

Легкоперенесті теорію фракталів в домашні умови, в тому числі і на кухню.

Результатом застосування може бути що завгодно: фрактальні сережки, фрактальное смачне печінку і багато іншого. Потрібно підключити тільки знання і кмітливість!

Широко використовуються в сучасному світі фрактальная графіка. Користуються популярністю картини - результат фрактальної графіки.

І це не випадково. Помилуйтеся красою фрактальної графіки!

Практична частина проекту

• Створили наукову роботу «Подорож у світ фракталів»
• Вивчили програми створення фракталів на мовах програмування Pascal і Logo
• Створили власні фрактали.
• Зробили своїми руками «Серветку Серпінського» і «Килим Серпінського»
• Зробили «Фрактальні сережки»
• Створили цикл картин «Чудеса фрактальної графіки»
• Опублікували роботу «Подорож у світ фракталів« в мережі Інтернет.
• Взяли участь з роботою «Подорож у світ фракталів» в VII Всеросійській олімпіаді школярів і студентів «Наука 2.0» з навчального предмета «Математика». Зайняли перше місце.
• Взяли участь з роботою «Подорож у світ фракталів» у Всеросійському конкурсі «Великі відкриття та винаходи». Зайняли перше місце.
• Взяли участь з роботою «Подорож у світ фракталів» в VIII Всеросійської олімпіади школярів і студентів «Я - дослідник» з навчального предмета Математика. Зайняли перше місце.
• Створили презентацію «Дивовижний світ фракталів»
• Створили брошури «Застосування фракталів» і «Фрактали навколо нас»
• Провели фестиваль «Дивосвіт фракталів» для учнів 8-11 класів »

Отже, можна з повною впевненістю сказати про величезний практичному застосуванні фракталів і фрактальних алгоритмів на сьогоднішній день.

Спектр областей, де застосовуються фрактали, дуже великий і різноманітний.

І напевно, в найближчому майбутньому, фрактали, фрактальна геометрія, стануть близькі і зрозумілі кожному з нас. Ми не зможемо обходитися без них в нашому житті!

Будемо сподіватися, що поява фрактальної геометрії є свідчення триваючої еволюції людини і розширення його способів пізнання і усвідомлення світу. Можливо, наші діти будуть також легко і осмислено оперувати поняттями фракталів і нелінійної динаміки, як ми оперуємо поняттями класичної фізики, евклідовой геометрії.

Результати роботи над проектом

• Познайомилися з історією виникнення та розвитку фрактальної геометрії;
• Вивчили види фракталів, їх застосування в сучасному світі.
• Створили власні фрактали на мовах програмування Pascal і Logo
• Створили наукову роботу про фрактали.
• Створили брошури «Фрактали навколо нас» і «Застосування фракталів»
• Провели фестиваль «Дивосвіт фракталів» для учнів 8-11 класів.

Натрапив тут на згадку "Теорії фракталів" в серіалі "Єремія" та зацікавився цією досить витонченої теорією, які сучасні метафізики застосовують для доказу існування Бога. Теорія фракталів має зовсім невеликий вік. Вона з'явилася в кінці шістдесятих років на стику математики, інформатики, лінгвістики та біології. У той час комп'ютери все більше проникали в життя людей, вчені починали застосовувати їх в своїх дослідженнях, зростала кількість користувачів обчислювальних машин. Для масового використання комп'ютерів необхідно стало полегшити процес спілкування людини з машиною. Якщо на самому початку комп'ютерної ери нечисленні програмісти-користувачі самовіддано вводили команди в машинних кодах і отримували результати у вигляді нескінченних стрічок паперу, то при масовому і завантаженому режимі використання комп'ютерів виникла необхідність у винаході такої мови програмування, який був би зрозумілий для машини, і в Водночас, був би простий у вивченні і застосуванні. Тобто користувачу потрібно було б ввести тільки одну команду, а комп'ютер розклав би її на більш прості, і виконав би вже їх. Щоб полегшити написання трансляторів, на стику інформатики і лінгвістики виникла теорія фракталів, що дозволяє строго задавати взаємини між алгоритмічними мовами. А датський математик і біолог А. Лінденмеер придумав в 1968 році одну таку граматику, названу їм L-системою, яка, як він вважав, моделює також зростання живих організмів, особливо освіту кущів і гілок у рослин.

Фрактал (лат. Fractus - подрібнений, зламаний, розбитий) - складна геометрична фігура, що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком. У більш широкому сенсі під фракталами розуміють безлічі точок в евклідовому просторі, мають дробову метричну розмірність (в сенсі Маньківського або Хаусдорфа), або метричну розмірність, строго більшу топологічної. Фрактальна форма підвиду цвітної капусти (Brassica cauliflora). Фрактал - це нескінченно самоподібна геометрична фігура, кожен фрагмент якої повторюється при зменшенні масштабу.

Батьком фракталів по праву можна вважати Бенуа Мандельброта. Мандельброт є винахідником терміна «фрактал». Мандельброт
писав: «Я придумав слово« фрактал », взявши за основу латинський прикметник« fractus », що означає нерегулярний, рекурсивний,
Фрагментний ». Перше визначення фракталам також дав Б. Мандельброт. На малюнку якраз класична модель фрактала - Безліч Мандельброта.

Якщо викладати прімтівно, то теорія фрактала - це сопособность хаотічгних стукртур самоорагнізовиваться в систему. Аттрактор (англ. Attract - залучати, притягати) - безліч станів (точніше - точок фазового простору) динамічної системи, до якого вона прагне з плином часу. Найбільш простими варіантами аттрактора є притягає нерухома точка (наприклад, в задачі про маятник з тертям) і періодична траєкторія (приклад - самозбудні коливання в контурі з позитивним зворотним зв'язком), проте бувають і значно складніші приклади. Деякі динамічні системи є хаотичними завжди, але в більшості випадків хаотична поведінка спостерігається тільки в тих випадках, коли параметри динамічної системи належать до деякого спеціальному подпространству.

Найцікавіші випадки хаотичного поведінки, коли великий набір початкових умов призводить до зміни на орбітах аттрактора. Простий спосіб продемонструвати хаотичний аттрактор - це почати з точки в районі тяжіння аттрактора і потім скласти графік його подальшої орбіти. Через стан топологічної транзитивності, це схоже на відображення картини повного кінцевого аттрактора. Наприклад, в системі описує маятник - простір двовимірне і складається з даних про положення і швидкість. Можна скласти графік положень маятника і його швидкості. Положення маятника в спокої буде точкою, а один період коливань буде виглядати на графіку як проста замкнута крива. Графік у формі замкнутої кривої називають орбітою. Маятник має нескінченну кількість таких орбіт, формуючи по увазі сукупність вкладених еліпсів.

Більшість типів руху описується простими аттракторами, є обмеженими циклами. Хаотичний рух описується дивними аттракторами, які дуже складні і мають багато параметрів. Наприклад, проста тривимірна система погоди описується відомим аттрактором Лоренца (Lorenz) - однієї з найвідоміших діаграм хаотичних систем, не тільки тому, що вона була однією з перших, а й тому, що вона одна з найскладніших. Іншим таким аттрактором є - відображення Реслера (Rössler), котороя має подвійний період, подібно логістичного відображення. Дивні атрактори з'являються в обох системах, і в безперервних динамічних (типу системи Лоренца) і в деяких дискретних (наприклад відображення Хенона (Hénon)). Деякі дискретні динамічні системи названі системами Жуліа за походженням. І дивні атрактори і системи Жуліа мають типову рекурсивну, фрактальну структуру. Теорема Пуанкаре-Бендіксона доводить, що дивний аттрактор може виникнути в безперервній динамічній системі, тільки якщо вона має три або більше вимірювань. Однак це обмеження не працює для дискретних динамічних систем. Дискретні дво- і навіть одномірні системи можуть мати дивні атрактори. Рух трьох або більшої кількості тіл, що зазнають гравітаційне тяжіння при деяких початкових умовах може виявитися хаотичним рухом.

Так ось, властивість хаотичних систем самоорганізовуватися за допомогою неправильних аттракторов, на думку деяких математиків, і явялется недоказовим доказом існування Бога і Його енергії творіння всього сущого. Загадка!

Хаос - це порядок, який потрібно розшифрувати.

Жозе Сарамаго, «Двійник»

«Майбутнім поколінням ХХ століття буде пам'ятний лише завдяки створенню теорій відносності, квантової механіки і хаосу ... теорія відносності впоралася з ілюзіями Ньютона про абсолютний простір-часу, квантова механіка розвіяла мрію про детермінізм фізичних подій, і, нарешті, хаос розвінчав Лапласову фантазію про повної визначеності розвитку систем ». Ці слова відомого американського історика і популяризатора науки Джеймса Глейком відображають величезну важливість питання, який лише коротко висвітлюється в статті, пропонованої увазі читача. Наш світ виник з хаосу. Однак якби хаос не підкорявся своїми власними законами, якби в ньому не було особливої \u200b\u200bлогіки, він нічого не зміг би породити.

Нове - це добре забуте старе

Дозволю собі ще одну цитату з Глейком:

Думка про внутрішній подобі, про те, що велике може бути вкладено в мале, здавна пестить людську душу ... За уявленнями Лейбніца, крапля води містить в собі весь блискучий різнобарв'ям світ, де іскряться водяні бризки і живуть інші незвідані всесвіти. «Побачити світ в піщинці» - закликав Блейк, і деякі вчені намагалися слідувати його заповіту. Перші дослідники насінної рідини схильні були бачити в кожному сперматозоїді свого роду гомункулуса, т. Е. Крихітного, але вже повністю сформувався чоловічка.

Ретроспективу подібних поглядів можна звернути набагато далі в глиб історії. Один з основних принципів магії - невід'ємною ступені розвитку будь-якого суспільства - полягає в постулаті: частина подібна цілому. Він проявлявся в таких діях, як поховання черепа тварини замість всього тваринного, моделі колісниці замість самої колісниці і т. Д. Зберігаючи череп предка, родичі вважали, що він продовжує жити поруч з ними і брати участь в їх справах.

Ще давньогрецький філософ Анаксагор розглядав первинні елементи світобудови як частки, подібні іншим частинкам цілого і самому цілому, «нескінченні і з великого, і по дрібниці». Аристотель характеризував елементи Анаксагора прикметником «подобочастние».

А наш сучасник, американський кібернетик Рон Еглеш, досліджуючи культуру африканських племен і південноамериканських індіанців, зробив відкриття: з давніх часів деякі з них використовували фрактальні принципи побудови в орнаментах, візерунках, що наносяться на одяг і предмети побуту, в прикрасах, ритуальних обрядах і навіть в архітектурі. Так, структура сіл деяких африканських племен являє собою коло, в якому знаходяться маленькі кола - вдома, всередині яких ще більш дрібні кола - вдома духів. У інших племен замість кіл елементами архітектури служать інші фігури, але вони також повторюються в різних масштабах, підпорядкованих єдиній структурі. Причому ці принципи побудови були простим наслідуванням природі, але узгоджувалися з існуючим світоглядом і соціальною організацією.

Наша цивілізація, здавалося б, пішла далеко від первісного існування. Однак ми продовжуємо жити в тому ж світі, нас як і раніше оточує природа, живе за своїми законами, незважаючи на всі спроби людини пристосувати її до своїх потреб. Та й сама людина (не забуватимемо про це) залишається частиною цієї природи.

Герт Ейленбергер, німецький фізик, що зайнявся вивченням нелінійності, якось зауважив:

Чому силует зігнувся під напором штормового вітру оголеного дерева на тлі похмурого зимового неба сприймається як прекрасний, а обриси сучасного багатофункціонального будівлі, незважаючи на всі зусилля архітектора, зовсім не здаються такими? Здається мені, що ... наше почуття прекрасного «підживлюється» гармонійним поєднанням впорядкованості і безладу, яке можна спостерігати в природних явищах: хмарах, деревах, гірських ланцюгах або кристалах сніжинок. Всі такі контури суть динамічні процеси, застиглі в фізичних формах, і для них типова комбінація стійкості і хаотичності.

Біля витоків теорії хаосу

Що ми розуміємо під хаосом? Неможливість передбачити поведінку системи, безладні скачки в різних напрямках, які ніколи не перетворяться в упорядковану послідовність.

Першим дослідником хаосу вважається французький математик, фізик і філософ Анрі Пуанкаре. Ще в кінці XIX ст. при вивченні поведінки системи з трьома тілами, взаємодіючими гравітаційно, він зауважив, що можуть бути неперіодичні орбіти, які постійно і не видаляються від конкретної точки, і не наближаються до неї.

Традиційні методи геометрії, широко використовувані в природничих науках, засновані на апроксимації структури досліджуваного об'єкта геометричними фігурами, наприклад лініями, площинами, сферами, метрична і топологічна розмірності яких рівні між собою. У більшості випадків властивості досліджуваного об'єкта і його взаємодію з навколишнім середовищем описуються інтегральними термодинамическими характеристиками, що призводить до втрати значної частини інформації про систему і до заміни її на більш-менш адекватну модель. Найчастіше подібне спрощення цілком виправдано, проте відомі численні ситуації, коли застосування топологічно неадекватних моделей неприпустимо. Приклад такої невідповідності привів у своїй кандидатській дисертації (тепер уже доктор хімічних наук) Володимир Костянтинович Іванов: воно виявляється при вимірюванні площі розвиненою (наприклад, пористі) поверхні твердих тіл за допомогою сорбційних методів, які реєструють ізотерми адсорбції. Виявилося, що величина площі залежить від лінійного розміру молекул- «вимірників» не квадратичного, чого слід було б очікувати з найпростіших геометричних міркувань, а з показником ступеня, іноді впритул наближається до трьох.

Прогнозування погоди - одна з проблем, над якою людство б'ється з давніх часів. Існує відомий анекдот на цю тему, де прогноз погоди передається по ланцюжку від шамана - оленярів, потім геологу, потім редактору радіопередачі, і нарешті коло замикається, оскільки з'ясовується, що шаман дізнався прогноз по радіо. Опис такої складної системи, як погода, з безліччю змінних, неможливо звести до простих моделям. З даного завдання почалося використання комп'ютерів для моделювання нелінійних динамічних систем. Один з основоположників теорії хаосу, американський метеоролог і математик Едвард Нортон Лоренц багато років віддав проблеми прогнозування погоди. Ще в 60-х роках минулого століття, намагаючись зрозуміти причини ненадійності прогнозів погоди, він показав, що стан складної динамічної системи може сильно залежати від початкових умов: незначна зміна одного з багатьох параметрів здатне кардинально змінити очікуваний результат. Лоренц назвав цю залежність ефектом метелика: «Сьогоднішнє тріпотіння крил метелика в Пекіні через місяць може викликати ураган в Нью-Йорку». Йому принесла популярність робота, присвячена загальному кругообігу атмосфери. Досліджуючи описує процес систему рівнянь з трьома змінними, Лоренц графічно відобразив результати свого аналізу: лінії графіка є координати точок, що визначаються рішеннями в просторі цих змінних (рис. 1). Отримана подвійна спіраль, названа аттрактор Лоренца(Або «дивний аттрактор»), виглядала як щось нескінченно заплутана, але завжди розташоване в певних межах і ніколи не повторюється. Рух в аттракторе абстрактно (змінними можуть бути швидкість, щільність, температура і ін.), І тим не менш воно передає особливості реальних фізичних явищ, таких як рух водяного колеса, конвекція в замкнутій петлі, випромінювання одномодового лазера, дисипативні гармонійні коливання (параметри яких грають роль відповідних змінних).

З тисяч публікацій, що склали спеціальну літературу з проблеми хаосу, навряд чи будь-яка цитувалася частіше, ніж написана Лоренцем в 1963 р стаття «Детерміністський неперіодична потік». Хоча завдяки комп'ютерному моделюванню вже за часів цієї роботи передбачення погоди з «мистецтва перетворилося в науку», довгострокові прогнози, як і раніше залишалися недостовірними і ненадійними. Причина цього полягала в тому самому ефект метелика.

У тих же 60-х роках математик Стівен Смейл з Каліфорнійського університету зібрав в Берклі дослідницьку групу з молодих однодумців. Раніше він був удостоєний медалі Філдса за видатні дослідження в області топології. Стівен Смейл займався вивченням динамічних систем, зокрема нелінійних хаотичних осциляторів. Для відтворення всієї невпорядкованості осцилятора ван дер Поля в фазовому просторі він створив структуру, відому під назвою «підкова» - приклад динамічної системи, що має хаотичну динаміку.

«Підкова» (рис. 2) - точний і зримий образ сильної залежності від початкових умов: ніколи не вгадаєш, де виявиться початкова точка після декількох ітерацій. Цей приклад послужив поштовхом до винаходу російським математиком, фахівцем з теорії динамічних систем і диференціальних рівнянь, диференціальної геометрії і топології Дмитром Вікторовичем Аносова «дифеоморфізмів Аносова». Пізніше з цих двох робіт зросла теорія гіперболічних динамічних систем. Минуло десятиліття, перш ніж результати роботи Стівен Смейл удостоїлися уваги представників інших дисциплін. «Коли це все ж сталося, фізики зрозуміли, що Стівен Смейл повернув цілий розділ математики особою до реального світу».

У 1972 р математик з Мерілендського університету Джеймс Йорк прочитав вищезгадану статтю Лоренца, яка вразила його. Йорк побачив в статті живу фізичну модель і порахував своїм святим обов'язком донести до фізиків то, чого вони не розгледіли в роботах Лоренца і Стівен Смейл. Він направив копію статті Лоренца Стівен Смейл. Той здивувався, виявивши, що безвісний метеоролог (Лоренц) десятьма роками раніше виявив ту невпорядкованість, яку він сам вважав одного разу математично неймовірною, і розіслав копії всіх своїх колег.

Біолог Роберт Мей, один Йорка, займався вивченням змін чисельності популяцій тварин. Мей йшов по стопах П'єра Ферхлюста, який ще в 1845 р звернув увагу на непередбачуваність зміни чисельності тварин і прийшов до висновку, що коефіцієнт приросту популяції - величина непостійна. Іншими словами, процес виявляється нелінійним. Мей намагався вловити, що трапляється з населенням в момент наближення коливань коефіцієнта зростання до деякої критичної точки (точки біфуркації). Варіюючи значення цього нелінійного параметра, він виявив, що можливі докорінні зміни в самій сутності системи: збільшення параметра означало зростання ступеня нелінійності, що, в свою чергу, змінювало не тільки кількісні, але і якісні характеристики результату. Подібна операція впливала як на кінцеве значення чисельності популяції, яка перебувала в рівновазі, так і на її здатність взагалі досягти останнього. При певних умовах періодичність поступалася місце хаосу, коливань, які ніколи не згасали.

Йорк математично проаналізував сповна у своїй роботі, довівши, що в будь-який одновимірної системі відбувається наступне: якщо з'являється регулярний цикл з трьома хвилями (плавними підйомами і спадами значень якого-небудь параметра), то в подальшому система почне демонструвати як правильні цикли будь-який інший тривалості , так і повністю хаотичні. (Як з'ясувалося через кілька років після опублікування статті на міжнародній конференції в східному Берліні, радянський (український) математик Олександр Миколайович Шарковський дещо випередив Йорка в своїх дослідженнях). Йорк написав статтю для відомого наукового видання «Американський математичний щомісячник». Однак Йорк досяг більшого, ніж просто математичний результат: він продемонстрував фізикам, що хаос всюдисущий, стабільний і структурований. Він дав привід повірити в те, що складні системи, традиційно описуються важкими для вирішення диференціальнимирівняннями, можуть бути представлені за допомогою наочних графіків.

Мей намагався привернути увагу біологів до того, що популяції тварин переживають не одні лише впорядковані цикли. На шляху до хаосу виникає цілий каскад подвоєння періодів. Саме в точках біфуркації деяке збільшення плодючості особин могло привести, наприклад, до зміни чотирирічної циклу популяції непарного шовкопряда восьмігодічним. Американець Мітчел Фейгенбаум вирішив почати з підрахунку точних значень параметра, які породжували такі зміни. Його розрахунки показували, що не мало значення, яка початкова популяція, - вона все одно неухильно наближалася до аттрактору. Потім, з першим подвоєнням періодів, аттрактор, подібно ділиться клітці, роздвоювався. Потім відбувалося наступне множення періодів, і кожна точка аттрактора знову починала ділитися. Число - інваріант, отриманий Фейгенбаум, - дозволило йому передбачати, коли саме це станеться. Учений виявив, що може прогнозувати цей ефект для складного аттрактора - в двох, чотирьох, восьми точках ... Якщо говорити мовою екології, він міг прогнозувати дійсну чисельність, яка досягається в популяціях під час щорічних коливань. Так Фейгенбаум відкрив в 1976 р «каскад подвоєння періоду», спираючись на роботу Мея і свої дослідження турбулентності. Його теорія відображала природний закон, який відноситься до всіх систем, що зазнають перехід від упорядкованого стану до хаосу. Йорк, Мей і Файгенбаум першими на Заході в повній мірі усвідомили важливість подвоєння періодів і зуміли передати цю ідею всьому науковому співтовариству. Мей заявляв, що хаос необхідно викладати.

Радянські математики і фізики просувалися в своїх дослідженнях незалежно від зарубіжних колег. Початок вивченню хаосу поклали роботи А. Н. Колмогорова 50-х років. Але і ідеї зарубіжних колег не залишалися поза їхньою увагою. Піонерами теорії хаосу вважаються радянські математики Андрій Миколайович Колмогоров і Володимир Ігорович Арнольд і німецький математик Юрґен Мозер, які побудували теорію хаосу, звану КАМ (теорія Колмогорова - Арнольда - Мозера). Інший наш видатний співвітчизник, блискучий фізик і математик Яків Григорович Синай, застосував в термодинаміки міркування, аналогічні «підкові Смейла». Ледве в 70-х роках з роботою Лоренца познайомилися західні фізики, як вона стала популярною і в СРСР. У 1975 р, коли Йорк і Мей ще докладали чимало зусиль до того, щоб домогтися уваги колег, Синай і його товариші організували в Горькому дослідницьку групу для вивчення цієї проблеми.

У минулому столітті, коли вузька спеціалізація і роз'єднання між різними дисциплінами стали в науці нормою, математики, фізики, біологи, хіміки, фізіологи, економісти билися над подібними завданнями, не чуючи один одного. Ідеї, що вимагають зміни звичного світогляду, завжди з працею пробивають собі шлях. Однак поступово стало ясно, що такі речі, як зміна популяцій тварин, коливання цін на ринку, зміна погоди, розподіл небесних тіл за розмірами і багато, багато іншого, - підкоряються одним закономірностям. «Усвідомлення цього факту змусило менеджерів переглянути ставлення до страховки, астрономів - під іншим кутом зору поглянути на Сонячну систему, політиків - змінити думку про причини збройних конфліктів».

До середини 80-х років ситуація сильно змінилася. Ідеї \u200b\u200bфрактальної геометрії об'єднали вчених, спантеличених власними спостереженнями і не знали, як їх інтерпретувати. Для дослідників хаосу математика стала експериментальною наукою, комп'ютери замінили собою лабораторії. Графічні зображення набули першорядну важливість. Нова наука дала світу особлива мова, нові поняття: фазовий портрет, аттрактор, біфуркація, перетин фазового простору, фрактал ...

Бенуа Мандельброт, спираючись на ідеї і роботи попередників і сучасників, показав, що такими складними процесами, як зростання дерева, утворення хмар, варіації економічних характеристик або чисельності популяцій тварин управляють подібні, по суті, закони природи. Це певні закономірності, за якими живе хаос. З точки зору природної самоорганізації вони набагато простіше, ніж штучні форми, звичні цивілізованій людині. Складними їх можна визнати лише в контексті геометрії Евкліда, оскільки фрактали визначаються за допомогою завдання алгоритму, і, отже, можуть бути описані за допомогою невеликого обсягу інформації.

Фрактальна геометрія природи

Давайте спробуємо розібратися, що ж таке фрактал і «з чим його їдять». А з'їсти деякі з них дійсно можна, як, наприклад, типового представника, показаного на фотографії.

слово фракталпоходить від латинського fractus - подрібнений, зламаний, розбитий на шматки. Під фракталом мається на увазі математичне безліч, що володіє властивістю самоподібності, т. Е. Масштабної інваріантності.

Термін «фрактал» був придуманий Мандельброт в 1975 р і отримав широку популярність з виходом в 1977 році його книги «Фрактальна геометрія природи». «Дайте чудовиську яке-небудь затишне, домашнє ім'я, і \u200b\u200bви здивуєтеся, наскільки легше буде його приручити!» - говорив Мандельброт. Це прагнення зробити досліджувані об'єкти (математичні безлічі) близькими і зрозумілими призвело до народження нових математичних термінів, таких як пил, сир, сироватка, Які наочно демонструють їх глибинний зв'язок з природними процесами.

Математичне поняття фрактала виділяє об'єкти, що володіють структурами різних масштабів, як великих, так і малих, і, таким чином, відображає ієрархічний принцип організації. Звичайно, різні гілки дерева, наприклад, не можуть бути точно поєднані один з одним, але їх можна вважати подібними в статистичному сенсі. Точно так же форми хмар, обриси гір, лінія морського берега, малюнок полум'я, судинна система, яри, блискавка, що розглядаються при різних масштабах, виглядають подібними. Хоча ця ідеалізація і може виявитися спрощенням дійсності, вона істотно збільшує глибину математичного опису природи.

Поняття «природний фрактал» Мандельброт ввів для позначення природних структур, які можуть бути описані за допомогою фрактальних множин. Ці природні об'єкти включають в себе елемент випадковості. Створена Мандельброт теорія дозволяє кількісно і якісно описувати всі ті форми, які раніше називалися скуйовдженим, хвилястими, шорсткими і т. Д.

Динамічні процеси, про які йшла мова вище, так звані процеси зі зворотним зв'язком, виникають в різних фізичних і математичних задачах. Всі вони мають одне спільне - конкуренцію декількох центрів (які отримали ім'я «атрактори») за домінування на площині. Той стан, в якому система виявилася після деякого числа ітерацій, залежить від її «місця старту». Тому кожному аттрактору відповідає деяка область початкових станів, з яких система обов'язково потрапить в аналізованих кінцевий стан. Таким чином, фазовий простір системи (абстрактне простір параметрів, асоційованих з конкретною динамічною системою, точки в якому однозначно характеризують всі можливі її стану) розбивається на області тяжінняаттракторов. У наявності своєрідний повернення до динаміки Арістотеля, згідно з якою кожна тіло прагне до призначеному йому місця. Прості кордону між «суміжними територіями» в результаті такого суперництва виникають рідко. Саме в цій прикордонній області і відбувається перехід від однієї форми існування до іншої: від порядку до хаосу. Загальний вигляд вираження для динамічного закону дуже проста: х n + 1 → f х n C. Вся складність полягає в нелінійної залежності між початковим значенням і результатом. Якщо почати ітераційний процес зазначеного виду з деякого довільного значення \\ (x_0 \\), то результатом його буде послідовність \\ (x_1 \\), \\ (x_2 \\), ..., яка або буде сходитися до деякого граничного значення \\ (X \\) , прагнучи до стану спокою, або прийде до деякого циклу значень, які будуть повторюватися знову і знову, або буде весь час вести себе безладно і непередбачувано. Саме такі процеси досліджували ще під час Першої світової війни французькі математики Гастон Жюліа і П'єр Фато.

Вивчаючи безлічі, відкриті ними, Мандельброт в 1979 р прийшов до зображення на комплексній площині образу, який є, як буде ясно з подальшого, свого роду змістом цілого класу форм, іменується множинами Жюліа. Безліч Жюліа - це безліч точок, що виникає в результаті ітерірованія квадратичного перетворення: х n → х n-1 2 + C, динаміка в околиці яких нестійка по відношенню до малих збурень початкового положення. Кожне послідовне значення \\ (x \\) виходить з попереднього; комплексне число \\ (C \\) називається керуючим параметром. Поведінка послідовності чисел залежить від параметра \\ (C \\) і початкової точки \\ (x_0 \\). Якщо зафіксувати \\ (C \\) і змінювати \\ (x_0 \\) в поле комплексних чисел, ми отримаємо безліч Жюліа. Якщо ж зафіксувати \\ (x_0 \\) \u003d 0 і змінювати \\ (C \\), отримаємо безліч Мандельброта (\\ (M \\)). Воно підказує нам, якого виду безлічі Жюліа слід очікувати при конкретному виборі \\ (C \\). Кожне комплексне число \\ (C \\) або належить області \\ (M \\) (чорної на рис. 3), або ні. \\ (C \\) належить \\ (M \\) тоді і тільки тоді, коли «критична точка» \\ (x_0 \\) \u003d 0 не прагне до нескінченності. Безліч \\ (M \\) складається з усіх точок \\ (C \\), які асоціюються зі зв'язковими множинами Жюліа, якщо ж точка \\ (C \\) лежить поза безлічі \\ (M \\), асоційоване з нею безліч Жюліа недоладно. Кордон безлічі \\ (M \\) визначає момент математичного фазового переходу для множин Жюліа х n → х n-1 2 + C. Коли параметр \\ (C \\) залишає \\ (M \\), безлічі Жюліа втрачають свою зв'язність, образно кажучи, вибухають і перетворюються в пил. Якісний стрибок, що відбувається на кордоні \\ (M \\), впливає і на що примикає до кордону область. Складну динамічну структуру прикордонної області можна наближено показати, фарбуючи (умовно) в різні кольори зони з однаковим часом «тікання в нескінченність початкової точки \\ (x_0 \\) \u003d 0». Ті значення \\ (C \\) (один відтінок), при яких критичної точки потрібна дане число ітерацій, щоб опинитися поза колом радіусом \\ (N \\), заповнюють проміжок між двома лініями. У міру наближення до кордону \\ (M \\) необхідне число ітерацій збільшується. Точка все більший час змушена блукати звивистими шляхами поблизу безлічі Жюліа. Безліч Мандельброта втілює в собі процес переходу від порядку до хаосу.

Цікаво простежити шлях, яким Мандельброт йшов до своїх відкриттів. Бенуа народився у Варшаві в 1924 р, в 1936 сім'я емігрувала до Парижа. Закінчивши Політехнічну школу, а потім і університет в Парижі, Мандельброт переїхав в США, де відучився ще і в Каліфорнійському технологічному інституті. У 1958 р він влаштувався в науково-дослідний центр IBM в Йорктауне. Незважаючи на чисто прикладну діяльність компанії, займана посада дозволяла йому вести дослідження в самих різних областях. Працюючи в галузі економіки, молодий фахівець зайнявся вивченням статистики цін на бавовну за великий період часу (понад 100 років). Аналізуючи симетрію тривалих і короткочасних коливань цін, він зауважив, що ці коливання протягом дня здавалися випадковими і непередбачуваними, проте послідовність таких змін не залежала від масштабу. Для вирішення цього завдання він вперше використовував свої розробки майбутньої фрактальної теорії і графічне відображення досліджуваних процесів.

Цікавлячись самими різними областями науки, Мандельброт звернувся до математичної лінгвістиці, потім настала черга теорії ігор. Він також запропонував власний підхід до економіки, вказавши на впорядкованість масштабів в поширенні малих і великих міст. Вивчаючи маловідому роботу англійського вченого Льюїса Річардсона, що вийшла після смерті автора, Мандельброт зіткнувся з феноменом берегової лінії. У статті «Яка довжина берегової лінії Великобританії?» він детально досліджує це питання, над яким мало хто замислювався до нього, і приходить до несподіваних висновків: довжина берегової лінії дорівнює ... нескінченності! Чим точніше ви намагаєтеся її виміряти, тим більшим виходить її значення!

Для опису подібних явищ Мандельброту прийшло в голову відштовхуватися від ідеї розмірності. Фрактальна розмірність об'єкта служить кількісною характеристикою однією з його особливостей, а саме - заповнення їм простору.

Визначення поняття фрактальної розмірності сходить до роботи Фелікса Хаусдорфа, опублікованій в 1919 р, і було остаточно сформульоване Абрамом Самойловичем Безікович. Фрактальна розмірність - міра деталізації, зламана, нерівності фрактального об'єкта. В евклідовому просторі топологічна розмірність завжди визначається цілим числом (розмірність точки - 0, лінії - 1, площині - 2, об'ємного тіла - 3). Якщо простежити, наприклад, проекцію на площину руху броунівський частинки, яка начебто повинна складатися з відрізків прямої, т. Е. Мати розмірність 1, дуже скоро виявиться, що слід її заповнює майже всю площину. Але розмірність площині - 2. Розбіжність між цими величинами і дає нам право віднести дану «криву» до фракталам, а її проміжну (дробову) розмірність називати фрактальної. Якщо розглянути хаотичний рух частинки в обсязі, фрактальна розмірність траєкторії виявиться більше 2, але менше 3. Артерії людини, наприклад, мають фрактальну розмірність приблизно 2,7. Згадані на початку статті результати Іванова, які стосуються виміру площі пір силикагеля, які не можуть бути витлумачені в рамках звичайних евклідових уявлень, при використанні теорії фракталів знаходять розумне пояснення.

Отже, з математичної точки зору, фракталом називається безліч, для якого розмірність Хаусдорфа - Безиковича строго більше його топологічної розмірності і може бути (а найчастіше і є) дробової.

Необхідно особливо підкреслити, що фрактальна розмірність об'єкта не описує його форму, і об'єкти, що мають однакову розмірність, але породжені різними механізмами освіти, часто абсолютно не схожі один на одного. Фізичні фрактали мають швидше статистичними самоподібності.

Дробове вимір дозволяє обчислювати характеристики, які не можуть бути чітко визначені іншим шляхом: ступеня нерівності, уривчастості, шорсткості або нестійкості будь-якого об'єкта. Наприклад, звивиста берегова лінія, незважаючи на незмірність її довжини, має властивою тільки їй шорсткістю. Мандельброт вказав шляхи розрахунку дрібних вимірювань об'єктів навколишньої дійсності. Створюючи свою геометрію, він висунув закон про невпорядкованих формах, які зустрічаються в природі. Закон свідчив: ступінь нестабільності постійна при різних масштабах.

Особливий різновид фракталів складають тимчасові фрактали. У 1962 р Мандельброт зіткнувся з завданням щодо усунення шумів в телефонних лініях, які викликали проблеми для комп'ютерних модемів. Якість передачі сигналу залежить від імовірності виникнення помилок. Інженери билися над проблемою зменшення шумів, придумуючи головоломні і дорогі прийоми, але не отримували вражаючих результатів. Спираючись на роботу засновника теорії множин Георга Кантора, Мандельброт показав, що виникнення шумів - породження хаосу - неможливо уникнути в принципі, тому запропоновані способи боротьби з ними не принесуть результату. У пошуках закономірності виникнення шумів він отримує «Канторова пил» - фрактальную послідовність подій. Цікаво, що тим самим закономірностям підпорядковується розподіл зірок в Галактиці:

«Речовина», однорідно розподілений вздовж ініціатора (одиничний відрізок тимчасової осі), піддається впливу відцентрового вихору, який «змітає» його до крайніх третинам інтервалу ... створаживания можна називати будь-каскад нестійких станів, що приводить в підсумку до згущення речовини, а термін сир може визначати обсяг, всередині якого якась фізична характеристика стає - в результаті створаживания - надзвичайно концентрованою.

Хаотичні явища, такі як турбулентність атмосфери, рухливість земної кори і т. Д., Демонструють подібну поведінку в різних часових масштабах подібно до того, як об'єкти, що володіють инвариантностью до масштабу, виявляють подібні структурні закономірності в різних просторових масштабах.

Як приклад наведемо кілька характерних ситуацій, де корисно використовувати уявлення про фрактальної структурі. Професор Колумбійського університету Крістофер Шольц спеціалізувався на вивченні форми і будови твердої речовини Землі, він вивчав землетрусу. У 1978 р він прочитав книгу Мандельброта «Фрактали: форма, випадковість і розмірність » і спробував застосувати теорію до опису, класифікації та вимірювання геофізичних об'єктів. Шольц з'ясував, що фрактальна геометрія забезпечила науку ефективним методом опису специфічного бугристого ландшафту Землі. Фрактальное вимір ландшафтів планети відкриває двері до розуміння її найважливіших характеристик. Металурги виявили те ж саме на іншому масштабному рівні - стосовно до поверхонь різних типів сталі. Зокрема, фрактальное вимір поверхні металу часто дозволяє судити про його міцності. Величезна кількість фрактальних об'єктів продукує явище кристалізації. Найпоширеніший тип фракталів, що виникають при зростанні кристалів, - дендрити, вони надзвичайно широко поширені в живій природі. Ансамблі наночастинок часто демонструють реалізацію «пилу Леві». Ці ансамблі в поєднанні з абсорбованим розчинником утворюють прозорі компакти - скла Леві, потенційно важливі матеріали фотоніки.

Оскільки фрактали виражаються не в первинних геометричних формах, а в алгоритмах, наборах математичних процедур, зрозуміло, що така область математики стала розвиватися семимильними кроками разом з появою і розвитком потужних комп'ютерів. Хаос, в свою чергу, викликав до життя нові комп'ютерні технології, спеціальну графічну техніку, яка здатна відтворювати дивовижні структури неймовірну складність, породжувані тими чи іншими видами безладу. У вік Інтернету і персональних комп'ютерів те, що представляло значну складність за часів Мандельброта, стало легко доступним будь-кому. Але найважливішим в його теорії стало, зрозуміло, не створення красивих картинок, а висновок, що даний математичний апарат придатний для опису складних природних явищ і процесів, які раніше не розглядалися в науці взагалі. Репертуар алгоритмічних елементів невичерпний.

Оволодівши мовою фракталів, можна описати форму хмари так само чітко і просто, як архітектор описує будівлю за допомогою креслень, в яких застосовується мова традиційної геометрії.<...> Минуло всього кілька десятиліть з тих пір, як Бенуа Мандельброт заявив: «Геометрія природи фрактальна!», На сьогоднішній день ми вже можемо припустити набагато більше, а саме що фрактальность - це першочерговий принцип побудови всіх без винятку природних об'єктів.

На закінчення дозвольте представити вашій увазі набір фотографій, що ілюструють цей висновок, і фракталів, побудованих за допомогою комп'ютерної програми Fractal Explorer. А проблеми використання фракталів у фізиці кристалів буде присвячена наша наступна стаття.

Post Scriptum

З 1994 по 2013 р в п'яти томах вийшов унікальну працю вітчизняних вчених «Атлас тимчасових варіацій природних антропогенних і соціальних процесів» - не має аналогів джерело матеріалів, який включає в себе дані моніторингу космосу, біосфери, літосфери, атмосфери, гідросфери, соціального і техногенного сфер і сфери, пов'язаної зі здоров'ям і якістю життя людини. У тексті докладно наводяться дані і результати їх обробки, зіставляються особливості динаміки часових рядів і їх фрагментів. Уніфіковане представлення результатів дає можливість отримати зіставні результати для виявлення загальних та індивідуальних рис динаміки процесів і причинно-наслідкових зв'язків між ними. На експериментальному матеріалі показано, що процеси в різних сферах, по-перше, схожі, а по-друге, в більшій чи меншій мірі пов'язані один з одним.

Отже, атлас узагальнив результати міждисциплінарних досліджень і представив порівняльний аналіз абсолютно різних даних в найширшому діапазоні часу і простору. Книга показує, що «протікають в земних сферах процеси обумовлені великим числом взаємодіючих факторів, які в різних областях (і в різний час) викликають різну реакцію», що говорить про «необхідність комплексного підходу до аналізу геодинамічних, космічних, соціальних, економічних і медичних спостережень ». Залишається висловити сподівання на те, що ці фундаментальні за значущістю роботи будуть продовжені.

. Юргенс Х., Пайтген Х.-О., Заупе Д. Мова фракталів // Світ науки. 1990. № 10. С. 36-44.
. Атлас тимчасових варіацій природних антропогенних і соціальних процесів. Т. 1: Порядок і хаос в літосфері та інших сферах. М., 1994; Т. 2: Циклічна динаміка в природі і суспільстві. М., 1998; Т. 3: Природні і соціальні сфери як частини навколишнього середовища і як об'єкти впливів. М., 2002; Т. 4: Людина і три навколишні його середовища. М., 2009. Т. 5: Людина і три навколишні його середовища. М., 2013.

Фрактали відомі вже майже століття, добре вивчені і мають численні застосування в житті. В основі цього явища лежить дуже проста ідея: нескінченне по красі і різноманітності безліч фігур можна отримати з відносно простих конструкцій за допомогою всього двох операцій - копіювання і масштабування

У цього поняття немає строгого визначення. Тому слово «фрактал» не є математичним терміном. Зазвичай так називають геометричну фігуру, яка задовольняє одній або декільком з наступних властивостей:

• володіє складною структурою при будь-якому збільшенні;
• є (приблизно) самоподобной;
• володіє дробової Гаусдорфів (фрактальної) розмірністю, яка більше топологічної;
• може бути побудована рекурсивними процедурами.

На рубежі XIX і XX століть вивчення фракталів носило скоріше епізодичний, ніж систематичний характер, тому що раніше математики в основному вивчали «хороші» об'єкти, які піддавалися дослідженню за допомогою загальних методів і теорій. У 1872 році німецький математик Карл Вейерштрасс побудував приклад неперервної функції, яка ніде не диференційована. Однак його побудова було цілком абстрактно і важко для сприйняття. Тому в 1904 році швед Хельге фон Кох придумав безперервну криву, яка ніде не має дотичній, причому її досить просто намалювати. Виявилося, що вона має властивості фрактала. Один з варіантів цієї кривої носить назву «сніжинка Коха».

Ідеї \u200b\u200bсамоподібності фігур підхопив француз Поль П'єр Леві, майбутній наставник Бенуа Мандельброта. У 1938 році вийшла його стаття «Плоскі та просторові криві і поверхні, що складаються з двох частин, подібних цілому», в якій описаний ще один фрактал - С-крива Леві. Всі ці перераховані вище фрактали можна умовно віднести до одного класу конструктивних (геометричних) фракталів.

Інший клас - динамічні (алгебраїчні) фрактали, до яких відноситься і безліч Мандельброта. Перші дослідження в цьому напрямку відносяться до початку XX століття і пов'язані з іменами французьких математиків Гастона Жюліа і П'єра Фату. У 1918 році вийшов майже двухсотстранічний працю Жюліа, присвячений итерациям комплексних раціональних функцій, в якому описані безлічі Жюліа - ціле сімейство фракталів, близько пов'язаних з безліччю Мандельброта. Ця праця був удостоєний призу Французької академії, однак в ньому не містилося жодної ілюстрації, так що оцінити красу відкритих об'єктів було неможливо. Незважаючи на те що це робота прославила Жюліа серед математиків того часу, про неї досить швидко забули.

Знову увагу до робіт Жюліа і Фату звернулося лише через півстоліття, з появою комп'ютерів: саме вони зробили видимими багатство і красу світу фракталів. Адже Фату ніколи не міг подивитися на зображення, які ми зараз знаємо як зображення безлічі Мандельброта, тому що необхідну кількість обчислень неможливо провести вручну. Першим, хто використав для цього комп'ютер був Бенуа Мандельброт.

У 1982 році вийшла книга Мандельброта «Фрактальна геометрія природи», в якій автор зібрав і систематизував практично всю наявну на той момент інформацію про фрактали і в легкій і доступній манері виклав її. Основний упор в своєму викладі Мандельброт зробив не на великовагові формули і математичні конструкції, а на геометричну інтуїцію читачів. Завдяки ілюстраціям, отриманим за допомогою комп'ютера, і історичним байкам, якими автор вміло розбавив наукову складову монографії, книга стала бестселером, а фрактали стали відомі широкому загалу. Їх успіх серед нематематика багато в чому обумовлений тим, що за допомогою вельми простих конструкцій і формул, які здатний зрозуміти і старшокласник, виходять дивовижні за складністю і красу зображення. Коли персональні комп'ютери стали досить потужними то з'явилося навіть цілий напрям в мистецтві - фрактальна живопис, причому займатися нею міг практично будь-який власник комп'ютера. Зараз в інтернеті можна легко знайти безліч сайтів, присвячених цій темі.